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ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT JOURNAL 

HKRAUSGEGEBEN BÉDIOÉ 



VON PAR 



G. MITTAG-LEFFLER 



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BERLIN 1906 PARIS 

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REDACTION 



SVERIGE: 

A. V. Bäoklund, Lund. 

A. L1ND8TEDT, Stockholm. 
G. Mittag-Lefflkr. > 

E. Phbagmén, » 

NORGE: 

Elling Holst, Christiania. 
C. Störmek, X 

L. Sylow, >; 

DANMARK: 

J. Pei'ersen, Kjöbenhavn. 

H. G. Zeuthen, » 

FINLAND: 
L. LiNDELÖF, Helsingfors. 



INHALTSYERZEICHNISS. — TABLE DES MATIÈRES. 



BAND 30. — 1906. — TOME 30. 



Reit«. Pagei. 

BAIBE, BENE. Sur la représentation des fonctions discontinues 1 — 48 

BISCONCINI, GIULIO. Sur le problème des trois corps 49— 92 

BJEBKNBS, V. Recherche sur les champs de force hydrody- 
namiques 99 — 143 

BBOMWICH, T. J. I*A. On the roots of the characteristic equa- 
tion of a linear substitution 297 — 304 

FATOU, P. Séries trigonom étriqués et séries de Taylor 335—400 

JENSEN, J. L, W. V. Sur les fonctions convexes et les inéga- 
lités entre les valeurs moyennes 175 — 193 

VON KOOH, HELGE, une méthode géométrique élémentaire 
pour Pétude de certaines questions de la théorie des courbes planes 145—174 

KÖNIG, I. Sur les fondements de la théorie des ensembles et 
le problème du continu 329—334 

LANDAU, EDMUND. Über einen Satz von Herrn Phragmén... 195—201 

LE&Oâ, lt. Essais sür le calcul du uombl*e des classes de formes 
quadratiques binaires aux coefficients entiers 203—294 



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I 



Inhaltsyerzeîchniss. — Table des matières. 

Seile. Paget. 

LEVI- Ol V ITA, T. Sur la résolution qualitative du problème 
restreint des trois corps 305—327 

HEYEB, W. FB. Eine auf unendliche Produkte sieb beziehende 
Fehlerabsohätzungsregel 93 — 98 

BIOHABD, I. Lettre à Monsieur le rédacteur de la Eevue 
Générale des Sciences 295—296 



Bibliographie 401—410 



SUR LA REPRÉSENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES 



PAR 

RENÉ BAIRE 

k MONTPELLIER. 



PREMIÈRE PARTIE. 



Introduction. 

Le présent mémoire constitue la première partie d'tin travail dans 
lequel je me propose d'exposer Tensemble des résultats que j'ai obtenus 
dans rétude du problème suivant: Caractériser les foiictions discontinues 
(de n variables) représentables par des séries simples, doubles, tri|)les, etc. 
de fonctions continues, et que j'appelle fonctions de classes 1,2,^, 

En ce qui concerne le cas des séries simples (fonctions de classe i), 
j'ai exposé d'une manière complète la solution du problème dans mes 
»Leçons sur les fonctions discontinues».^ Je renverrai souvent le lecteur 
à ce livre, dans lequel j'ai eu l'occasion de traiter plusieurs questions qui 
me sont utiles pour l'étude que j'ai en vue, en particulier la théorie des 
nombres transfinis (Chapitre II). 

Voici un résumé des matières traitées dans le présent mémoire. 

Je donne, au chapitre I, la définition des diverses classes de fonctions, 
ainsi que quelques propriétés générales qui en résultent d'une mianière 
immédiate. 

Je rappelle, au chapitre II, les principatix théorèmes de la théorie des 
ensembles de points à n dimensions dont j'ai besoin pour la suite. 



^ Editées chez Gl^uthier-Villars, dâDs la »Collection de monographies sur la théorie 
des fonctions» publiée sons la direction de M. Borel. Voir, dans les »Leçons sur les 
fonctions de variables réelles», de M. Borel (même collection), Note II, une autre so- 
lution, de M. Lebesour. 

Acta mathematica. 80. Imprimé le 9 août 1906. \ 



2 René Baire. 

Dans le chapitre III, après avoir rappelé le théorème général con- 
cernant les fonctions représentables par des séries de fonctions continues, 
je donne à ce résultat une extension, relative au cas où Ton se donne 
une fonction définie en des points dont Tensemble ne constitue pas un 
continu, ni même un ensemble fermé, et où l'on veut savoir sous quelles 
conditions on peut compléter la définition de la fonction de manière à 
obtenir une fonction de classe i sur un ensemble fermé. Cette généralisa- 
tion, outre l'intérêt qu'elle présente par elle-même, m'est nécessaire pour 
la suite de mes recherches. 

Au chapitre IV, j'établis l'existence d'une certaine propriété qui ap- 
partient aux fonctions continues et qui se conserve à la limite, c'est-à-dire 
qui, dès qu'elle appartient à tous les termes d'une suite de fonctions 
tendant vers une fonction limite, appartient aussi à cette dernière fonction. 

J'aborde, au chapitre V, l'étude des fonctions de classes 2 et 3, dont 
je démontre l'existence effective. Pour poursuivre cette étude, j'ai été 
conduit, comme je l'ai indiqué d'une façon succincte dans des notes aux 
Comptes Eendus de l'Académie des Sciences (décembre 1899), à 
transformer les notions d'ensemble de points et de point limite. Toutefois, 
la notion nouvelle dont il s'agit n'apparaît pas dans le présent mémoire; 
elle sera exposée avec tous les développements nécessaires dans un mé- 
moire ultérieur. 



CHAPITEE I. 

Définition des diverses classes de fonctions. 

i. Désignons par B l'ensemble des nombres réels, par JB' l'ensemble 
obtenu en adjoignant à R les éléments + co, — co. Une suite: u^, 
Wj , . . . , w„ , . . . a pour limite A (w, , w, , . . . , w„ , . . . et A appartenant à B') 
si, quels que soient les nombres X' et A" tels que Å' <Å< A" (l'un des 
nombres A' et A" pouvant ne pas exister), il y a un entier^ tel que n>p 
entraîne A' < u^ < A". 

P étant un ensemble fermé de l'espace à n dimensions (t„, si, à 
chaque point ^ de P correspond un nombre de R\f{A)^ l'ensemble de 
ces nombres constitue une fonction définie sur P. Si tous les nombres 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 3 

f{Ä) appartiennent à i?, la fonction est dite finie. Si les bornes supérieure 
et inférieure de l'ensemble des nombres f{A) appartiennent à 22, la fonc- 
tion est dite bornée. 

Une fonction f définie sur P est dite continue si elle a en chaque 
point une valeur finie et si, J, , ^^ , . . . , ^^ , . . . étant une suite de points 
de P tendant vers un point A^ (qui fait nécessairement partie de P), on 
a: limf{A,) = f{Ä,l 

Toute fonction non continue est discontinue. 

Si Ton a des fonctions: /'i , /^ ,..,/),,.. . et /*, définies sur P, et 
telles que, A étant un point quelconque de P, on a: lim/p(^) = /'(.4), 



pe «» 



on dit que f est la limite de f^. 

P étant toujours un ensemble fermé de (?„, aux différents nombres 
ordinaux des classes I et II nous ferons correspondre des classes de fonc- 
tions définies sur P au moyen de la définition suivante. 

I® Une fonction continue appartient à la classe o. 

2® Une fonction appartient à la classe a (a > o) si elle est la limite 
d'une suite de fonctions appartenant à des classes marquées par des nombres 
inférieurs à a, et si elle ne fait pas partie de Tune de ces classes. 

Soit E Tensemble des fonctions appartenant à toutes les classes mar- 
quées par les nombres des classes I et II. Je dis que E contient toutes 
ses fonctions limites, c'est-à-dire que si une suite de fonctions Z', , Z^, . . . , /v i • • 
a pour limite /*, et si toutes les fonctions f^ appartiennent à J5, il en est 
de même de f. En effet, les fonctions f^yf^y • • • > /^ , • • • appartiennent à 
certaines classes «j , a, , . . . , oc^ , . . . , il existe un nombre a des classes I ou 
II supérieur à tous les a/, donc f est de classe a ou de classe inférieure; 
donc f fait partie de E, 

2, Soit f une fonction quelconque définie sur l'ensemble fermé P. 
Soient b et B deux nombres finis {b<B), Appelons transformation â{bj B) 
la transformation qui remplace f par une fonction ^ ainsi définie: 

En un point ^ de P où: f{A)<b, ^{A)==b, 

En un point où: h<f{A)<B, ip{A) = f{A). 

En un point où: Ji<f{A), p(A) = B. 



4 B^é Baire^ 

On voit d abord que, si f est continue, ^ Test ^usei. Car, pour deux 
points quelconques ^ et -4', on a: 

\<p{Ä)-<p{A-)\<\f{Ä)-f{Ä')\. 

Donc, si A' varie et tend vers A supposé fixe, le second membre tend 
vers o, par suite aussi le premier. 

Supposons maintenant qu'on considère une suite de fonctions /*,,/",,..., 
fy^ ... ayant une limite f] la transformation â{b ^B), appliquée à toutes 
ces fonctions, donne de nouvelles fonctions f^j , f, , • . . , ^v > • • • et j^; je 
dis que p^ tend vers ^. Il y a, pour un point A de P, trois cas possibles: 

i*^ b<f\A)<B. Quand y dépasse une certaine valeur^, on a: 
b<f^{A)<B^ et par suite: p^{A) = f„{A)] comme f>{A) = f{A), on b,: 
\imf^,{A) = (p{A). 

2** B<f{A), A 6>o correspond p tel que, si i^>^p, on a: 
B — £<f^{A), Dans ces conditions, que fy{A) surpasse ou non B, on a: 
B — s <f>v{A)<B'j comme ff{A) = B, on a encore: lim f>^(^) = ^(^). 

3** f{A)<b, La démonstration est analogue. 

Cela posé, je dis que la transformation â(b, S), appliquée à une fonc- 
tion f de classe <^«, donne une fonction ^ de classe <a. Le fait a été 
établi pour a = o. Pour qu'il soit établi dans le cas général, il suffit, 
d'après le principe de récurrence généralisé, de montrer qu'en l'admettant 
pour tous les nombres inférieurs au nombre déterminé or, il a encore lieu 
pour a. Or, si f est de classe <a, /* est la limite d'une suite de fonc- 
tions f^yf^y • • • j /i > • • • ^^°* chacune est de classe < a; en appliquant à 
toutes ces fonctions la transformation d{b^B)^ on obtient une suite ^, , 
f^a j • • • > f y ) • • tendant vers ^ , et chacune des fonctions j^^ est de classe 
< a , d'après l'hypothèse admise ; donc <p est de classe < a . 

Si /", supposée de classe <a, est bornée, si m et Jf sont ses bornes 
inférieure et supérieure, en prenant: 6 = w, B = M^ on a jp = Z', la suite 
9\ y 9i y • • • > f^y ) • • tend vers /", et on a: W'<^^<M, Donc, une fonc- 
tion bornée de classe <ol peut être considérée comme la limite d'une suite 
de fonctions de classes < a, dont chacune est comprise entre les bornes de f. 

3. La somme algébrique, le produit d'un nombre fini de fonctions 
finies de classe < a est de classe <^ a . Dans le cas de a = o, cela résulte 
de la définition des fonctions continues. Admettons le théorème pour tous 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 5 

les nombres inférieurs au nombre a, et étendons-le à ce nombre; il suffit 
de considérer le cas de deux fonctions. Soient donc f et g deux fonctions 
finies et de classes <a'y elles sont respectivement limites de fonctions f^ et 
g^ de classer <a; d'après Thypothèse admise, f^+g^y f^g^ sont de classes 
au plus égales à la plus grande des classes de fy, et g^^ donc de classes 
<«; or fj,±g^y fj,g^ tendent vers f±g, fg y qui sont donc de classes < a. 

Une série, dont tous les termes sont des fonctions finies de classes <a, 
si elle est convergente en tout point de P, définit par sa somme une fonc- 
tion de classe <oi\ car la somme des n premiers termes est une fonction 
de classe < oc. 

Une série, dont tous les termes w^ , w, , . . . , «v , • . . sont des fonctions 
finies définies en tous les points de P, et qui est convergente en chacun 
de ces points, est dite uni/œ^mément convergente sur P si, quel que soit 
£>o, et quel que soit l'entier A, il existe un entier 7i>h tel qu'on a, 
en tont point de P: 

|l*.4., +11»+, + ...|<s. 

Nous allons montrer que, si les termes d'une telle série sont des fonc- 
tions de classes < ot , la somme f de la série e^t aussi de classe < a . Dans 
le cas de a = o, ce théorème se réduit à une proposition connue relative 
aux fonctions continues. ^ 

Pour traiter le cas de a > o, j'utiliserai la remarque suivante : * Étant 
donnée une série uniformément convergente: w, , w^ . . . . , n„ , . . . , 07i peut, 
par un certain groupement de termes cmisécutifSy la remplacer par une série: 
^0 i U^ y • • j ^i y • • • ^^^^ ^^^ termes sonty à partir du secondy inférieurs en 
valeur absolue à ceux d'tme série convergente à termes positifs numériques 
donnée. 

Si les u^ sont de classes <a, il en sera de même des L\, dont chacun 
est la somme d'un nombre fini de termes u^. 

Tout revient donc à montrer que si Ton a une série de fonctions de 
classes < a : w, , i<, , . . . , i*^ , . . . et ime série convergente à termes numé- 
riques positifs: «1 , a, , . . . , Ö, , . . . , telles que: |t*„|^av> ^^ somme f de la 
série est de classe <ol. 

D'après l'hypothèse, il y a, pour w^,, une suite de fonctions u^^^, 
K.2 1 •••» Wy.r > •••» tendant vers w^, toutes de classes <a, et telles que, 

* Leçons sur Its fondions diacunlinueSy p. III. 

* Pour la démonstration, voir loc. cit., p. Il 2. 



(> René Baire. 

quel que soit p: |^^,,p|^ffv- Si on pose: /i = ^i.» + Wj,» + • • • + ^ï,t, on 
vérifie ^ que /J a pour limite f. Or, /) est de classe < a , comme somme 
d*un nombre fini de fonctions de classes <a. Donc /'est de classe <a. 

Etant donnée une série uniformément convergente, on dit que la somme 
f^ des V premiers termes tend uniformément vers la somme de la série. 
On voit que, si une fonction f^ de classe < a tend uniformément vers une 
limite /*, f est aussi de classe <a. 

Si une fonction f est telle que, quel que soit e > o, il existe une fonc- 
tion (p de classe < a difféi^ant de f de moins de s, f est de classe < a . 
En effet, prenons une suite de nombres positifs tendant vers o, soit Sj, 
^2 , . . . , s^ , . . et prenons, pour chaque s^, une fonction f^ de classe ^a 
telle que j/^ — r|<^/. on voit que f^ tend uniformément vers /*, qui est 
par suite de classe <a. 

4. Montrons que l'étude des fonctions non finies ou non bornées 
peut se ramener à l'étude des fonctions bornées. Nous utiliserons pour 
cela la transformation T qui remplace la variable y pouvant prendre toutes 
les valeurs de R par une nouvelle variable z définie comme il suit: 

(Pour — co<y<o, z = —'—-'> 

Pour o<i/< + co, z = — 7—. 

On sait * que si les nombres : y^ , y^ ^ , . . , y^ , ... et y^, appartenant 
à JB', ont pour transformés par T les nombres z^ y z^ ^ . , . , z^ , . . . et z^, 
il y a équivalence entre les conditions: 

lim y, = yo et lim z, = z^, . 

En appliquant la transformation T aux valeurs d'une fonction f dé- 
finie sur un ensemble P, on obtient une fonction jr, comprise entre — i 
et I, qui est la transformée de f par T; f est la transformée de p par I'""^ 

I. Si on considère une suite de points de P: ^j , ^, , . . . , -4,, , . . . 
ayant pour limite un point ^, il y a équivalence entre les conditions: 

lim f{Ä,) = f{A) et \im^{A,) = ç^{A), 



* loc. cit., p. 113. 

* loc. cit., p. 122. 



1 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 7 

II. Si l'on a des fonctions A", , /^ , . . . , Z^^, , . . . et /, définies sur P, 
et si leurs transformées par T sont f^i , f^.^ , • • . , {^w , • . • et {t , il y a équi- 
valence entre les conditions: 

Hm f.,'=f et lim (p^ = <p . 

Nous avons réservé le mot de fonction continue aux fonctions finies. 
Une fonction peut avoir en certains points Tune des valeurs +co, — oo, 
et posséder en tout point A la propriété: Yvaif[Aj,) = f{Ä) pour toute suite 
de points ^, , ^4^ , . . . , ^,, , . . . tendant vers A . Nous dirons qu'une telle 
fonction est continue (sens étendu). D'après I, on voit que: 

Une fonction f et sa transformée ç sont continues [sens étendu) ou non 
en même temps. 

Si f est de classe o, il en est de même de y ; mais, si ^ est de classe 
o, f n'est de classe o que si elle est finie. Je dis que, étant données une 
fonction f et sa transformée <p, si Vune de ces detix fonctimis est de classe 
a (a>^i), il en est de même de Vautre, 

Admettons cette proposition pour toutes les valeurs de a > i et in- 
férieures à un nombre yS, et démontrons-la pour ß, 

1 ° Si /* est de classe ^, il y a une suite /j , /^ , . . • , /L , • • • tendant 
vers f, chaque fonction f^ étant de classe <ß. Les transformées ^,, 
jp, , . . . , f^^ , . . . de /i , /i , . . . , Tv , . . . sont, d'après la proposition admise, 
de classes <ß et tendent vers j^; donc f? est de classe <ß, 

2° Si f est de classe ß, il y a une suite f?, , c?, , . . . , f^v , . . . tendant 
vers ^, chaque fonction ^^ étant de classe <ß et étant comprise, comme 
^ , entre — i et i . Prenons une suite de nombres positifs inférieurs 
à 1 et tendant vers i , soit ii, , A, , . . . , Ay , . . . . La fonction Å^^^^ qui 
tend vers jp, est comprise entre des nombres intérieurs à l'intervalle 
( — 1,0; donc la transformée de X^^^ par 2'~\ soit f,, est bornée; f^ est 
de même classe que A^fp^, c'est-à-dire que p^, si cette classe est >^ i, d'après 
la proposition admise, et aussi dans le cas où elle est égale à o, car alors 
/^, étant bornée, est une fonction continue proprement dite; ainsi les /i, 
qui tendent vers /', sont de classes <ß] donc f est de classe <ß. 

Les fonctions f et ^ appartiennent donc à deux classes dont aucune 
ne peut surpasser l'autre; donc f et ^ sont de même classe. 

On voit, en outre, qu'une fonction f quelconque de classe <a peut 



1 



8 René Baire. 

être considérée comme la limite d'une suite de fonctions bornées de 
classes <a. 

Supposons qu'on soit parvenu à déterminer une condition {A) né- 
cessaire et suffisante pour qu'une fonction bornée soit de classe <a (a 
étant >^ I et déterminé); supposons que la condition (A) soit invariante 
par rapport aux transformations T et T^\ c'est-à-dire que, ^ étant la 
transformée par T d'une fonction /*, les fonctions f et ^ remplissent en 
même temps ou non la condition (A); je dis que (^) est la condition né- 
cessaire et suffisante pour qu'une fonction qtielcûnque soit de classe <^a. 
En effet: i° Bi f est de classe <^a, j^ est aussi de classe ^a, et, étant 
bornée, satisfait à (A); donc f satisfait à (^). 2° si /* satisfait à {A), il 
en est de même de ^; f?, étant bornée, est de classe < a, donc f aussi. 
Cela nous permettra, dans la suite, d'introduire le plus souvent la restriction 
qu'on s'occupe de fonctions bornées, les résultats s'étendant facilement au 
cas général. 



CHAPITRE IL 



Les ensembles à n dimensions» 



5. J'indique ici les résultats relatifs à la théorie des ensembles de 
points à n dimensions dont j'ai besoin pour la suite; pour la plupart 
d'entre eux, je me contente de donner les énoncés, renvoyant pour les 
démonstrations aux »Leçons sur les fonctions discontinues), (Ch. V, sec- 
tion I). 

P , Ç , jR , . . . étant des ensembles de points dans G„ , on désigne par 
D{1\ Q , a , ' ") l'ensemble des points communs à P , Ç , iî , . . . , par 
M{P , Q , R y . , ,) l'ensemble formé par la réunion de P, (?, JB, ...; quand 
P ^ Q y R y , , , n'ont deux à deux aucun point commun, on écrit aussi: 

M[P, Ç,P,...)=P+(? + A+... 

Si P , (? , iî , . . . sont fermés et en nombre fini^ M{P ^ Q , R^ . , ,) est 
ferméy car tout point limite pour cet ensemble est limite pour l'un au 
moins des ensembles P , Q , R ^ , , , , 

Si P , Ç , i? , . . . sont fermés^ D[P , Ç , P , . . .), s'il existe, est fermé. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 9 

Si on a des ensembles fermés Pj , P, , . . . , i^^ , . . . tels que: 

P, >P,>...>P,>... 

chacun contenant au moins un point, et si P, est borné, il y a au moins 
un point commun à tous. 

6. P étant un ensemble quelconque, on désigne par P^ l'ensemble 
dérivé, ou dérivé d'ordre i, de P. Nous désignerons par P^ l'ensemble 
M{P ^ P^), et nous dirons que c*est le dérivé d'ordre o de P. On voit 
que P^ comprend, outre les points de P\ les points qui font partie de P 
sans faire partie de P\ c'est-à-dire les points isolés de P. Ainsi, un point 
A appartient à P® si foute sphère de centre A contient au moins un poird 
de F y et il appartient à P^ si toute sphère de centre A contient une in- 
finité de points de P. 

V ensemble P° est fermé et a pour dérivé P\ car si un point A est 
limite pour P®, c'est que toute sphère de centre A contient une infinité 
de points de P^: ces points appartenant à P ou P\ le point A fait partie 
de P'; réciproquement, un point de P\ étant limite pour P, est limite 
pour P°, qui contient P. 

Si un point A n'appartient pas à P*, il y a une sphère de centre A 
et de rayon positif qui ne contient aucun point de P: on dit que A est 
extérieur à P. 

Si P est dense en lui-même, on a P <P^\ il v a donc identité entre 
P^ et P': P' est parfait. ~ 

7.^ Si l'on a des ensembles fermés ou nuls correspondant aux nombres 
des classes I et II: 

i\\ P P P 

avec la condition que a < a' entraîne P« > P^ , ces ensembles sont tous 
identiques entre eux à partir d'une certaine valeur yî de a, c'est-à-dire que: 

Fß = P9+1 = . . . . 

En désignant par P/> l'ensemble commun à tous les ensembles (i), 
on a, en outre, les résultats suivants: 

* loc. cit., p. 103, 104, 105. 

Aeia nMthemaiiea. 80. Imprimé le 14 août 1905 2 



10 Bene Baire. 

I. Si, pour tout nombre a de seconde espèce, P« est Tensemble 
commun à tous les ensembles P«' d'indice inférieur à a, on a: 

Po = Z ( p, - p,^ + ^x. , r = o , I , . . . < /9 . 

II. Si, outre la condition I, on a P^^ = Oj et si P^ est borné, il y 
a un nombre y tel que Py contient des points, P^^^ étant nul. 

III. Si les ensembles (i) sont tels qu'un point isolé de Tun d'eux 
ne fait pas partie du suivant, P/.> est nul ou parfait 

Ces considérations s'appliquent en particulier aux ensembles dérivés 
dun ensemble quelconque P. En tenant compte de la définition donnée 
plus haut du dérivé d'ordre o, on voit que P a des dérivés marqués par les 
nombres des classes I et II à partir de o, et par Ä, soit 

PO pi pi pa pSJ 

On a 

(2) p' = j:{P'—p^-'') + p''\ 

P^^ est nul ou parfait, et les ensembles P^ sont tous identiques à P^' à 
partir d'une certaine valeur de ;'. Si, dans un domaine borné, P" est 
nul, il y a un nombre j- tel que P' contient des points dans ce domaine, 
tandis que P''^^ y est nul: P' contient dans ce domaine un nombre fini 
de points. 

Dans la formule (2), chaque terme P^ — P"^^ est un ensemble isolé, 

par suite dénombrable, donc S(P' — P^^^) est aussi dénombrablç. 

8. Soit P un ensemble parfait. Désignons par 2', soit une sphère 
à n dimensions, soit un parallélépipède de côtés parallèles aux axes, con- 
tenant au moins un point de P à son intérieur. Considérons l'ensemble 
JST des points de P qui sont intérieurs à £; K est dense en lui-même, car, 
au voisinage de tout point ^ de -ST existent des points de P intérieurs à 
2] donc {§ 6) K^ est parfait. D'ailleurs K^ est contenu dans P. Nous 
appellerons portion * de P déterminée par 2' l'ensemble parfait Pj ^ K^; 

^ La définition actuelle dififère légèrement de la définition donnée duns les »Leçons 
etc.», (p. 105), en ce qu'un point de la surface de 2' n'est ici considéré comme ap- 
partenant à la portion que s* il est limite de points de P intérieurs it 1\ Cela ne 
modifie en rien la définition des ensembles non denses. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 11 

de plus, nous conviendrons de dire que tout point de K est intérieur à 
la portion P, de P. D'après cela, pour qu'un point ^ de P soit intérieur 
à une portion déterminée P^ de P, il faut et il suffit qu'il existe une 
sphère de centre Ä et de rayon positif telle que tous les points de P 
contenus dans cette sphère appartiennent à P^. 

Soit P un ensemble parfait, et Q un ensemble contenu dans P, Deux 
cas seulement sont possibles: 

1 ° Dans toute portion P^ de P existe une portion P, qui ne contient 
aucun point de Q^ (et par suite aucun point de Q^), Nous dirons dans 
ce cas que Q est non dense dans P. 

2^ Il existe une portion P, de P telle que toute portion P, de P, 
contient des points de Q, La partie de Q contenue dans P^ est alors 
partout dense par rapport à P,, et la partie de Q"^ contenue dans P, coïn- 
cide avec Pj. 

On voit que, si Q est non dense dans P, on peut, au voisinage de 
tout point de P, trouver un point de P n'appartenant pas à Q^y et réci- 
proquement, si ce fait a lieu, Q est non dense. 

Si Q est fermé et ne coincide pas avec P, il y a une portion de P 
qui ne contient aucun point de Q. 

9/ En supposant toujours que Q est un ensemble contenu dans l'en- 
semble parfait P, nous dirons que Q est de première catégorie par raf)port 
à P si Q peut être formé par la réunion d'un nombre fini ou d'une in- 
finité dénombrable d'ensembles non denses par rapport à P. 

Tout ensemble qui n'est pas de première catégorie est dit de deuxiètne 

catégorie. 

Un ensemble contenu dans un ensemble de première catégorie est 
lui-même de première catégorie. 

Un ensemble formé par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité 
dénombrable d'ensembles de première catégorie, est lui-même de première 
catégorie. 

Si Q est de première catégorie dans P: 1° /a partie de Q coiitenne 
dans une portion P, de P est de première catégorie dans P, ; 2° il y a, 



* loc. cit.. }? 65, p. 105. 



12 René Bai re. . 

dans toute portion P, de F, des points de P qui n'appartiennent pas à Q; 
3° P — Q est de deuxième catégorie. 

Dans les applications, nous aurons souvent à considérer un ensemble 
Q^ contenu dans un ensemble parfait P et dépendant d*un entier n de 
manière qu*on ait: 

Soit : 

Nous dirons que Q est Tensemble limite de Q„. On voit que si Q„ est 
de première catégorie, l'ensemble limite Q Test aussi. 

La même remarque s'applique au cas d'un ensemble Qp dépendant d'un 
nombre positif p^ avec la condition que yo' </> entraîne Qp'^Qp* Prenons 
une suite quelconque de nombres positifs décroissants tendant vers o: />, , 
Pjy ' ' ' y Pn j ' ' ' ®t soit Q l'ensemble limite de Q^^. On reconnaît que Q est 
indépendant de la suite choisie; nous dirons encore que Q est l'ensemble 
limite de Q^ quand p tend vers o. Si, pour toute valeur positive de p^ 
Qp est de première catégorie, il en est de même de Q, 



CHAPITRE III. 

Les fonctions de classe 1. 

lo. Supposons qu'une fonction f soit définie en tous les points d'un 
ensemble F de ö^„, F étant quelconque^ et f pouvant prendre toutes les 
valeurs de l'ensemble B' défini au § i. 

Si l\ est un ensemble contenu dans F^ f est définie aux différents 
points de f\^ l'ensemble des valeurs de f en ces points a une borne 
supérieure, une borne inférieure et une oscillation,^ que nous désignons 
respectivement par: 

Mif, i\), m{r, i\), <o{f, r,) = Mir, i\)-m{f, r,). 

* On convient de poser, si a est fini: 

+ oo — a = a — ( — Qo) = + oo — (— cx)) = + cx) , 
+ CO — ( + cx^) — ( — oo) — ( — QO) = O 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 13 

On a évidemment, si I\ est contenu dans I\: 

Soit maintenant A un point de T^ (§ 6). En appelant /], la partie 
de F contenue dans la sphère de centre A et de rayon p^ on reconnaît 
que, loreque p décroît et tend vers o, les nombres Mif, F^), o)(f, /),) ne 
croissent pas, le nombre m(/, 7'^) ne décroît pas; ces trois nombres ont 
donc des limites, que nous désiju^nons par: 

Mir, 1\ A), m{f, I\ A), 



CD 



(/•, r, A) = M{f, r, A) — m{f, r, a)>o, 



et que nous appelons respectivement maximnm, minimum, osciUatiou de f 
<ni A par rapport à /\ 

D*après ces définitions, si un point A de /'^ est iiffêrieifr à une 
sphère 2' et si F, est la partie de /' contenue dans 2, on a: 

M{f, F, A) < M{f\ F,); mif, l\ A) >m{f\ Z^); w(f\ F, A)<w{f, /;). 

II. Si Z' est définie au point A^^ de 7'^, (ce qui n'a pas lieu néces- 
sairement), on a 

M{f,I\A,)>f{A,). 
Supposons qu*on ait: 

(i) 3/(/-, Z', J„) = /-(A). 

Alors, quel que soit s > o, on peut trouver un nombre positif p tel que, 
dans la sphère de centre .^o ^t de rayon />, on ait, en tout point A de F: 

f{A)<f{A,) + B, 

Réciproquement, cette propriété entraîne la condition (i). Nous dirons que 
hi fonction f est semi-continue supérieurement en A^ par rapport à I\ 

De même, nous dirons que /* est semi-continue infhieuremetit en A^^ 
par rapport à F si Ton a: 

m{fJ\A,) = f{A,). 



14 René Baire. 

Si, au point A^^ on a: 

M{r, r, A,) = m{f, r, a,) = r{A,), 

la fonction est rontinne en A^ par rapport à F; la condition de continuité 

s'exprime par: 

ù){f, /', Ao) = o. 

Si une fonction f définie en tous les points d*un ensemble fermé P 
possède en chaque point de cet ensemble la semi-continuité supérieure, ou 
inférieure, ou la continuité, nous dirons qu elle est seinicontiniie supérieure' 
ment y ou mférieurem^nt, ou continue sur P. Toutefois, dans ce dernier cas, 
pour nous confomier aux définitions du chapitre I, la fonction ne devra 
être considérée comme une fonction continue proprement dite que si elle 
a en chaque point une valeur finie. 

Si P, est un ensemble fermé contenu dans l'ensemble fermé P, la 
semi-continuité supérieure (inférieure) sur P entraîne la semi-continuité su- 
périeure (inférieure) sur Pj. 

Si f est semi-continue supérieurement, — f est semi-continue in- 
férieurement. 

La somme d'un nombre fini de fonctions semi-continues supérieure- 
ment est aussi semi-continue supérieurement. 

Si f définie sur l'ensemble fermé P est semi-continue supérieurement, 
l'ensemble // des points où l'on a: f>^k^ k étant un nombre quelconque, 
est fermé. En effet, si Aq est limite d'une suite de points en chacun 
desquels on a: f>^ky il en résulte: M{f^ P^ A^>_k, et par suite: 

/•(^) = ilf(A P,A)>Ä; 

donc l'ensemble H contient tous ses points limites. 

12. Soit f une fonction définie sur un ensemble F quelconque. 
Nous avons défini, en chaque point A de F^ ^ le nombre M{t\ F, A)\ ce 
nombre est donc une fonction (f{A) définie en tout point de l'ensemble 
fermé /'^; je dis que cette fonction est semi-rontinue supérieurement sur 
n. En effet, soit A^ un point de P® et s un nombre positif; nous 
pouvons déterminer une sphère 2*, de centre A^ telle que, F^ étant la 
partie de F contenue dans cette sphère, on ait: 

M{f,l\)<M{f,l\A,)-\-s, 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 15 

et par suite, si Ä est un point qiielcmique de F^ intérieur h S^ : 

Mir, r, A) < Mif, i\) < M{f, r, ä,) + s, 

d'où Ton déduit que, dans une sphère S^ concentrique et intérieure à 2',, 
on a, en tout point de T: 

C'est la propriété qui caractérise les fonctions semi-continues supérieure- 
ment. 

On reconnaît de même que <p{Ä) = w(/', /', A) est semi-continue in- 
férieurement sur /^. 

La fonction (o{A)^ qui est égale en chaque point A de /'° à Toscilla- 
tiou de /", étant la somme des fonctions ^ = 3f (A r^A) et — ^ = — m{f^ f\ A)^ 
est semi-continue supérieurement, 11 en résulte que Tensemble des points 
de r^ où l'oscillation de f est > <t, tr étant un nombre positif, est fermé. 

13. Une fonction f définie en tous les points d'un ensemble j)«r/aî7 
P est ponctneHenient discontinue sur P, si, quel que soit <7 > o, l'ensemble 
des points J^ de P où ù}{fy F, A)>^(t est non dense dans P; alors l'en- 
semble des points de discontinuité est de première catégorie; il y a, dans 
toute portion de P, des points de continuité; la fonction (o{f) a, dans 
toute portion, et par suite en tout point, son minimum nul. (Nous faisons 
rentrer le cas des fonctions continues dans ce cas.) Dans le cas contraire, 
f est totalement discontinne: il existe un nombre positif a et une portion 
// de P telle qu'en tout point de // on a û>^a; on voit que ü}{f) a 
son minimum > a dans la portion //. ^ 

Théorème I. La condition nécessaire et suffisayvte pour qumie fonction 
déjinie sur un ensemble fermé F soit de classe < i est qu'elle soit ponctuelle- 
ment discontinue sur tout ensemble parfait contenu dans P. ^ 

* loc. cit., § ôjy p. 108. 

' La démonstration de ce théorème résulte des §§ 68, 73 et 74 des »Leçons sur 
les fonctions discontinues», où toutefois l'ensemble P est supposé parfait; mais les rai- 
sonnements des §§ 73 6t 74» ^^^ établissent que la condition est suffisante, sont valables 
en supposant seulement que P est fermé. L'extension du résultat, démontré d'abord 
pour les fonctions bornées, aux fonctions quelconques, (§ 'J'J) peut se faire en remarquant 
que la condition de Ténoncé est invariante par rapport aux transformations T et T~~^ 
{^ 4 du présent mémoire). 



i\ 



16 René Bailee. 

14. Une fonction semi-continue, supérieurement par exemple, sur un 
ensemble fermé P, est de classe < i . ^ 

Une telle fonction a la propriété suivante. I étant une sphère con- 
tenant des points de P, soit f{I) le maximum de f dans S] étant donné 
un point ^ de P , et une sphère H de centre A dont le rayon tend vers o, 
f?(2') a pour limite f{Ä). Nous allons établir une propriété en quelque 
sorte réciproque. 

Soit P un ensemble fermé. Supposons qu'à chaque sphère I con- 
tenant des points de P corresponde un nombre ç{I)^ avec la condition 
que si S' est contenu dans 2*, on ait: ^{I') <ff{I). Soit ^^ un point de 
P, et soit 2' la sphère de centre A^ et de rayon p] quand p décroît et 
tend vers o, çr{S)y qui ne croît pas, a une limite déterminée. Soit fiA^) 
cette limite; je dis que f{A) est semi-continue supérieurement. En effet, 
soit s un nombre positif; nous pouvons déterminer une sphère S de centre 
A^ telle qu'on ait: cr(2') < /'(^^) + s. Soit A un point quelconque de P 
intérieur à 2', il y a une sphère de centre A contenue dans J, d'où il 
résulte qu'on a: 

nA)<<p{i:)<nA,) + s. 

La fonction f possède donc bien la semi-continuité supérieure. 

15. Il résulte du théorème I que si une fonction n'est pas de classe 
<^ I, il existe un ensemble parfait sur lequel elle est totalement discontinue. 
Pour démontrer qu'une fonction définie sur un ensemble fermé P est de classe 
< I , il suffira donc de démontrer que dans tout ensemble parfait H von- 
tenu dans P existe une portion sur laquelle f est de classe < 1 . En 
particulier, une fonction quelconque définie sur un ensemble fermé dé- 
nombrable (autrement dit réductible) est de classe < i . Une fonction dé- 
finie sur un ensemble fermé P est de classe <^ i si elle est de classe < i 
sur l'ensemble parfait P^. 

Soit /"j une fonction de classe < i définie sur un ensemble fermé P^ , 
f^ une fonction de classe < i sur un ensemble fermé P^ ; je considère la 
fonction f qui est égale à f^ en tout point de Pj , et à f^ en tout point 
de P, qui n'appartient pas à P,. Je dirai que f est obtenue par la super- 



^ loc cit , § 78, p. 124; même observatioQ que plus haut. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 17 

position de /*, k f^\ f est définie sur Tensemble fermé M{P^ , P^), Je dis 
que f est de classe < i . 

Il faut montrer que, dans tout ensemble parfait H contenu dans 
3/(Pj , P,), existe une portion de H dans laquelle /" est de classe < i . 
Posons: Ä, =D{H,P^), Ou bien H^ coïncide avec jff, et /* est identique 
sur H h f^j donc de classe < i . Ou bien H^ ne coïncide pas avec JET, et 
comme jff, est fermé, il y a (§ 8) une portion K de H ne contenant aucun 
point de H^ et par suite de P, ; sur Ä', f est identique à f^^ donc de 
classe < I . 

Le théorème est donc établi; il s'étend de suite au cas de h fonctions 
superposées, et Ton a Ténoncé suivant: Soient f^yf^j • - ) fh ^^s fonctions 
de classe < i respectivement définies sur les ensembles fermés P^ , P,, . . . , P,,. 
Prenons f égale à fi aux points de P»- qui ne font pas partie de P, , P, , . . . , 
P,_,. La fonction /", définie sur M{P^ , P, , . . . , PJ, est de classe < i. 

16. Nous nous sommes occupés, dans les i$ 13, 14, 15, de fonctions 
définies en tous les points d*un ensemble fef^mé. Nous allons maintenant, 
dans le cas où Ton donne une fonction sur un ensemble P quelcmique^ 
étudier la question suivante: à quelles conditions est-il possible de com- 
pléter la définition de / aux points de l'ensemble fermé P® où elle ne se 
trouve pas définie, de manière à obtenir une fonction F de classe o, ou 
de classe <iy etc.? Si ce problème est possible, nous conviendrons de 
dire que la fonction f\ incomplètement définie sur P®, est de classe o, i,... 
suivant le cas. 

Le cas des fonctions continues se traite sans difficulté. Il est évidem- 
ment nécessaire, pour que /*, définie sur l'ensemble P quelconque, soit 
de classe o, qu'en chaque point Ä de P^ on ait: û>(/\ P, Ä) = o. Cette 
condition est aussi suffisante, car si elle est remplie, il suffit de poser, en 
tout point Ä de P^: 

F{A) = M{f, I\ A) = m{f, P, A). 

La fonction F^ continue sur P®, est identique h f sur P. 

17. Pour traiter le cas des fonctions de classe i, nous donnerons 
d'abord une extension aux notions rappelées au § 13. 

Acta matJiematioa. 30. Imprimé le 14 août 1905. 3 



'i 
I»' 



18 René Baire. 

Soit H un ensemble parfait, / se trouvant définie seulement en certains 
points de Ä, formant un ensemble /*; l'ensemble F^ est contenu dans H\ 
nous dirons que /*, au voisinage d'un point de JT*^, se trouve définie sur 
H^ et au voisinage d'un point de H — 7'®, n'est pas définie. En chaque 
point Ä de V^ existent des valeurs déterminées pour le maximum, le mini- 
mum et l'oscillation de f relativement à jT; nous désignerons ces nombres 
par 3f(A H, A) , m{f, H, A) , w{f, H, A), 

Nous dirons que f est ponctuelle m ejit discontinue sur H si l'ensemble 
des points où cö{f^ H , A)>^a (<7>o), est non dense dans H\ sinon, /'sera 
dite totalement discontinua. Cette définition comprend évidemment la dé- 
finition relative au cas où f est complètement définie sur H, 

Si f est ponctuellement discontinue sur H, l'ensemble K des points 
de discontinuité est de première catégorie par mpport à H\ un point de 
H — K est, ou bien un point de continuité pour f^ ou l)ien un point au 
voisinage duquel f n'est pas définie. Si f est totalement discontinue, il y 
a une portion H^ de H et un nombre positif X tel qu'en tout point de 
JT, , l'oscillation de /'est >^A. 

i8. Etant donnée une fonction f sur un ensemble P quelconque, s'il 
existe une fonction F définie sur l'ensemble fermé P®, égale à f sur P, et 
de classe < \ , cette fonction -F, d'après le théorème I, doit être ponctu- 
ellement discontinue sur tout ensemble parfait H contenu dans P^: donc 
/* doit aussi être, sur tout ensemble parfait, ponctuellement discontinue, au 
sens étendu du § 17. Je dis que cette condition nécessaire est aussi suffi- 
sante. 

Supposons donc f ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait. 
Je vais tout d'abord déterminer, étant donné un nombre positif ^, une 
fonction F^ définie en tout point de P^, différant de f de moins de a en 
tout point de P, de classe <. i , et enfin comprise entre les bornes de f. 

Définissons des ensembles fermés: 

au moyen des trois conventions suivantes: 
1° P^=P\ 
2° P„^, est, quel que soit a, l'ensemble des points A de Pf où l'on a: 



3 



Sur la représentation des fonctious discontinues. 19 

3° Si a est de deuxième espèce, I\ est l'eiisemble commun à tous 
les ensembles d*indice inférieur à a. 

On voit que, si F^l existe, f étant ponctuellement discontinue sur cet 
ensemble, Fa-^\ ^^^ ^^^ dense dans Pf , et Ton en déduit que les ensembles 
(i) sont nuls ^ à partir d'un certain indice ß\ par suite, on peut écrire: 

1\ = P" = Y{I\ — P^^,) a = o,i,...,<ß. 

a 

Chaque ensemble F^ — Pa^i se décompose comme il suit: 

Pour définir t\ en chaque point A de P^, donnons-nous tout d'abord un 
nombre C compris entre les bornes de f^ et distinguons deux cas: 

1° Le point A fait partie d'un ensemble P^ — ^^*- ^^ cas se sub- 
divise en deux: 

a) fest définie en A. Nous posons: FJA) = f{A). 
h) f n'est pas définie en A, Nous posons: F^iA) = C. 
2° Le point A fait partie d'un ensemble F^ — Pa+i- Soit //„ l'en- 
semble des points de Fjf où f est définie; en chaque point A de /Il existe 
une valeur pour m{f^ P^, .4). Subdivisons en deux cas: 

c) A fait partie de //;j. Nous posons: F^{A) =^ m{f, F^\ A). 

d) A ne fait pas partie de H à. Nous posons: F^{A) = C\ 

On voit que si A fait partie de //«. et ne fait pas partie de P^+d 
ensemble des points de Pf où a}{f, Pf , A)>^€r, on a: 

3/(/-,Pf,^)-m(/-,Pf,^)<^, 
d'où il résulte: 

(2) o<nA)-^F,{A)<a. 

Cette condition est remplie aussi dans le cas a); elle est donc remplie 
en tout point où f se trouve définie. F^ est évidemment compris entre les 
bornes de f. Il reste à montrer que F^ est de classe < i , et pour cela 
(§ ^5)j ^}^^ d^^^^ ^^t ensemble parfait H existe une portion sur laquelle 



* Cf. loc. cit., § 74, p. 117. 



20 Bene Baire. 

F^ est de classe < i. H étant un ensemble parfait quelconque contenu 
dans P* = Po, posons: H^ = D(H,P,). On en déduit: 

et par suite: 

IT= ^{JJa ^a+l) a = 0,l,2,...,<Ä. 

a 

Les ensembles JI^ — tfa^i ^^ peuvent être tous nuls; soit rj le plus petit 
des nombres pour lesquels H^ — H^^^ n'est pas nul. On a: 

H = H^= H^ = . . . = H^> H^^^ . 

De H = H\,<F^ on déduit: W' <P!^ , et comme H est parfait: 

Comme l'ensemble ferme 7/^^.i = 7>(/^, P^^,) ne coïncide pas avec //, 
il y a une portion K de H qui ne contient aucun point de i/^+i, par suite 
aucun point de P^n. L'ensemble parfait K est contenu dans P^' et ne 
contient aucun point de P,+i; donc, d'après les définitions c) et d), i\ est 
égal sur K à la constante (\ sauf aux points A de l'ensemble fermé 
T)[ni, ÄT), où t\ est égal à m(f^P^,A)\ cette dernière fonction est semi- 
continue infcrieurement, par suite de classe < i , sur //J et aussi sur /^(//J, A") ; 
ainsi i\ est obtenu, sur JST, par la superposition de cette fonction. à la 
fonction constante (7; donc (§ 15), t\ est de classe <i sur K, qui est 
une portion de H. Ainsi F^ remplit toutes les conditions indiquées. 

Posons, en tout point de P: 

On a, d'après (2): 

o < ^, <a. 

La fonction (p^ définie sur P est ponctuellement discontinue par rapport 
à tout ensemble parfait 7/, car l'ensemble des points de discontinuité de 
(p^=f — F^^ ne pouvant comprendre que des points de discontinuité de 
/ ou de F^^ est de première catégorie par rapport à //. On peut donc 

appliquer la méthode ])récédente à (p^ et, remplaçant a par ^ , déterminer 

une fonction F^ <le classe < i définie sur P^ telle que: 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 21 

En continuant l'application de la méthode, en obtient successivement: 



a ^ -^ ^ o 



iP,= t\ + il^,^,, o<ip,^,<-, o<F,<-^^, 



Les F^ sont des fonctions de classe < i définies sur P®, et forment une 
série uniformément convergente; donc la fonction 

F = ii; + F, + ... + F, + ... 

est définie sur P" et est de classe < i . 
On a, en tout point de P: 

f= F^ + F, + J^; + . . . + F, + ô,,, , 

et comme ç^^^., tend vers o, il en résulte: f= F, 

En résumé, on a déterminé une fonction F de classe <^ i sur P°, 
égale à f en tout point de P, ce qui démontre la proposition énoncée. 



CHAPITRE IV. 

Propriété cotnmune aux f'odictioits de E. 

19. Soit 7/ un ensemble parfait; supposons qu'une fonction /' soit 
définie en tous les points de N, 

Je désigne par 3/'(/', H) la borne supérieure des nombres A tels que 
l'ensemble des points de H où />/ est de deuxième catégorie. L'en- 
semble des points où f'> M' — s, (s > o), est de deuxième catégorie. 
L'ensemble des points où /'> .1/' + s est de première catégorie; ce dernier 



if 



? 



22 René Baire. 

ensemble, qui dépend de e, et ne peut que s'accroître quand s décroît, a 
pour limite, quand s tend vers o, Tensemble des points où Z' > M\ lequel 
est par suite de première catégorie (§ 9). En résumé, il existe un nombre 
M'{f^H) tel que l'ensemble des points où f>M*{f,H) est de première 
catégorie, tandis que l'ensemble des points où f>M'[f^H)-^e^ {z>o) 
est de deuxième catégorie. Cette double propriété ne peut évidemment 
appartenir qu'à un seul nombre, elle caractérise donc le nombre M\fy H). 

On a évidemment: M{f,H)>3r{f,H). 

De la même manière, on voit qu'il existe un nombre déterminé m'{fy H) 
caractérisé par ce double fait que l'ensemble des points où f <m\f^ H) 
est de première catégorie dans //, tandis que l'ensemble des points où 
f < m'{f, H) + s (^ > o) ^2st de deuxième catégorie. On a: m'(f\ H) > w(/*, //). 

Je dis qu'on a: M'{f, H)>^m\f\ H). En effet, l'ensemble Q des points 
où f > 3f ' est de première catégorie ; donc l'ensemble H — Q est de deuxième 
catégorie, et en chaque point de cet ensemble, on a f<M\ Donc, d'après 
la propriété caractéristique de m\ on a 31'>^m'. 

On a donc: 

M{f, H)>M'{f, H)>m'{f, H)>m{f\ H). 
Posons : 

noug aurons: 

w'if,IJ)<<o{f,H). 

Nous dirons que M' , m' , (o\ sont le maximum, le minimum^ V oscillaticni 
de f sur H, quand on néglige les ensembles de première catégorie, lie- 
marquons que si P est un ensemble de première catégorie dans H, on 
peut, dans la définition de M' , m' , «e>', faire complètement abstraction des 
valeurs de f aux points de P; de plus on a: 

M(f, H-P)>M\f, H), m(f, H-F)< m'{f, H), 

a>{f\H-F)> a,' if, H). 

20. Je dis que ai i/, est une portion {% 8) de H, on a 



Sur Li représentation des fonctions discontinues. 23 

En effet, Tenseinble des points de H où f>M\f^H) est de première 
catégorie dans H^ donc (§ 9) la partie de cet ensemble contenue dans H^ 
est aussi de première catégorie dans //j, par suite le nombre M'{f^ //,) 
ne peut surpasser le nombre M'{f^ H). * 
On a, dans les mêmes conditions: 

m'{f,H^)>m\f,H) et w\f,H^)<o)\f,H). 

Cela posé, soit A un point de H , Désignons par Hp la portion do 
H déterminée par la sphère 2' de centre A et de rayon p. Quand p 
décroît et tend vers o, les nombres M'{f^ /f^), io'[f^ H^ ne croissent pas, 
le nombre m\f^H^ ne décroît pas; ces trois nombres ont donc des limites, 
que nous désignons par: 

M\f, H, A), m'{f, H, A\ a>'{f, H, A) = M'if, H, A) — mV\ H, A). 

D'après ces définitions, si un point A de // est intérieur à une sphère 
*S^, et si Sj est la portion de // déterminée par S, on a: 

M'{f, H, A)<M\f, H,l m\f, H, A)>m'[f, H,), 

œ\f,H,A)<w\f,H,y 

21. Le nombre M\f^ H, A)*, défini en chaque point A de //, constitue 
une fonction ^', qui fait évidemment partie de la catégorie de fonctions 
étudiées au § 14. Donc ^' est eemi-continue supérieurement. De même, 
(p' = m'{f ^ H j A) est semi-continue in férié urement, et enfin a>'=f?' — ^' est 
semi-continue supérieurement. 

« 

En chaque point de H, on peut avoir f>if' ou bien f<^(p\ mais je 
dis que V ensemble des points oit f>ip' est de première catégorie dans H, 
Pour le montrer, considérons^ l'ensemble (A) des cubes: 

— - — <Xi< — - — / = I , 2 , . . . , 7? 

' Mais, à l'inverse de ce qui a lieu pour la fouction Af, du fait qu'un ensemble 
parfait K est contenu dans ff, ne résulte nullement la condition 3f'(/*, K) ^ M'(f ^ H) 
Par exemple, soit f=0 aux points de l'ensemble H des points du segment (o^ i), 
sauf aux points d'un ensemble parfait non dense K, où /*= I. On a: M'(/*, H) = O 
et M'if, K)= i > M'(f, E). 

* loc. cit., § 61, p. 10 1. 



24 



René Baire. 



ai , «2 , . . . , a, étant entiers, p étant un entier positif. Cet ensemble est 
dénombrable et a la propriété suivante : si A est un point, et si £ est une 
sphère de centre A^ il est possible de trouver un domaine A auquel A 
est intérieur et tout entier contenu dans ï. 

En désignant les domaines de (A) par A, , A, , . . . , A,-, . . . , soit fl, la 
portion de H déterminée par A, si cette portion existe ; le nombre M'{fy Jï,) 
est alors déterminé, et l'ensemble K^ des points de H^ où Ton a f>M\f,H^ 
est de première catégorie dans //,, par suite dans H, L'ensemble 

est donc aussi de première catégorie dans H. Je dis que cet ensemble 
contient tous les points de H où f>ip'. 

En effet, soit A un tel point. On peut poser: 

f{A) = ip\A)^a, a>o. 

Soit £ tel que: o<£<a. Nous pouvons déterminer une sphère 1 de 
centre A telle qu'on ait, B. étant la portion de H déterminée par 2': 

itf'(/",Ä)<f'M) + ^, 

et il existe un domaine de l'ensemble (A) auquel A est intérieur et con- 
tenu dans 2'; soit A^ un tel domaine; H^ est une portion de U et l'on a*. 

M'{f, K^<M'(f, B) < ip'{A) + £ < ip\A) + a = f\A). 

Ainsi, au point ^, on a f{A)> M'{f, Hj)^ ce qui montre que A fait 
partie de Kj^ et par suite de K, 

L'ensemble des points de if où f.>(p\ étant compris dans JST, est de 
première catégorie. Il en est de même pour l'ensemble des points où 
f<(p'. Soit P la réunion de ces deux ensembles, on voit qu'?7 y a un 
ceiiain ensemble P de première catégorie dans H, tel qu'en tout point A de 

H — P, on a: 

,p'{A)<f{A)<f\A). 

2 2. La fonction <p\ définie dans ce qui précède, possède, outre la 
semi-continuité supérieure, une propriété spéciale, que nous allons établir. 
Nous avons d'abord, en vertu de cette première propriété: 



(0 



,p'{A) = M{<f',A)>M'(<p\A). 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 25 

D'autre part, dans une sphère S de centre Ä déterminant une portion 
B de jff , Tensemble des points où f>(p' est de première catégorie, on 
peut le négliger dans la définition des nombres M\f^It) et M\if\R)\ 
comme en tous les autres points où f est définie, f<<p\ on a: 

En faisant tendre le rayon de S vers o, cette inégalité donne, pour les 
limites des deux membres: 

(2) ^'{Ä)=^Mlf,Ä\<M'[<p',Ä\. 

De (i) et (2) résulte: 

<P'{A) = M{ip\ A) = M'{<p' , A), 

propriété plus particulière que la semi-continuité supérieure. 

23. On a vu, dans le chapitre III, l'importance de la notion de 
discontinuité ponctuelle d'une fonction f sur un ensemble parfait H\ cette 
propriété s'exprime par la condition que, U^ étant une portion quelconque 
de if, on a: 

m[w{f,H,A),H,'\ = o 

ou encore 

m[a}{t\H,Ä),H,Ä\ = o 

en tout point A de H, 

D'une manière analogue, considérons une fonction f définie sur H et 

telle qu'on ait: 

m{w'[f,H,A),H,-\ = o 

pour toute portion U^ de if, ou, ce qui revient au même, 

m[(o\f,H,Ä),n,Ä\ = o 

pour tout point A de H. Pour abréger, nous conviendrons de dire que 
f satisfait dans ce cas à la condition 

(I) «i[û,'(/-)] = o 

sur l'ensemble H, 

Ada maihemaiica. 30. Imprimé le 10 aoât 1905. 4 



26 Rene Baire. 

llemarquons que, en vertu de la propriété exprimée par ûi'<û;, les 
fonctions ponctuellement discontinues sur H satisfont à la condition (i), de 
sorte que les fonctions de classe o et i possèdent, sur tout ensemble parfait 
JjT, la propriété (i). 

Si f satisfait à la condition (i) sur -ÉT, l'ensemble fermé des points où 
o}\f^ H ^ A)>^a {(T>o) est non dense dans H, car sans cela, dans une certaine 
portion de H y le minimum de o)'{fy H, A) serait >^<t; donc l'ensemble Q 
des points où o/ > o est de première catégorie, et en tout point de H — Q, 
on a ft>' = o, d'où c' = ô\ 

D'autre part, d'après le § 21, en tout point de // — P, P étant un 
certain ensemble de première catégorie, on a: à'^f^^*- L'ensemble 
IJ = M{P y Q) est encore de première catégorie, et, en tout point de 
// — //, on a: 

f= 9' = à'- 

D'après cela, f^ étant sur H — Tï égale à p' et à ^', est à la fois 
semi-continue supérieurement et inférieurement en tout point A àe H — // 
par rapport à H — //, c'est-à-dire continue. 

En résumé, si f satisfait sur H à m{w'{f))=^o, il y a un ensemble 
de première catégorie fl tel qtCen tout 2)oint A de H — //, f est contintie 
par rapjwrt à H- — H. 

24. lléciproquement, supposons cette dernière condition vérifiée. Soit 
A Q un point de H — /7, et soit s>o; il y a une sphère S de centre A^ 
telle que, dans la portion H^ de H déterminée par 2', on a, pour tout 
point A de Jï— /7: 

f{A,)-s<f{A)<f{A,) + s. 

Comme // est de première catégorie dans H\ on peut en faire abstraction 
dans la définition des nombres M\fy 11^), m\f, /fj, lesquels sont par suite 
compris entre f{AJ — s et /'(^o) + ^i ^^ ^^ ^^^ ^ fortiori de même pour 
les nombres jr'(^o) ^ ^^'ifi ^^^ ^0)) ^^ î^^'i^^o) = ^*'(^> ^) -^0) compris entre 
les précédents; le résultat étant vrai quel que soit s, on a: 

fiA,) = 9'{A^) = f{A,), 

d'où: 

ü>'{A.) = o, 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 27 

Aq étant un point quelconque de H— fi. Enfin, if — /7 étant dense dans 
toute portion de H^ la fonction œ' a son minimum nul dans toute portion 
de JjT, et par suite en tout point, c'est-à-dire satisfait à la condition (i): 
m(a>'(n) = o. 

La fonction ^', étant semi-continue, est de classe < i ; donc, si f satis- 
fait à m[ù)'(f)) = o, f diffère d'une certaine fonction de classe < i aux 
points d'un ensemble de première catégorie, 

Remarquons, en dernier lieu, que la condition (i) est invariante par 
rapport aux transformations T et T~^ du § 4; cela résulte de ce que, si 
A est un point de H — FI où /*est continue par rapport à H — //, la trans- 
formée de f par T ou par T^^ a la même propriété. 

25. Nous allons démontrer que la condition m{iû\f))^=o se conserve 

* 

à la limite y c est-à-dire qu'on a le théorème suivant: 

Théorème. Si, sur mi ensemble parfait P, une suite de fonctions /J, 
/i > • • • j /i > • • • ^ ^^^^ limite f, et si chacune des fonctions fi satisfait à la 
condition m(a>'(/t)) = o? il ^^ ^^^ de même de f. 

Dans la démonstration de ce théorème, nous supposerons que les fonc- 
tions /i et f sont finies, ce qui n'enlèvera rien à la généralité du résultat. 

Tout revient à montrer que Thypothèse contraire à l'énoncé conduit 
à une contradiction; cette hypothèse est qu'il existe une portion H de P 
dans laquelle on a: 

(2) m[co\f,P,A),H]>o. 
Prenons deux nombres A et /jl tels qu'on ait: 

m[ft>'(/*, P,A),H]>2Å>2/X>0 

et posons: 

(3) Å = fx + 4^, (s>o)- 
Pour toute portion H' de if, on a: 

(4) a>\f,H')>2X. 

D'autre part, à la fonction f^ correspond un ensemble Hi de première 
catégorie dans // tel qu'en tout point de H — //,, fi est continue par rapport 
à H — /7,. Si l'on pose: // = M{JI^ , //^ , . . . , /7, , . . .), l'ensemble /7 est de 



i^^^M^ 



28 René Baire. 

première catégorie; quel que soit i et quel que soit le point ^ de JET — ïï 
(qui est contenu dans tous les H — 77»), f^ est continue en A par rapport 

à H—n. 

Cela posé, soit j) un entier, et soit Ä, une portion quelconque de H, 
déterminée par une sphère 2',. L'ensemble H — fi étant partout dense 
dans Jï, on peut choisir un point A^ qui fasse partie de H — fj et soit 
intéiieur à 2*,. Comme on a: lim/'^(i4^) = /'(^4^), on peut déterminer un 
entier a > ^ tel que : 

(5) \UA,)-f{A,)\<e. 

La fonction f^ étant continue en A^ par rapport à H — /7, on peut trouver 
une sphère 2*, de centre A^, contenue dans I^, telle que, A étant un point 
quelconque de H — f] intérieur à 2*2, on ait: 

(6) \fM)-fa{AJ\<s. 

Prenons une sphère S^ de centre A^ et intérieure à 2*,, et soit H^ la 
portion de H déterminée par I^. D'après (4), on a: û}'{f,H^)>2?., 

Or, si Ion pose: Q = I)(H — IJ , H^), on a, d'après une remarque 
du § 19: 

Les valeurs de f aux points de Q forment donc un ensemble dont Toscilla- 
tion surpasse 2Å] donc, d'après un lemme connu, ^ l'une de ces valeurs 
diffère du nombre fiA^) de plus de X, c'est-à-dire qu'on peut trouver un 
point A^ de Q tel que: 

(7) \f{A,)-nA,)\>L 

On a: \imf^{A^) = f{A^)\ on peut donc choisir un entier ß>2^ tel que: 

(8) \fM,)-f{A,)\<s. 

Enfin, ^, , qui appartient à Ç, par suite à 2",, est intérieur à 2*,, et 
appartient aussi à H — 77; fß est donc continue en A^ par rapport à H — //; 
déterminons une sphère I^ de centre A^^ contenue dans 21., et telle que, 
A étant un point quelconque de H — Il contenu dans 2*^, on ait: 

(9 ) _ ^fM)^ù_W\<s-^ 

* loc. cit., p. 80. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 29 

Comme I^ est contenu dans 2",, le même point A vérifie aussi la rela- 
tion (6), 

En combinant, d'une part (5) et (6), d'autre part (8) et (9), on trouve: 

\f,{A)-f{A,)\<2s, |5(^)-r{^,)|<2e, 

inégalités qui, combinées avec (7): 

\f{A,) — r{A^)\>X = fi + 4£, 
donnent, pour tout point A de H — FI contenu dans S^ : 

(10) \fM)-fÅ^)\>i^, 

et par suite, comme a et y9 sont supérieurs à p\ 

Ainsi, p étant donné, toute portion H^ åe H contient une portion 
dont tous les points, sauf peut-être ceux de A/, satisfont à (11). Par 
suite, l'ensemble Kp des points de ITqui ne satisfont pas à (i i), se compose 
d'un ensemble non dense dans H et d'un ensemble compris dans /7, donc 
est de première catégorie. Donnons à^ toutes les valeurs possibles, et soit: 

K est de première catégorie par rapport à H, L'ensemble complémentaire 
H — 'K contient donc effectivement des points, lesquels ne font partie 
d'aucun des ensembles Kp\ si A est l'un de ces points, A satisfait à (11), 
quel que soit jp, ce qui est contradictoire avec le fait que f^[A) tend vers 
une limite finie. 

Ainsi, l'hypothèse (2) conduit à une contradiction. 

On a donc, dans toute portion H de P: 

m[w\f,F,A),H] = o, 
Autrement dit, la condition m{ù}'(f)) = o se conserve à la limite. 

26. Cett^ propriété appartient à toutes les fonctions de l'ensemble E 
défini au § i . En effet, elle appartient aux fonctions des classes o et i ; 
supposons établi qu'elle appartient à toutes les fonctions de classes in- 
férieures à a, et montrons qu'elle appartient aussi aux fonctions de classe 



30 Bene Baire. 

a. Soit /' une fonction de classe a; il existe une suite /'i , /i , . . • , /'y , . . • 
tendant vers f^ chaque fonction ^ appartenant à une classe < a, et par 
suite satisfaisant à w[û>'(^)] = o. Donc la fonction /'=lim/"^ satisfait à 
la même condition. 

D'après cela, on serait assuré qu'une fonction f n'appartient pas à 
l'ensemble E si, sur un certain ensemble parfait JT, f satisfaisait à la 
condition: m\o}'{f^ H ^ Ä) ^ !{]> o. Par exemple, si l'on pouvait partager 
H en deux ensembles K et H — Ä'qui, dans chaque portion de if, seraient 
tous deux de deuxième catégorie, en posant f^=^o sur H y /*= i sur H — K^ 
on aurait, dans toute portion, et par suite en tout point de H: J/'= i, 
m' = o, d'où ûi' = I, et Z' ne ferait pas partie de E, 



CHAPITKE V. 

premières recherches nur les fonctions de classes 2 et 3. 

27. Abordons maintenant la recherche des conditions suffisantes pour 
qu'une fonction f définie sur un ensemble fermé P de l'espace à n di- 
mensions soit de classe 2,3, D'après les résultats du chapitre pré- 
cédent, nous devons nous borner à considérer des fonctions satisfaisant, sur 
tout ensemble parfait, à la condition m{m\f)) = o, puisque ce sont les 
seules qui appartiennent à l'ensemble E. D'un autre côté, d'après le § 15, 
une fonction f définie aux points d'un ensemble fermé P est de classe < i 
si elle est de classe <^ i sur l'ensemble parfait P^'; a fortiori, /* est de 
classe <^a (a> i) sur P si elle est de classe ^a sur P''\ nous pouvons 
donc, dans la suite, nous borner à considérer des fonctions définies sur un 
ensemble parfait. 

Soit donc f définie sur l'ensemble parfait P et satisfaisant à la con- 
dition: m\ci>{f)\ = sur P. D'après le § 24, il existe sur P une fonction 
<p de classe < i telle que f ne diffère de <f qu'aux points d'un ensemble 
de première catégorie K. Soit K = M{K^ , -^j , • • • > -^i j • • •)> les A) étant 
non denses dans P. Kemplaçons chaque ensemble K^ par son dérivé d'ordre 
o, K\y qui est aussi non dense dans P, de plus, est fermé, et contient 
Äj, de sorte que si K' = M{K\ , /iTJ , . . . , /ij , . . .), on a /"= <p en tout point 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 31 

de P — K', Chaque ensemble K\ se compose de Tensemble parfait Ä"f (s'il 
existe), plus un ensemble dénombrable, soit i/,. Posons: 

H= M{H^ ,..,,//,,...) et K" = M[Kx , . . . , A'f , . . .) 

On a: 

K' = M{K'' , H) 

et H est dénombrable. Eu résumé, on 2)eut supposer que Vensemhle de 
première catégorie K tel que f=^ aux points de P — A' se compose d'une 
infinité dénombrable d^ensembles parfaits, plus un ensemble dénombrable. 
Nous sommes conduits à étudier f sur chacun des ensembles Ä7, et pour 
cela sur chacun des ensembles parfaits A"-". 

Nous devons supposer que /" satisfait sur A'f à la condition m{ù)'(f))=^o 
de telle sorte qu'on peut déterminer une fonction (f^ de première classe 
sur A'f et une infinité dénombrable d'ensembles fermés et non denses dans 
A'f , soit Kix y ^i*} ' ' y J^ijy • • • , î^^'^c la condition que /'= fr, en tout point 
de ATf qui n'appartient pas à l'un des ensembles K^, On sera conduit 
ensuite à étudier f sur les ensembles A'^-, et à introduire de nouveaux 
ensembles non denses par rapport aux ensembles K^^, et ainsi de suite. 

Pour montrer l'utilité de ce procédé, démontrons d'abord un théorème 
qui nous permettra de définir des fonctions de classe 2. 

28. Théorème. Soit P^ un ensemble fermé, et P, , P^ , . . . , P,, . . . 
une infinité dénombrable d'ensembles fermés tous contenus dans P^ ; soit 
/'p une fonction définie sur P^ et de classe < 2 , et Z', , /^ , . . . , /^ , ... des 
fonctions respectivement définies sur Pj , P, , . . . , P,- , . . . et toutes de 
classes < 2 . La fonction f qui est égale à f^ sur Pj , à fi (/ = 2 , 3 , . . .) 
aux points de P, qui ne font partie d'aucun des ensembles P,,P2, ...,P,_i, 
enfin à f\ sur les points de P^ qui ne font partie d'aucun des ensembles 
Pj , P, , . . . , est de classe < 2 sur P^ . 

En effet, d'après les hypothèses de l'énoncé, h étant un quelconque 
des nombres o , i , 2 , . . . , i , . . . , /^ est de classe < 2 sur P,, . II y a donc 
une suite de fonctions de classe < i tendant vers /i, soit: 

f\,hi lu. h j • ' ' y lj,h y • • • • 

En tout point A de P/,, on a: \imf]f^{A}=f^{A). 



■i 



r\ 



32 René Baire. 

Cela posé, définissons des fonctions fr„ (v = i , 2 , . . .) de la manière 
suivante: cr, est égale à f^^ sur P,, à Z', * t A = 2 , 3 , . . . , 1;) sur les points 
de Pj^ qui n'appartiennent à aucun des ensembles P, , P, , . . . , P^^,, enfin 
à /'^o ^^^ 1^ points de P^ qui n'appartiennent à aucun des ensembles P,, 
P, ,...,P,. La fonction jr^, qui est ainsi définie sur P^, est de classe 
< I , d'après le § 15, car elle est obtenue par superposition des fonctions 
de classe < i : f,i , Z^,,, . . . , /,,», /I.o- Je dis en outre qu on a: limp, = f. 

En effet, soit A un point de P^. Si A fait partie d'un des ensembles 
P, , P, , ..., soit / le plus petit indice tel que A appartient à P,; alors 
A n'appartient à aucun des ensembles P, , P, , . . . , P,_i (dans l'hypothèse 
i> I). D'après la définition de c%, dès que v>i, on a: p^{A) =^ f^i{A). 
On a donc: \im ç ^{A) = \imf^i{A) = fi{A); or, d'après la définition de fy 



V — 



on a aussi f{A) = f^iA); donc limc^{A) = f{A). 

v= ae 

Si ^4 ne fait partie d'aucun des ensembles P, , P, , . . . , on a, quel 
que soit v: (f^{A) = f^^^{A)\ donc, on a: limfr^(.dl) = lim/; oM) = /o(-^); on 



v= • » = 



a aussi, d'autre part, f[A)^=f^{A), par suite Ivai^^A) =^ f{A), 

En résumé, f est la limite de jr^ , qui est de classe < i , donc /* est de 
classe < 2. 

29. Indiquons des cas particuliers de la proposition générale qui 
précède. 

Si f^ est de classe < 2 sur l'ensemble fermé P^, la fonction /'obtenue 
en remplaçant par des valeurs arbitraires les valeurs de /^ aux points d'un 
ensemble dénombrable Q est de classe < 2 . En effet, soient A^^A^^ ..., -4, , ... 
les points de Q\ il suffit d'appliquer la proposition du § 28 en prenant 
Pi = Ai y et fi = f. La proposition est vraie a fortiori si f^ est de classe 
< I . On peut aussi conclure de ce qui précède que si R est un ensemble 
dénombrable, la classe a d'une fonction f ne dépend pas de ses valeurs aux 
points de R, dès que a>2. 

Reprenons maintenant le procédé du § 27. Partons d'une fonction 
f satisfaisant sur l'ensemble parfait P^ à la condition m[œ'{f)] = o. H 
existe, d'une part une fonction jr^ de classe <^ i , d'autre part un en- 
semble de première catégorie dans P^j, soit P, , tel qu'en tout point de 
Pq — P,, on a f=^^] de plus, d'après une remarque du § 27, on peut 
supposer que P, se compose d'une infinité dénombrable d'ensembles parfaits 



Sur la représentation des fo&ctions discontinues. 83 

non dense» dans P^, soit p^jP^y -^-rPa •••r P^^^e an ensemble dénombrable. 
Bi /* se trouve êtie de classe < i sur efaacxinr des exvseâiblesjpj, ra|>pMeation 
du théorème du § 28 (en remplaçant f^ par ^^, et tous les /J {i> o) par f) 
tùôntHB qtiö f öst de classe < i sur F^\ 

Sîûon, Aoû» trôïte^ons chaque eïisembïe parfaît^,. comme nous avons 
ttttité P^\' norts' défiMJsomi doöc une foiïctîoii Çi de classe <t fntt p^, et 
un ensemble de première catégorie dans jp^, soit ^J, tel que f'=^ Jp^ en tout 
poiïft de Pi-'^Pi', 6n outre, p'i 9g compose d'une infinité dAiombrable d'en- 
sembles parfaits non denses danisr j)^, soit: i>,-,i , i>,,2 , ••., jPij, ••., ptûs un 
ensiertnWe déttoArbrable. Soft P^ l'ensembler îoraré par la réunion de tous 
les étmembles à åexxt indices p^j. Sup^sons qtte f soit de cists»è < i snr 
cîtocun deö enséttibîeéf jp;^; alors /* est de cfasse' < 2 sur chacrin des en- 
sembles Pi, d'afprès le % 2S; ce* point étant éferblî, oö' voit, par une seconde 
appifcstion: dtf même théorème, qtte /* est de cfesse < 2^ sur P^. 

Si les cûndittons prébéïenfes me sont pa» iNWtafpïies, c'est-à-^re si f Ä'est 
pste de classfe^ < t sur chacun des ensertibles^ p^j , nous serons conduits à 
coïrtintter Fapplicattöu du ptoeéîcfé précédent; vtomsf iirtfodtrifdös doAe des 
foöctidns Çij de classe < f et des ensenible^ à trbî« iïidfces Pijj, f^is s'il 
y tf Kcm, des fonctiomB f'ij^tr ®* ^^fS ensembfes j^;-y^^^,. I/une ûwmSèfe géné- 
rale, si nous avons été conduits à introduire* FeöWiöbfe paffaît pi^^i^ f^, et 

si f n'est pae^ de daeee^ <^ i sur ehi easemUe, oesame f satisfast sur cet en- 
sottiUe à la conditkKii M[j»'{f)1=^o, il y ^ is^^ fonction ^i^,i^.,„i^ de classe 
< I surjp,.^^^ ^f^, et un ensemble de première catégorie par rapport à j^j,<^_^|^, 

soit i?;.^,...,,^, tel qu'on a: /^= jr,.,^_,^ en tout point de i),,.^....,,^—i);^,<, ,^. 

L'ensemble i><„ ,„..., i se compose, outre un certain ensemble dénombrable, 

d'une infinité dénombrable d'ensembles parfaits non denses dans Pi^i^ ^ ; 

nous les désignons par i>,Vh.-..«a'«a+x» l'indice i^^i prenant les valeurs 1,2, 

Désignons par P^ l'ensemble formé par la réunion des ensembles p k a 
indices. 

€!ela^ pos^, st^ par Fapplieation du procédé doni la loi vient d'être 
indiquée, nous obtenons uû ensemble P,,, tel q^ie f soit de elasee < 1 sur 

ekaciu)^ de» ensemble» pi^^^^ ,-^,. dont se compose Pf^, je dis quse f est de 

classer <2 sur P^. Il soSit en efiEet,. pour le fai«^ voir, d'appliquer suc- 
cessivement le tliéorëme du § 2 8 , d^abord à chacun des ensembles à Ä — i 
indices^ ee qui Avontre (Spxe f est de classe < 2 sur chacun de ces ensembles, 

Âeta mathematica. SU. Imprimé le IG août 1905. 5 



• 34 René Baire. 

puis ensuite à chacun des ensembles à Ä — 2 indices, et ainsi de suite en 
remontant jusqu'à chacun des ensembles jp, ,^, , ...,^,, ... et finalement à P^. 

30. Nous allons, pour éclaircir les généralités exposées dans ce qui 
précède, les appliquer à des exemples. Nous nous bornerons tout d'abord, 
pour plus de simplicité, à étudier des fonctions d'une seule variable x dé- 
finies dans le champ o<a?<i. 

Je rappelle d'abord des résultats relatifs à la notion d'ensemble parfait 
non dense par rapport à un continu linéaire. * 

Si P est un ensemble parfait non dense dans le segment de droite 
AB, il existe, sur AB, une infinité dénombrable d'intervalles, que j'appelle 
contigus à P, qui n'ont deux à deux aucun point commun, et tels que 
l'ensemble AB — P est constitué par les points intérieurs à ces intervalles. 
L'ensemble P contient des points de deux sortes: i® les points e, extré- 
mités des intervalles contigus à P; 2° les points Z, dont chacun est ex- 
térieur à tous ces intervalles. Chaque point de P, qu'il soit e on l, est 
limite de points des deux catégories; mais, tandis qu'il y a, au voisinage 
d'un point l, des points de P, à gauche et à droite de ce point, ' il n'y a, 
au voisinage d'un point e, de points de P que d'un seul côté. L'ensemble 
des points e est dénombrable. 

31. Rappelons d'autre part certaines propriétés relatives à la repré- 
sentation des nombres par des fractions continues, limitées ou illimitées. 
Nous poserons; 



I 

o, + — . - 



— v^i > ^2 > • • • > ^v y ' ' *)i 



Qy -f 



chaque nombre a^ est un entier positif ; les quotients incomplets a^, a, , . . . , 
a^ , ... sont en nombre fini, ou en nombre infini. 

Un nombre irrationnel de l'intervalle (0,1) est représentable d'une 
manière bien déterminée par une fraction continue illimitée (a, , a^, ..., a.,, ...) 

* loc. cit., Ch. m, section II. 

' Sauf dans le cas où le point coincide avec A on J?~, extrémités du segment AB. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 85 

et réciproquement, de telle sorte qu'il y a une correspondance biunivoque 
et réciproque entre l'ensemble des nombres irrationnels du segment (o, i) et 
l'ensemble des suites infinies d'entiers positifs (a, , a, , . . . , a^ , . . .). 

Un nombre rationnel de l'intervalle (o, i) [les nombres o et i étant 
mis à part], est représentable d'une manière bien déterminée par une frac- 
tion continue limitée dont le dernier quotient est > i ; mais, si on supprime 
cette restriction, il y a, pour tout nombre rationnel, deux représentations 
possibles, car on a, si a^ > i : 

(a, , a, , . . . , «p., , öp) = (a, , a, , . . . , ap_i , a^ — i , i). 

Étant donné un système de h entiers positifs rangés dans un ordre 
déterminé, soit (a^ , a, , . . . , a^)» tous les nombres représentables par des 
fractions continues, limitées ou illimitées, commençant par (a, , a, , . . . , a^)» 
sont compris dans la formule 

x = avec o<y<i. 

«i + r-T— ^ ~ 

«t + . 



«A + y 

Us forment donc, dans le segment représentatif (o, i), un intervalle 
continu, points extrêmes compris, que je désigne par I{a^ j «^ , • • • , «a), et 
dont les extrémités sont les deux points rationnels: 

(«i' , a, , . . . , a^^) et (a, , a, , . . . , «^ , i). 

Pour tout point intérieur à l'intervalle, on a: o<y< i, de sorte que 
la représentation d'un point intérieur à cet intervalle commence toujours 
par (ot, , o, , . . . , «a). 

Soit A un point rationnel, admettant les deux représentations: 

(«j , a, , . . . , a;k_i , a^) = («i ,«,,... , «a-i , «a — i , [«a > O- 
Le point A est l'extrémité commune des deux intervalles: 

I{a^ ,«,,..., a^^, , a^) et I{a^ ,«,,..., «a-i , «a— i , 0» 

et ces deux intervalles sont situés de part et d'autre de A. 
Soit B un point irrationnel, représenté par la fraction: 



36 B«oé Biäire. 

Le point B est intérieur à chacun de« iniiervalles : 

7(aj) , 7(aj , a J , . . . , J(a, , a, , . . . , a,) , . . . 

dont chacun est contenu dans le préeédenti, et c'est le seul point contenu 
dans tous ces intervalles. 

EiDÜn, étant d.onnée une fnbctîon continue, limitée ou illimitée, si on 
y rempkee le quotient incompleit d'ordre h piur un nombre plus grand, on 
augmente ou on diminue le nombre représenté suivant que h est pair ou 
impair. 

it. Cela posé, donnons-n^us d'une part un entier positif n^ d'autre 
part un système de h entiers positifs àsm» un ordre donné, soit (ff i , «s » • • . , i^a) ; 
je me propose d'étudier Vmsemble Q des points représentables par d^ frac- 
tions continues limitées ou illimitées commençant par (ai , «s i • • • > 9a)i chacun 
des quotients suivants, s'il existe, étant > n . 

Tout d'abord, l'ensemble Q est évidemment compris dans l'intervalle 
/(«i ,«,,...,«*), de sorte que tout pomt, rationnel ou irrationnel, qui est 
en dehors de cet intervalle, ne fait pas partie de Q, et n'est pas point 
limite pour Q. 

J^udioAS maintepant ]es points de cet ixitervalle, et en premier lieu, 
les points rd.tionnels. ïjn mettant à part pour l'instant les deux points 
extrêmes, tout point rßtionwl 4 de l'intervalle /(aj > ff) i • » » > Q^*) a4xnet 
une représentation de la forme: 

(«j, a,, ..., «A, Ä+1' •••> ^*) ^^^^ *>A et ^4>i. 

Le point A est donc l'extrémité commune de deu;^ intenses situés de 
part et d'autre de lui, savoir: 

et 

Un point intérieur à J 'intervalle Z, ne peut, dans aucun c«ts, faire partie 
de Ç, car la fraction qui représente un tel point contient nécessairement 
un quotient <n, à savoir le quotient de rang Ä+ i, q^î est égal à i. 
En ce qui concerne Jj, deux cas sont à distinguer. Si A ne fait pas 
partie de Q, c'est que Tan des nombres ßf^^i , . . . , ^^ est < w; alors, pour 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 197 

tout point intérieur à Jj, il y a un quotient incomplet <n^ tous ces points 
sont donc en dehors de Q^ àe soH)e qu^e le point A est extérieur à ^ (§ 6). 
Si au contraire A fait partie de Q, les nombres ^0*^.1 , •.•/^*, sont «apérieurs 
à n; considérons alors les points: 

OÙ y reçoit des valeurs supérieures à n et croissant indéfiniment, nous ob- 
tenons ainsi une suite de points distincts de A, qui appartiennent à Ç et 
qui tendent vers A; donc A est point limite pour Q, mais d'un seul côté. 
Nous avons laissé de côté les extrémités de Imtervalle J(ai,a,,. . . ,aj. 
Le point B: («i , a^ , . . . , a^), fait partie rf^ Ç; il est, d'une part, extré- 
mité de rintervalle ^^(«h «ji, ...,o^4 — i)0 si aA> i ou /(aj,«^, .-.,«^-1 + 
si Qj^ = I ^ dont aucun point intérieur ne fait partie de Q ; d'autre part, il 
est limite de la suite de points de Q représentés par (aj , a, , . . . , a^ , ;r)> ^^ 
y croît indéfiniment, de sorte que B est limite pour Ç, mais d'un seul 
côté. Quant au point («i,«;, -"jOLj^j 0> ^^ ^^ /^^' J?^^ partie de Q, et 
comme il est l'extrémité des deux intervalles 

/(«i , «2 , . . . , tt/k , i) et J(ofi , Œj , . . . , a^^i , ^f, + î), 

dont aucun point intériBui ne &it partie de Q, il est extérieur à Q. On 
a, en résumé, les résultats suivants, concernant les points rationnels du 
segment (o, i): 

1° Tout point rationnel de Q est limite pour Ç, d'un seul côté. 

2^ Tout point rationnel qui ne fait pas partie de Ç est extérieur à Q. 

Passons maintenant aux points irrationnels de l'intervalle /(«i, a,, ..., a^^). 
8i C est un point irrationnel ne faisant pas partie de Q^ Ia fnictûm cor- 
respondante est de la forme; 

(*i f fl^ j • • • > Qf* > Pm-1 > • • • > r* > • • 

avec la condition qu'un certain quotient y9, soit ^^, est ^w. Dans ces con- 
ditions, tous les points intérieurs à l'intervalle /(«ijOa, ...,«^,^9^+1, ...,y9^), 
auquel C est intérieur, sont en dehors de Q] donc C est extérieur à Q. 
Si D est un point irrationnel rfe Ç, la fraction correspondante est de 
la forme: 

(O^l > ^t ) • • • ) Q^A > PA+1 > Ph-^^ > * * ' y ßk) • • •)) 



38 René Baire. 

tous les ß étant supérieurs à w. . On obtiendra un autre point de Q en 
remplaçant un quelconque des nombres /9, soit ^^, par un nombre supérieur; 
en prenant r assez grand, et successivement pair ou impair, ce nouveau 
point pourra être pris d'un côté ou d'autre de D, et aussi voisin qu'on 
voudra de D. Donc D est limite pour Q, et des detix cotés. En résumé: 

3® Tout point hrationnel de Q est limite pour Ç, des deux côtés. 

4° Tant point irrationnel qui ne fait pas partie de Q est extérieur à Q. 

Tirons maintenant des conclusions des propositions i®, 2®, 3°, 4®, 
D'après 2° et 4°, tout point qui ne fait pas partie de Q est extérieur à Q, 
donc Q est fermé. D'après i® et 3°, tout point de Q est limite pour Ç, 
donc Q, qui est fermé, est parfait. D'après 1° et 2°, il y a, au voisinage 
de tout point rationnel, par suite dans toute portion du continu, un inter 
valle qui ne contient aucun point de Ç, c'est-à-dire que Q est non dense 
par rapport au continu. 

Ainsi, Q est un ensemble parfait non dense dans le continu linéaire; 
d'après le § 30, les points de Q sont de deux sortes, les points e, et les 
points l'y d'après i®, tout point rationnel de Q est un point e; d'après 3°, 
tout point irrationnel de Ç est un point Z; il en résulte que réciproque- 
ment tous les points e de Q sont rationnels, tous les points l de Q sont 
irrationnels. En résumé, on a la proposition suivante: 

L'ensemble des points repi^ésentables par des fractions continuas limitées 
ou illimitées commençant par (a, , a, , . . . , a^), ^^^ autres quotients étant su- 
périeurs à n, est un ensemble parfait non dense, et ceux de ces points qui sont 
irrationnels constituent les points l de cet ensemble, 

Nous désignerons dans la suite cet ensemble par 5^"^[ai , a, , ..., a*], 
et l'ensemble de ses points / par i/'*^[ai , a, , . . . , a^]. 

33. Supposons qu'on donne à 7i une valeur fixe, et qu'on fasse varier 
de toutes les manières possibles les entiers A, a^ , a, , . . . , a^ . On obtient 
ainsi une infinité dénombrable d'ensembles 3^"^ [a, , a, , ... 1 a*]. Je désigne 
par P, l'ensemble formé par la réunion de tous les jp^"^ [ai , «j , . . . , a J 
correspondants. On reconnaît que: 

Tout point de P« est un point irratioymel représentable par une frac- 
tion continue dont tous les quotients incomplets surpassent w, à partir d'un 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 39 

certain rang; et réciproquement^ un point qui remplit ces conditions appar- 
tient à P«. 

Un point déterminé de P„ appartient évidemment à une infinité d'en- 
sembles y*^ car soit (aj , a, , . . . , a^ , . . .) ce point, lés quotients de rang 
supérieur à v étant supérieurs à w; le point fait partie de tous les ensembles 
y"^[aj ,«,,...,«»,..., «y+J, quel que soit k. Mais, comme nous allons 
le montrer, il est possible de choisir parmi les ensembles ^^"\ une série 
déterminée, dont la réunion constituera P^, et telle qu*un point donné de 
P« fasse partie d'un seul ensemble de cette série. De plus, en vue d'ap- 
plications ultérieures, nous nous astreindrons à ce que, dans chaque en- 
semble de cette série, le nombre A des quotients incomplets qui ont des 
valeurs fixes soit au moins égal à w. 

Prenons, parmi les ensembles 3^"^ (a, ,«,,..,«*): 

I® ceux d'entre eux pour lesquels A = w, les nombres «j , a, , . . . , ot* 
prenant toutes les valeurs possibles. 

2° ceux pour lesquels A > w , avec la condition OLf,<^n. 

Appelons, pour abréger, ensembles normaux g^"^ les ensembles g^'^ qui 
viennent d'être définis, et ensembles normaux jp^"^ les ^^"^ correspondants. 

Je dis qu'w?i point déterminé A de P, appartient à un et un seul 
ensemble normal y ^ . En effet, soit («j , a, , . . .) ce point. Le seul en- 
semble g^"^ qui remplit Tune des conditions i** ou 2® et qui contient A 
est l'ensemble g^'^[aj ,«,,..., «J, A étant le plus petit nombre supérieur 
ou égal à w, tel que tous les a de rang supérieur à A soient supérieurs à n. 

D'après cela, deux ensembles normaux p^"^ distincts n'ont aucun point 
commun, deux ensembles normaux q^"^ distincts ne peuvent avoir en com- 
mun que des points rationnels. 

34. D'après la propriété caractéristique des points de P,, il est 
évident que P^^^ est contenu dans P„. D'une manière plus détaillée, 
étudions la disposition d'un ensemble normal de P^^i par rapport aux 
ensembles normaux de P,. 

Soit (^^'"'■'^[aj , a, , . . . , a J un ensemble normal q^'*'^^^; on a: 

soit k = n-\- I , soit k> n+ i , avec aL^Kn^ i . 

Si les nombres a^+i , . . . , a^, sont tous supérieurs à w, posons: A = w; 
sinon, certains d'entre eux étant inférieurs ou égaux à w, prenons, parmi 



40 René Bains. 

ces derniers, celui qui a le rai^ le plus élevé, et désignons par h ce rang. 
Ainsi, on a, soit h = n^ soit h>7îj avec «a^w, de sorte que Tensemble 
3^*^[«|., «a > • • 1 , «aI ^st normal; de plus, les nombres a^^, , . . . , a* (si k> h) 
sont supérieurs à w. Par suite, tout point de ^■"■''^^[ai , a, , . . . , a^ , . . . , aj 
possède la propriété caractéristique des points de q^^Hjii , «t , •• > «a]. Donc 
tout ensemble normal g^*^*^ est contenu dans un certain ensemble normal q'^ 
lequel est unique, car un ensemble normal q^"^ autre que 5^"^[ai,or,, ...,0^], 
n'ayant en commun avec cet ensemble que des points rationnels, ne peut 
contenir 3^""'"^^[ai , a^, . . . , a^ , . . . , a*]. 

Je dis que Tensenible ^^""^'^[ai.,«»)- •>«*] ^st non dense dans ^^"^[ai,««,...,«*]- 
Pour le démontrer, si nous tenons compte d'une part de ce fait que l'en- 
semble p^'*\oLi , «a , . . . , a^] a pour dérivé g^"^[ai , a,., . . . , a^] ©t est donc dense 
par rapport à lui, d'autre paît de ce que 2^'''*"^^[ai,^03, . . . ,.aj est parfait, 
par suite fermé, il suffit (cf. § 8) de faire voir qu'au voisinage de tout point 
de iï^^^f«! , «î , . . . , «/,] existe un point qui fait partie de g^"^[ai ,«!,...,«*] 
sans faire partie de g^'"'"*^[ai , a^ , . . , , a^]. Or, soit A un point de 

Considérons, j étant un entier arbitraire, le point B: 

(^1 » «ï ) • • " , *A » A+i » /^+î > • • • > A+> » ^ "+■ ï » w + 1 > • • •) 

dsms lequel tous les quotients qui suivent celui de rang, Ä + y sont égaux à 
w + I- Ce poiMt appartient bien à 3^"^[ai , o^, . . , , a^l, puisque les quotients 
de rang >h sont >w, mais il n'appartient pas à P„-n, puisqu'il y a 
une infinité de quotients égaux à w + i ; donc il n'appartient pas à 
i?^'"*"'^[ai, a, , . . . , aj, et, étant irrationnel, n'appartient pas non plus à 
^("+1)^^^^ a,,.... . ^Ot.]* De plus, en. prenant ^ assez grand, le point B peut 
être pris aussi près qu'on veut du point A. La proposition est donc dé- 
montrée. 

Cela posé, modifiant les notations précédente», nous sopposerona qu'on 
ait rangé d'abord les ensembles« normaux ^^^ dans un ordre déterminé, et 

nous les désignerons par la notation 3i , 3^ , Çs )•••>?» > Chacun des 

ensembles normaux g^*^ appartient à un et un seul des ensembles normaux 
(]^^^'y. considérons ceux des ensembles normaux g^^^ qui sont contenu» dans 
g^; il y en a une infinité dénombrable; nous supposerons qu'on le» ait 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 41 

rangés dans un ordre déterminé, et nous les désignerons par ç,-,!,?,,,, ..., 
qij , . . . . Nous définirons, par Tapplication du même procédé, des ensembles 
q à 3,4, ...,n,... indices, qui seront les ensembles normaux g^*\ g^*^, . . . , 

\l > • . . . 

On a ainsi des ensembles parfaits non denses dans le continu désignés 
par la notation générale: g',',,»^,....!*.) l^s entiers w, i|,«2j- -î^u prenant toutes 
les valeurs entières positives. L'ensemble g'i„t„...,t„i,+i ^st contenu dans l'en- 
semble ?,„,„...,,, et est non dense par rapport à lui. 

Soit i>»„^...,,, l'ensemble des points irrationnels de ç,^,,^ ,„. La réunion 

de tous les i>,-,,i^...,,,, n étant fixe, constitue l'ensemble P„ des points irra- 
tionnels pour lesquels tous les quotients incomplets, à partir d'un certain 
rang, surpassent n. 

35. H existe des points qui font partie de P„, quel que soit n; ce 
sont les points irrationnels représentables par des fractions continues dans 
lesquelles le nombre des quotients incomplets inférieurs à n est fini, quel 
que soit n; je désigne l'ensemble de ces points par P^; ainsi, P„ est V en- 
semble des points irrationnels pour lesquels le quotient incomplet de rang n 
croît indéfiniment avec n, et l'on a, P^ désignant le segment (o, i): 

P, > Pj > P, > . . , > P„ > . . . > P.. 

Soit A un point déterminé de P„, représenté par la fraction: 

(«1 , «3 , a, , . . .). 

Ce point fait partie de P, , P, , . . . , P„ , . . . ; il appartient donc à un 
ensemble normal g^'^ bien déterminé, soit g,p à un ensemble normal q^^^ 
bien déterminé qui, puisqu'il a en commun avec 5^ un point irrationnel, 
doit être contenu dans 5»-^, soit donc g,-^^; d'une manière générale, le point 
A est contenu dans un ensemble normal g^"^ déterminé, qui est de la forme 
Qii,it....,û' Ainsi, au point A de P„ correspond une suite d'entiers positifs 
bien déterminée i, , «^ , • . • , i^ , . . . telle que le point A est contenu dans tous^ 
les ensembles: 

QH>Qi.i.>'">Qi.H û>.... 

Réciproquement, donnons-nous une suite d'entiers positifs ^, , i, , .., ^«j ••• 
et considérons les ensembles: 

Aeta mathemaiica. 30. Imprimé le 19 août 1905. ß 



42 Eenô Bairc. 

Ces ensembles étant fermés, et le premier d'entre eux étant borné, il existe 

au moins un point qui leur est commun. Si nous revenons aux notations 

premières relatives aux ensembles 5, ces ensembles seront désignés de la 
manière suivante: 

î», = î^'^[«i )«,,..., aj avec A, > i , 
?.',.», = î^'^[«i , «2 , • • • , «A, , . . . , a^J ^^^^ *2 > 2 et h^ > Al , 

?t,.tv...,û = 5^"^[ai)ai> •••»«A»> •••>«A,, ...,aj avec K>n et ä„>/^_i- 



Du fait que Ä„ > 72 résulte que ä„ croît indéfiniment, de sorte que les 
entiers a définis par ce qui précède sont en nombre infini; il y a donc 
un et un seul point contenu dans tous las ensembles q de (i); c'est le 
point irrationnel défini par: 

et ce point appartient à tous les P„, par suite à P«. Ainsi, à toute 
suite d'entiers positifs i, , «2 , . . • , ^n , • • • correspond un point déterminé de 

P^, à savoir le point unique contenu dans toits les ensembles q^^i^ i^. 

INous établissons de la sorte, entre l'ensemble S de toutes les suites d'entiers 
positifs et l'ensemble P„, une correspondance bimiivoque et récijyroque dé- 
finie par la loi suivante: 

Il y a correspondance entre l'élément -4 de 6": 

et le point B de P„ représenté par la fraction: 

si le point («i,öi,...) est contenu dans tous les ensembles qi^,i^,„.^uy quel 
que soit n. 

Je dis que la partie de P« contenue dans l'ensemble qi^,^,„.J^, soit 

I>[Qi,ù....,inyPu]. ^^t ^^^?5^ ^«^'5 «»•..i..,....û- ^^ ^ff®*^ soit 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 48 

au voisinage de tout point Ä de i?^"^[ai , a^, . . . , aj, soit: 

existe un point faisant partie du même ensemble et de P„; il suffit de 
prendre le point: 

(ai , aj , . . . , «A , /9;k+i , . . . , ß„^j , w + I , n + 2 , . . .) 

où les quotients qui suivent celui de rang A + i sont les nombres de la 
suite naturelle à partir de w + i . Ce point, qui fait partie de P^ et de 
g^"^[ai, a, . . . , aj, peut être pris aussi près qu'on veut de -4, en prenant y 
assez grand. La proposition est donc démontrée. 

A fortiori, si r>w, Veiisemble -D [?,„<,,.... t., ^J est dense dans q^^^i^ ^, 

puisque P^ contient P„. 

36. Cela posé, nous allons donner des exemples de fonctions de classes 
2 et 3, définies sur P^. Eemarquons d'abord que, d après le § 29, la 
classe a d'une fonction f définie sur P^, si a> i, est indépendante des 
valeurs de f aux points ratminéls de P^, qui forment un ensemble dé- 
nombrable. 

Donnons-nous n + i nombres finis, quelconques, que nous désignerons 
par Uq , t«i , i^i , . . . , u^ et considérons la fonction f définie de la manière 
suivante: sur P, — P,+i, (i = o , i , 2 , . . . , w — 1), j^ = w^; sur P^, jp = u^, 
ip est ainsi définie en tout point de P^; je dis que jp est de classe <2. 
En effet, tp est de classe < 2 sur chaque ensemble normal g^"^ , puisqu'on a 
sur un tel ensemble : j? = iw^ , sauf aux points rationnels de l'ensemble ; ad- 
mettons comme démontré que ip est de classe < 2 sur tous les ensembles 
normaux g^*+^^; alors, comme, sur chaque ensemble normal g^'^, (p diffère de 
la constante u, aux points d'un ensemble comprenant, d'une part un en- 
semble dénombrable, d'autre part une infinité dénombrable d'ensembles g^*"*"'^ 
sur chacun desquels ip est de classe < 2 par hypothèse, ip est aussi de 
classe <^2 sur l'ensemble g^*^ considéré (§ 28); en remontant de proche en 
proche, on reconnaît ainsi que ip est de classe <2 sur T^. 

37. Donnons-nous maintenant un système de nombres finis compre- 
nant une suite infinie: w^ , w, , w, , . . . , w^ , . . . et en outre un nombre u^\ 
considérons la fonction /"ainsi définie: sur P, — P,^,.i [i = o, i , 2, ..., 72, ...], 



44 Bene Baire. 

f=Ui] sur P^, f=u^. Je dis que f, qui est ainsi définie en tout point 
de Pq, est de classe ^3. 

En effet, désignons par f^ la fonction qui est égale à w,- sur P,- — P.+i 
[t = o, I , 2 , . . . , ?? — i], et à w. sur P„; f^ est de classe < 2 d'après le 
§ 36. Je dis qu'on a: lim f„ = f. En effet, tout point A de P^ ap- 
partient, soit à un des ensembles P» — Pi^\, soit à P„; dans le premier 
cas, A appartenant à P,- — P,>ii on a, dès que n dépasse la valeur i: 
fn{A) = tii = f{A)^ d'où lim fn{A) = f{A)'y dans le second cas, A fait partie 

de P„, quel que soit 72; on a donc, pour toute valeur de n: fn{A)^=u„ = f{A)] 
donc encore: lim f„{A) = f{A), Ainsi f, limite de f„ qui est de classe <2, 
est de classe <3. 

Dans le cas particulier où Ton a: lim.u„ = n^y je dis que /'est de 
classe < 2 . En effet, formons la fonction f-^ f„ ; elle est égale, sur 

■t^o -t i , -t 1 X^2 ) -'11— l -^n î ^ 1 sur X^„ -^n+ 1 > -^ »4-1 -^n-^ 2 > • • • j 

Pn^H — Pn+h+\ , . • • respectivement à w„ — «„, , u„j^^ — w« , . . . , w^^^ — w^ , . . . 
enfin, sur P^, à o. Si s est un nombre positif, dès que n est assez 
grand, toutes les quantités n„ — w^ , «/„^i — f/^ , ... sont en valeur absolue 
inférieures à 5; on a donc: \f — /'^|<s, ce qui montre que f„ tend uni- 
formément vers f', donc f est de classe < 2 d'après le § 3. 

38. Je dis maintenant que si l'on n'a pas: limw„ = w^, la fonction 
f n'est pas de classe <, 2, par suite est certainement de classe 3. Pour 
cela, je vais montrer qu'on aboutit à une contradiction en supposant, 
comme je vais le faire, qu'il existe une suite de fonctions fi , fi, --jfyi • • • 
toutes de classe <ï, et telles qu'on ait: Vmif^ = f, 

Dxx fait que la suite w, , ^j » • • • > ^'« » • • • ^'^ P^s pour limite w^ ré- 
sulte qu'il existe un nombre positif Å tel que, quel que soit n^ il y a un 
entier n^>n tel que: 

Prenons /i tel que: o</i</ et posons: / = /i-|- 2£. 

Cela posé, considérons un ensemble normal q^"^ déterminé, choisi arbi- 
trairement, et soit H une iiortion de cet ensemble, c'est-à-dire, d'après la 
définition du § 8, l'ensemble parfait qui est le dérivé de l'ensemble des 
points de ç^"^ intérieurs à un segment 2' contenant à son intérieur au moins 
un point de 2^"\ 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 45 

Déterminons un entier n^> n tel que: 

L'ensemble D(g^"\P„J est dense dans l'ensemble g^^^ par suite I>(-H', P«,) 
est dense dans l'ensemble parfait H^ de sorte qu'on peut trouver un point 
A intérieur à 2", faisant partie de H et de P^,; ce point appartenant à 
P^^, fait partie d'un ensemble normal g^"'^ bien déterminé, soit JSTla portion 
de cet ensemble normal déterminée par 2'. K est contenu dans H, 

K est un ensemble parfait; chacune des fonctions /J- est de classe < i 
sur K^ par suite ponctuellement discontinue; il y a donc un ensemble // 
de première catégorie par rapport à JST, tel qu'en tout point de K — //, 
chacune des fonctions /j est continue par rapport à K. D'autre part, K 
est une portion d'un certain ensemble normal 5^"'^; on vif=u„^ aux points 
de cet ensemble qui ne font pas partie de P„,+i et qui ne sont pas ration- 
nels, et comme D(q^"'\ P^^^^) est de première catégorie par rapport à g^"»\ 
l'ensemble L des points de K où l'on n'a pas: f=u„^, est de première 
catégorie par rapport à K. L'ensemble K — M[n ^ L) est donc rfewse dans 
K\ nous pouvons prendre un point li intérieur à 2 et contenu dans cet 
ensemble; on a: f{B) = n„^j et toutes les fonctions f^ sont continues en B 
par rapport à K. 

Cela posé, donnons-nous un entier^. Comme \\mf^{B) = f{B) = u„^, 
nous pouvons déterminer un entier p^ > p tel que: 

t/;.(ß)-«„.|<£. 

Comme /J,^ est continue en B par rapport à A', nous pouvons déterminer 
une portion Jï, de K contenant J?, telle que, C étant xm -çomt qxielcmiq^ue 
de JTj, on ait: 



ce qui donne, en combinant avec l'inégalité précédente: 

En rapprochant de l'inégalité (1), on obtient: 
(2) KiC)-u^\>,x. 



— •^ 



46 Eené Baire. 

En résumé, étant donnés, d'une part un entier p^ d'autre part une 
portion H d'un ensemble normal g^"^, on peut déterminer un entier p^> p 
et une portion Jï, d'un ensemble normal g^"»^, avec n^> n^ et Jï, étant 
compris dans Jï, tels que pour tout point C de Jï,, on ait l'inégalité (2). 

Appliquons cette proposition une seconde fois en remplaçant jp et If 
par p^ et Äj, nous obtenons un entier p^> p^ et une portion If, d'un 
ensemble normal g^"'^, avec w, > Wj , et If, étant compris dans H^ , tels 
qu'en tout point C de -H,, on a: 

|/;,(c)-«.i>Ai. 

En répétant indéfiniment l'application de ce procédé, on obtient, d'une 
part deux suites d'entiers croissant indéfiniment: 

t«j < w, < . . . < w^ < . . . , 

d'autre part des ensembles parfait« dont chacun est contenu dans celui qui 
précède : 

H^ > Jjf, > . . . > H^ > . . . , 

Hi étant une portion d'ensemble normal g^"'^, de telle sorte qu'en tout point 
(7 de Ai on a: 

(3) \f„{C)-u„\>fi. 

H existe un point contenu dans tous les ensembles fermés H, par suite, 
satisfaisant à (3) quel que soit i; un tel point, soit C, appartenant à une 
infinité d'ensembles normaux g^'^^ q^"*^, . . . , 5^**'^ . . . , les 7?^ croissant indéfini- 
ment, fait partie de P^; on a donc: 

L'inégalité (3) s'écrit donc: 

\f,ÅC)-f{C)\>/i, 

ce qui, comme pi croît indéfiniment, est en contradiction avec le fait que 
l\m fp^{C) = f{C), La proposition est donc démontrée. 



Sur la représentation des fonctions discontinues. 47 

Nous avons ainsi établi V existence effective de /mictions de classe 3. ^ 
On peut particulariser, en prenant, par exemple: w^ = Wj =... = w^ = ... = o, 
w. = I, ce qui nous donne, comme exemple de fonction de classe 3, la 
fonction égale à o en tout point du segment (o, i), sauf aux points irra- 
tionnels dont le quotient incomplet de rang 71 croît indéfiniment avec «, 
pour lesquels elle est égale à i. 



^ Dès 1898, M. VoLTERRA, à qui j*avais communiqué le théorème sur les fonctions 
de classe I (§ 13)» m'avait indiqué un exemple d'une fonction qui n'est certainement 
pas de classe ^ 2. 



TABLE. 



Pages. 

PREMIÈRE PARTIE. 

Introduction 1 

Chapitre I. Définition des diverses classes de fonctions 2 

Chapitre IL Les ensembles à n dimensions 8 

Chapitre III. Les fonctions de classe i 12 

Chapitre IV. Propriété commune aux fonctions de E 21 

Chapitre V. Premières recherches sur les fonctions de classes 2 et 3 .. 30 



49 



SUR LE PROBLÊME DES TROIS CORPS. 

Tngeotoires le long desquelles deux au moins des trois corps se ehoqueni. 

Conditions qui entraînent un ohoo 



PAR 

G1ÜL10 BISCONCINI 

k BOUE. 



Préface. 

M. Painlevé, en étudiant le problème des trois corps, a démontré 
que le mouvement se poursuit indéfiniment régulier, pourvu que les con- 
ditions initiales ne soient pas telles qu'à un instant fini une au moins des 
distances mutuelles ne soit pas nulle. ^ 

En d'autres termes, si, pour une valeur finie t^ du temps, deux au 
moins des trois points coïncident, les équations différentielles du mouve- 
ment ne peuvent pas être intégrées à Taide de séries convergentes pour 
/>^/j. Les développements sont au contraire toujours valables pour<<fi. 

M. Painlevé ajoutait ensuite: »H serait donc extrêmement important 
de définir avec précision les conditions initiales qui correspondent à un 
choc», et plus loin, en faisant allusion à une étude qu'il avait commencée, 
mais pas accomplie, il observait: »Cette discussion me donne lieu de penser 
que les conditions initiales qui entraînent un choc au bout d'un temps 
fini satisfont à deux relations analytiques distinctes (qui se réduisent à une 
dans le cas du mouvement plan)». 

M. le prof. Levi-Civita, en envisageant le cas particulier du mouve- 
ment plan, se proposa cette question, que M. Painlevé n'avait pas résolue. 

* Leçons sur la théorie analytique des équations difféi'entielles, p. 583. 

Acta mathematiM. 90. Imprimé le 19 août 1905. 7 



50 Giolio BiscoDcini. 

Dans son travail il démontra effectivement Texistence d'une relation ana- 
lytique uniforme, et il en donna une expression développée en série de 
puissances de la distance des deux points, qui tendent à se choquer.* 

Le chemin avait été tracé, et Ton n'avait qu'à le suivre pour résoudre 
le problème dans le cas général. Voici les résultats auxquels nous sommes 
parvenus. Soient Po , Pj , Pj les trois corps. Posons p^ = PqPi, p^ =PoP2, 
et faisons l'hypothèse que lim/>i = o et lim/>2=#o. Il s'agit de déter- 

miner les relations, auxquelles doivent satisfaire les conditions initiales, 
pour que cela ait lieu. — Les deux hypothèses, que nous avons faites, 
doivent être évidemment suffisantes pour caractériser les chocs PqPi et les 
conditions initiales, dont ils dépendent. Néanmoins, pour la résolution du 
problème, nous avons introduit une troisième hypothèse, que nous n'avons 
pas pu déduire des autres. Nous avons admis, que, dans le voisinage de 
Po, la vitesse angulaire de PqPi dans le mouvement relatif par rapport 
à Po soit finie. 

Le raisonnement, qui nous a conduit à l'admettre, est tout à fait 
intuitif et on le trouvera dans le § 4, n° 2. 

Quant aux différentes phases du procédé, elles peuvent être résumées 
en un mot. 

Nous avons considéré le mouvement relatif des points Pi , P^^ par 
rapport à Po et, par un choix convenable des variables, nous avons con- 
duit les équations du mouvement au type de celles de M. Levi-Civita 
(v. § 4, n° i). Nous avons alors démontré, que les trajectoires singulières 
du système, le long desquelles les deux points Po , Pi doivent se choquer, 
correspondent univoquement aux solutions, qui sont holomorphes dans le 
voisinage de la position de choc (v. § 5, n® 3). Nous avons déduit, selon 
les prévisions de M. Painlevé »deux relations analytiques distinctes» entre 
les conditions initiales, relations, qui nous permettent de décider, si le 
mouvement aura lieu le long d'une des co® trajectoires singulières. 

Si nous indiquons ces deux relations par u[^^ = 0, m1*^ = o, il est 
évident qu'une seconde couple u^p = o, wf/^ = o, analogue à la première, 
sera caractéristique pour les chocs PqP^j et une troisième w^8*^ = o, u^P = o 



* Traieitorie singolari ed urti nel prohlema rislretto dei ire corpi. Annali di Ma- 
terna ti ca. Tomo IX, serie III*. — Une nouvelle rédaction de ce mémoire paraîtra sous 
peu dans les »Acta». 



Sur le problème des trois corps. 51 

pour les chocs PiP«. En résumé les deux équations 

nous permettrons de caractériser tous les mouvements singuliers du système, 
dans lesquels deux quelconques des points se choquent. 

Nous finirons ce court résumé de notre travail en ajoutant, que dans 
le dernier paragraphe nous nous sommes occupés de déterminer effective- 
ment la forme analjrfcique des équations u^i^ = o, ^^^ = 0, en développant 
les premiers membres en séries de puissances de la distance Po^i- 



§ 1. Équations du niouiwment. 

I. Mouvenmit des trois corps Pq, F^, Po référé à des axes fixes. — 
Considérons trois points Pq^P^^P^^ dont les masses sont niojini^ rn^y et 
supposons qu'ils s'attirent mutuellement selon la loi de Newton. Eappor- 
tons-les à un système d'axes cartésiens ç , îy , C, fixes dans l'espace, et appelons 
ffj^oC l^s coordonnées d'un point quelconque entre eux, et j),-, g',, >\ les 
composantes de sa quantité de mouvement. 

Les équations du mouvement du système sont: 



(0 


\dçi 
dt 

dpi 


Zpi' 
dH 


drji 
dt 

dqi 


dH 

Hi' 

dH 


d:, 

dt 
dfi 


dH 

• 

an' 
dH 




l (l( 


•at ' 


dt 


diji' 


dt 


s:.' 


où l'on a pos 


é: 








• 





(^ = 0,1,5) 



w ji^ T- u= 1 ç^i« + ï? + ?;)- Ç,,!^, 

et: 

^ij = v/(c'i - er + (7^ - ?.)• + (c^ - cr • 

Il va sans dire, que nous avons choisi l'unité de temps, de manière 
que la constante d'attraction universelle devienne égale à l'unité. 

II. Transformation de Poincaré. — Envisageons maintenant le système 
d'axes x ,y , z menés par Pq et dont les directions sont constamment celles 
des axes ç y tj ^ C- Soient (X^\ , Pi , ^i ', oo^ , y^ j ^2 l®s coordonnées des points 



52 



Giulio BMConoini. 



Pj , Pj rapportés à ces axes. Les formules de transformation entre les 
deux systèmes sont: 



(3) 



^0 SO) 



1/t = >Ji — 7o> 



^0 SO) 



«-1,2) 



C— «S. 



Posons ensuite: 



(3') 



Po 



= T 



jPj 



3o = ?^2/, n = Xjrj, 



[Pi =Pt, 



((=!,») 



r, = r,. 



2< = «M 

3 2 

On aperçoit que, puisque ^jpjXj = ^jPjÇjy etc., les équations (3) et (3') 

donnent entre les variables ic^ , y, , 4r< ; ^< , q^ , r, et f i , ly« , C J i^< > ît > ^» ^^i^^ 
transformation, qui conserve la forme canonique au système (i). 

Nous pouvons maintenant remarquer que i>o, 2o > ^0 s^nt des constantes. 

Elles sont en effet, au multiplicateur S^m^ près, les composantes de la vitesse 

du centre de gravité des trois points, qui se meut uniformément sur une 
ligne droite. On pourra donc les supposer égales à zéro, sans rien ôter 
à la généralité du problème. 

Les équations, qui définissent le mouvement relatif de Pj et Pg par 
rapport à Po, sont donc: 



(I') 



dxi 


ZU 


dyt 


9H 


dzi 


m 


(It 


dpr 


dt 


Hi' 


dt 


drt ' 


dpi 


dH 


dq, 


9H 


dr( 


dH 


dt 


iXt' 


dt 


^iji' 


dt 


dzi ' 



(<-1.2) 



OÙ Ton a posé, en vertu des relations (?) et (3), (3'): 



(2') 



H= T— U= 



= ^ t,(;^. + ^>? + 2? + r?) + ^(l>:l>, + g.g. + r,.,) -t 



niinij 



et 



Ao, = y/x'i + y? + si 



^<j = N/(a;. - xjr + {y i - yjY + (z, — ejf. 



Sur le proli^ème des trois corps. 



58 



III. Remplacement des composantea de la vitesse absolue de P^ par les 
composantes de sa vitesse relative. — Substituons mamtenant à la place des 
composantes de la quantité de mouvement absolue de P^ les composantes 
^î ) yî > ^î de sa vitesse relative. 

Elles sont fournies par le premier groupe des équations (i'), dans 
lesquelles on doit supposer i = i et avoir égard à la relation (2'). 

En posant: 



(4) 



— _L j_ J 



= — î— + — 



on aura: 



(5) 



^\=/ixPi + ^, 



y\=[^.q. + f. 



z\=tx.r,+^^. 



et par conséquent: 



(2.) 



Ä-=^{^(a;:» + yr + ^n+;u,(i>? + g5 + »1)} 






mimj 



Du premier groupe des équations (T), en vertu des égalités (5), on 
tire donc: 



dt 3pi dXy dpi 



dH 



dXi _dH_dH dHdx[ _dH x\ 
dt ap, 3^2 'bx\ aj)a a/), wio/^i 



etc.; 



etc.; 



c'est-à-dire: 



Tt 

dx^ 
'dî 






dij, d{/i,H) 



dz, _ djfME) . 



dt 



3y, 






dey 



5y>.\ »^»0/^1/' rf< 3(?t\ wy^,/' dt dr,\ '^ m,fij 

En dérivant les relations (5) par rapport à < on a: 



dx[ 
'dt 



dp, 
dt 



i_dpj 
mo dt ' 



= /^i-37 + f-^% ötc, 



54 



Giulio BiscoDcini. 



OU bien, en vertu des équations (i'): 



dx't 
Ht 



= — ^1 



^H 



I ^H 



aa;, »»(, axj 



= —lh 






A« + 



dX 






dH 



— f^il 



oX^ 



m^x^ 

Ai 



3ar, \Wo Ali/ ' 



etc. 



On pourra donc remplacer le deuxième groupe du système (i') par 
les équations: 



dx\ 
'ât 

di\ 
dt 

Posons enfin: 



-— /il// H — ^î— H — ^— T- ^ etc., 

3^1 V AJ. wîo Ali/ 






etc. 



(2") 



•7 

^. = \ {< + ?/;•-• + z?) -/i, £, ^ + 



Wî 



^i^f +?/i2/* +'8','2^i , W'i>»i I 



2 



A!. 



+ 



>».. Au' 



ir,= 



_/^ 



'-J(i'^ + g? + >1)-£., 



»Hi»t; , I , , , . , , 



u 



><;■ 



wy^ 



D*après les équations (5) le système (i') sera équivalant au système: 



(I") 



rfx, 
'dt 

dx\ 
~di 

{dx. 



II 



dt 

dp, 
dt 



dx[ ' 
afl, 

9iJ, ' 

aa;, ' 



dt 

dy[ 
dt 

dt 

dt 



afl. 



dz, 

Ht 

dz\ 
'dt 

dz 



t 



dt 
dt 



dz, ' 
dJU 



La transformation, que nous avons employée a fait donc perdre à 
notre système la forme canonique originaire, mais elle lui a donné une 
forme demi-canonique. De cette propriété nous allons profiter tout de suite. 

IV. Forme semi-canonique iiolaire imiir les équatmis du premier* 
groupe. — Soient /?i , #1 , f 1 les coordonnées polaires du point I\y et I^ , 6^ 0i 
leurs variables conjuguées. Nous entendons par cela, que, si Ton substitue 



Sur le problème des trois corps. 



55 



dans le premier groupe du système (i") aux deux séries de variables 
^1 > yi ) -^1 j ^î ) yl ) ^i y lös deux nouvelles séries, que nous venons d'indiquer, 
ce groupe doit maintenir la forme canonique. 

Puisque on a: 

Xi= pi sin tf 1 cos ^j , 



(6) 



il faut poser: 



yi = Pi sin Ö, sin f , , 



lZi=pi cos »i , 



(7) 



^1 = ^» ^ + yî ^ + •'i ^ = =^! s^^ *» «'OS fPi +yi sin *i sin jp, +«( cos öj, 
^Pi 'Pi ^Pi 

d'Y* d}/ ^S 

^i = *i ÏF + yî ^ + ■«î :^ = yOi (^i COS *, cos çp, +y; cos *, sin ^i — e[ sin iJ,), 



a*. 



a*. 



a* 



^1 = ^î ^ + yî ;? + ^î rr = iOi (— ^i siJi *' 8in jPi + y; sin *, COS fj,) • 

9^1 9^, ^^1 

On tirera identiquement: 

Pidpi + Sid&i + 0id^i = x[dx^ + yî^ï/i + -s^î^^i- 

Cela nous suffit pour conclure, qu'il s'agit d'une transformation de con- 
tact. Par conséquent la forme canonique du premier groupe sera conservée. 
Les relations (7) résolues par rapport b, x[,y[, 2[ nous donnent en outre: 

9, . 0, 



(7') 



x[ = P. sin ö. cos (b, + — cos ö. cos w^ r^ sin ç^ , 

r 1 i ^ ^ />, sin c^, '^ 



y'l = P\ sin «?i sin ^1+7^ cos f^i sin j^i + ^.^ ^ cos jTj 



/>j SID 



^1 = /^ COS *i 



— Î- sin öl . 



(2'") 



Les fonctions H^ et Äj pourront donc être mises sous la forme: 
2 \ ' ' />î * />; sm* *i/ '^^ \ /?! />2 A / 

♦»0 A 



/>i 






6« 



Oiulio Biaconcini. 



Dans ces relations les symboles introduits ont, comme il est aisé de 
voir, les significations suivantes: 



(8) 



P2 = V/XÎ + î^î + ^î, 



A = y'(^^ sin *V^ cos ^j — x^y + (/>j sin »^ sin ^^ — y^y + (/>, cos *j — £,)*, 
V j = rCj sin i9, cos ^i + t/^ sin tf^ sin çTi + ;?2 cos öj , 

V« = J). ( /^. sin ßi cos cf 1 H — ^ cos i9. cos cr, t^-t- sin ^j ) 

^ '\ Pi />, sin e7j '^ / 

+ q^\Pi sin *i sin fi + y cos ^^^ sin if^ + — j^ cos jr^ 



+ rîf FiCosi9i ^sinöj. 



Les équations du mouvement relatif sont donc évidemment 



(!'") 



f ^A _ 3^, 



I 



d*. 



35. 



df^ 



3//. 



II 



rf/ 


3/', • 


dt 


se, ' 


dt 3<P, ' 


dt 


35. 


de, 

dt 


35, 


rf</>. 35. . 
d< 3f , ' 




d», 35, 

rf/ "" 3». ' 


etc., 


dt 


— -— ' , etc. 



Il est aisé et en même temps intéressant, de mettre en évidence la 

signification cinématique des variables conjuguées aux coordonnées polaires 

9 (P 
du point I\ . Les égalités (7) nous montrent, que Pi , — ^ , .' ^^ se tirent 

^c oc[^y[, z\ en ajoutant ces dernières, après les avoir multipliées par les 
cosinus de direction des tangentes aux lignes coordonnées polaires, qui 

passent par Pj . Les quantités /^ , — ^ , — 7~r sont donc les projections 

sur ces lignes de la vitesse relative du point 1\. 



Sar le problème des trois corps. 57 



% 2. Quelques conséquences, que Von tire des equations du 
mouvement, dans P hypothèse que limPo^i == ^• 

La forme, que nôiis avons donnée aux équations du mouvement, nous 
permettra d'étudier le comportement des variables du problème, lorsque 
Pi ^ PoPi tend vers zéro pour une certaine valeur finie du temps. Cette 
hypothèse analytique entraîne Thypothèse physique, que les deux points 
PqPx se choquent au bout du temps t^. L'intuition nous fait voir, que 
s'il y aura, à cause de ce choc, des singularités dans les caractéristiques 
du mouvement relatif des deux points Pj , Pj , elles pourront se trouver 
seulement dans celles du point Pi . En effet on comprend que ce choc ne 
pourra exercer qu'une influence très petite sur le mouvement de P,. Eh 
d'autres termes les coordonnées et les composantes de la vitesse absolue 
(ou, ce qui revient au même, les composantes de sa quantité de mouvement 
absolue), que nous devons supposer finies avant le choc, devront rester 
telles pour t = ti. 

Cela justifie la transformation, que nous avons employée au n^ 3 du 
paragraphe précédent, qui pouvait sembler d'abord sinon illogique au moins 
peu symétrique. Il est évident, que si nous n'avions pas opéré comme 
cela, toute singularité dans la vitesse de P© aurait amené une singularité 
analogue dans celle de Pj. Nous trouverons tout à l'heure une confirma- 
tion rigoureuse de cela. 

I. Comportement de la vitesse absolue de P^, — Proposons-nous de 
démontrer d'abord que: 

• - • 

Si pi^ pour t = ti, tend vers zéro, les fonctions i>2 , 32 , r^ restent toujours 
finies {même pour p^ = o). 

Cette propriété ressort tout de suite de la forme analytique particulière 
des équations (i'")- Considérons en effet, parmi les équations du second 
groupe, celles qui fournissent les dérivées de 2hiÇ[ii^\ V^^ rapport à /, et 
substituons H^ par son expression (2'"). 

Il vient ainsi, en nous bornant à la première: 

-g = ^ rc, + -^* {Pism», cosf^i — x,), 

Âeta mathematxea. 80. Imprimé le 5 septembre 1905. ^ 



58 Giulio BiscoQcini, 

OU bien: 

dp^ m^m^ m.m^ , m.m. Bin &, cos w. 



Faisons maintenant Thypothèse que lim/>i = o, et que la limite in- 

férieure de p^ soit plus grande que zéro. Ayant égard à la deuxième des 
relations (8), on conclut que lim A = />, , et que les deux fractions 



X. 



--^. , — î— ^ — ^-T ^ restent finies. Nous aurons donc 

A" A* 



,. m.m^ Bina. coBip. 
hmp^ A» ^=0 

et nous pourrons conclure qu'il y aura un intervalle (/', <,) assez petit, 

tin 

dans lequel la fonction -—-" restera toujours finie. 
Puisque nous avons identiquement: 






t' 
nous pourrons écrire : 

Mti)=PÅn + iti-i')\%'] , ■. o<s<i. 

L «* J'i+c('i-o 

Il suffira donc d'admettre, que dans le point t' la fonction p.^ ait une 
valeur finie V pour en tirer qu'elle restera finie même au moment du choc. 

Un raisonnement identique peut être fait po.ur g, et rj, par consé- 
quent notre lemme reste démontré. 

II. Comportement de la vitesse relative de Pj . — Nous sommes à môme 
maijxtenant de déduire de l'intégrale des forces vives du système (i'") 
d'autres propriétés pour les caractéristiques de Pj. 

Si h est la valeur de l'énergie totale des trois points, l'intégrale de 
Jacobi, exprimée par les variables a;< , y, , ^<(i = i , 2) ; a:^î , yî , ^1 ; i>2 j 2a ) ^2 j 



* Cela se vérifie, si nous supposon«, que le mouvement soit régulier pour toute 
valeur du temps, qui no correspond pas à un choc. Celte hypothèse est justifiée par 
le théorème do Painlevé (v. la préface). 



Sur le p^blème ^des' trbis cor{>s. ôB 

sera, d'après Tégalité (2J: ; ; 



\ { /T; ^^'" + ^" + A'] '+■ liÅPl +•- 5^+ *1)}— è 



2 

ntinij 



= h. 



Si Ton emploie la transformation fournie par les relations (6) et (7), on a 



WqW, Illy m, m, fit 



et de suite: 



Pt A 



/>./^î + ?+ ^' 



-^^ = A, 



/>! iOi siîi' ^i 



- • , - 

En posant enfin: . . ^ ' : 

et en remarquant, qiié WoWr,;tti^ Wi, -f- m,, pn-^irivera à l'égalité: . 

Si pi tend vers zéro," la .fonctioi P ne. peut pas croître indéfiniment, 
car p^ ne s'annule pas, par hypothèse, et p^y q^y r^ restent finies à cause 
du lemme démontré. ' . 

Le second membre de Tégalité précédente aura donc, pour p^ aussi 
ßetite que l'on veut, une valeur très voisine à 2(m(> + in,). Mais, comme 
le premier membre est une somme de quantités essentietUement positives, 
chacune d'elles ser^. finie, dans le voisinage de ,^j = o.^ 

Nous pouVoi^ donc épon^t ce nouveau l^^ramé: 

ß 

Si pi , pour t = ti, tend vers zéi'O les fonctions y/n. Pi , -7= , ^' ''i dé- 

finies par les équations {i"'}, m pçi^çnt pas croîtrç^ indéfiniment, lorsque t 
s'approche à /,, \ ' 'C / 



60 Oiulio Bisconcini. 

Si nous envisageons maintenant l'identité: 



Tè — ^ 1 ri* '^ ri ^ê > 



di -^ '' di ' ^' di 
nous pouvons écrire, en vertu des équations différentielles: 






Ayant égard à Texpression analytique de ITi, donnée par la première 
des relations (2'"), nous avons donc: 



dt 






"^^^ P\ ■*■ A' a/>J"^ p\ »WoA*a/>i/ 



Mais, comme on a: 



- — = — {(^i sin tf 1 cos f?i — x^ sin ^i cos f^ 

+ (yOi sin 1^1 sin pi — y,) sin ê^ sin çpj + (/?i cos ê^ — z^ cos #1} 

= r (/Ol — ïï^î siii *i cosf 1 — y, sin #1 sin j^i — s^ cos *,) = ^^~^r — ^ » 

la dernière relation s'écrira: 

d{pj\),_ pa I g? I ^î w^ + m> 

rff "" ^* "^ />; "^ ^î Bin« *. />/ 

( p,fn,m ,{p, — V.) . w,V, >»,m,(fl, — V,) \ 

En se servant en outre de l'égalité (lo) et en faisant quelques ré- 
ductions on aura: 

Enfin, en posant: 



Sur le problème des trois corps. 61 

il viendra: 

^ ^ di Px 

Kappelons-nous maintenant, que la fonction P reste finie pour toute 
valeur de t dans le domaine de ^j, et remarquons, que l'expression 

wi^Px y^ , — ^ H ^) tend vers zéro en même temps que t^ — t. Nous en 

tirons que Q reste finie dans le domaine de <, . 

Il sera donc possible d'envisager une certaine valeur t' de ^, telle que, 

dans Imtervalle (f, t), on ait ^" "^ ^^ + Q> o. Dans cet intervaUe ^}P 

Px «^ 

restera positive et la fonction p^ P^ sera par conséquent toujours croissante. 

Comme elle ne peut pas donc s annuler pour ces valeurs du temps (<i au 

plus exceptée), ni Tun ni l'autre de ses facteurs pourra être égal à zéro. 

Mais, puisqu'on a déjà vu que Pi = -77 = -^ , on peut conclure, que 

la fonction pi{t) tendra vers zéro toujours de la même manière, c'est-à-dire 
en décroissant. 

En résumé on a: 

Si p^ , pour < = <i , tend vers zéro, la fonction P^ = -^ ne peut pas 
s'annuler dans le voisinage de ti. 

Nous démontrerons enfin que: 

Dans le voisinage de ti la limite ir{férieure des valeurs de py P\ ne peut 
pas être zéro. 

Remarquons, à ce but, que la relation (11) nous donne: 

dP, _ pàp, , w,m, ^ 

P'~di - ~ ^'Tt '^ 'j;' + **• 

L'identité : 

djpi PI) _ ,^ p dPi , p^dpi 
'~dïr'=/^P'^'Tt'^^'~dt 

pourra donc être écrite: 



djpiP^ __ p / *», + m. «\ „, dp, 



62 Giulio Bisconcioi. 

Ou l)ieu, puisque I\ = -^: 

Si nous admettons, que dans le voisinage de t^ la limite inférieure 
des valeui's de p^ I^l soit zéro, nous pourrons eonclure qu'il y aura une 
valeur t\ suffisamment près de t^, pour laquelle />i /\^ deviendra aussi petite 
que Ton veut. En particulier nous pourrons supposer, que, pour t = t\ 

soit pi P] < —^ , Nous pouvons encore supposer que, pour t = t\ on 

ait iO,Q<— ^ -, car nous avons vu dans la démontration du lemme 

précédent, que /^,Q tend vers zéro en même temps que ti — t. On tire 
de tout cela, que la valeur de PiP] — />iû, pour t = t^, sera moindre 

2 

que — ^ ^ et, par conséquent, que l'inégalité 

ft 

(13) m, + m.-i/,.PÎ + /,.û>-«^-' 

sera vérifiée. 

Le premier membre de la relation {12) aura donc le môme signe que 

-^ , c'est-à-dire qu'il sera négatif. 

En d'autres termes la fonction pi P\ sera décroissante dans le point t^ . 

Envisageons alors une valeur f' comprise dans l'intervalle {t\ t^ et 
qui soit suffisamment voisine \\ V. 

Puisque l'inégalité (13) reste a fortiori satisfaite, nous en tirons, que 
même à l'instant t" la fonction p^ P\ sera décroissante. 

Comme nous pouvons répéter ce raisonnement pour chaque point de 
{t\ <i), il faudra (jue l'on ait: 

{14) Yimp^P\ = o. 



t'^i. 



Il est cependant aisé de montrer, que cett<? conclusion est absurde. 
Écrivons en effet d'après (12): 



Sur le pix>blème des troi» corps. 63 

Puisque — • d{pi F]) et — dfli sont des quantités positives, cette égalité 
donne lieu, en vertu de (13), à l'inégalité: 

* i i \ : 

— rf(/Oi /I) >— (wo + ;«,)(? log /o, . 

De celle-ci on tire, en intégrant tous les deux membres entre deux 
limites t\t'\ qui vérifient l'inégalité (13): 

{Pi ^i)r — (/>! P')r > K + Wh) { (log />,),• — (log/>,)r } . 

Faisons maintenant tendre t" vers ti. Le premier membre, en. vertu 
de régalité (14), aura la limite finie {piPl)t', tandis que le second croîtra 
indéfiniment. Ce résultat nous montre, que Thypothèse, d'où nous sommes 
partis, est fausse. 



% 3. Changement de la variable indépendante. 

I. Remplacement de t par p^, — Dans une remarque au commen- 
cement du paragraphe^ précédent nous avons employé implicitement une 
propriété, qui à été énoncée par M. Painlevé (v. aussi la préface). Ce 
théorème dit, au fond, que- le mouvement de trois points matériaux, qui 
s'attirent selon la loi de Newton se poursuit régulièrement et les équations 
se laissent intégrer par une approximation aussi grande que Ton veut, 
pourvu qu'il n y ait pas un choc au bout d'un temps fini. A partir de 
cet instant on ne peut rien affirmer. 

Les cas, qui peuvent se présenter sont évidemment deux : a) une seule 
des trois distances tend pour t = ti vers zéro, tandis que les deux autres 
restent supérieures à zéro, b) tous les trois corps tendent en même temps 
vers une position déterminée de l'espace. 

Nous étudierons seulement le premier et nous supposerons, que ce 
soit la distance P^Pi qui s'annule pour la valeur t^ du temps. 

Comme nous n'avons fait aucune hypothèse à l'égard des masses des 
trois corp9, il est bien évident, que nous pourrons douner aux résultats, 
que nous atteindrons, une interprétation plus générale. Il suffira que l'on 
change convenablement la signification donnée aux symboles, pour avoir 
des propriétés identiques relatives à un choc entre deux autres points. 



G4 



Gialio BÎBOoncini. 



Faisons donc Thypothèse: lim/?i = o. D'après le théorème de Pain- 

LKVÉ, pour toute valeur de t près de t^ les fonctions />i , ^i , f>i ; Pm 0\i 0\\ 
^'2 ) 2/2 j ^2 ; P2 i Qij'^ii dépendent régulièrement de t^ . Nous avons de plus 

démontré (v. § 2, n° 2, II lemme) que (^*) est négative. On tire 

par conséquent, que t pourra être considérée une fonction de p^ régulière 
dans le domaine />j = o. Nous avons donc: 

Si p^ y 2)(yur t = t^, tend vers zéro, les fofictions *i , . . . , <Pi ; oo^j 
y^y . . . , r.2 dépendent régulièrement, de p^ dans le voisinage de t^ {cette valeur 
au plus exceptée). 

Pour avoir les équations, qui définissent ces fonctions au moyen de/>i, 
il faudra évidemment éliminer dt entre les équations (i'"). A ce but 
écrivons la première sous la forme 

dt^ i 
dp, ' 



La quatrième du premier groupe nous donne par conséquent 



dp, 



^P, ' a/>, • 



Cependant, comme il est possible de tirer de Tintégrale If = A la 
fonction I\ , nous pourrons remplacer Téquation précédente par II = h^ et 
envisager, dans toutes les autres, P^ comme une fonction connue. 

En résumé le système auquel doivent satisfaire ^i(/>i) , f>i(/«i) ; • . ; 
qÀPi) y "^^ÅPi) sera: 



(i^v) 



II 







id», 


9H, . 9H, 


dip, _ 


9H,JH,^ 










dp. 


99, '9P, ' 


dp. 


90, • 9F, ' 










de, 


9H, . 9B, 


d0. 


^B, . 9H, , 










<ip, 


9», ■ 9 F,' 


dp, ~~ 


9f, • 3/V 






dx^ 
dp, 


9H, aH, 


dp. 


9H, 9H, 


dz, 
dp, 


9H, 
3r. 


9H, 

9F, ' 


dp. 


9H, . 9H, 


dq. 


8F, 9H, 


dr,_ 


9H, 


.^B, 


\ ^f>, 


9 


X, ■ 9F, ' 


dp, 


3y, : 3/V 


dp. 


9z, 


9F, ■ 



Sur le problème des trois corps. 66 

II. Remarques générales à Végard des équations obtenues. — Après 
avoir intégré ces équations, on pourra, d'après Tintégrale Ä^ = A , exprimer 
l\ par />, . Enfin, en remplaçant toutes les fonctions, dont dépend le se- 

cond membre de l'équation t~ = ^-g/T'» V^^ leurs valeurs obtenues, nous 

pourrons avoir, par une seule quadrature, la fonction pi et toutes les autres 
caractéristiques du mouvement exprimées au moyen de t. 

Ce qui nous importe le plus c'est de mettre en évidence le caractère 
analytique des intégrales dans le voisinage de />, = o. 

D'après le théorème de M. Painlevé on est assuré, que le long de 

toute trajectoire (où -^ ne soit pas identiquement nulle) le mouvement ne 

cesse pas d'être régulier, c'est-à-dire, les intégrales sont toujours des fonc- 
tions holomorphes. Au contraire, on ne sait rien, si les points se meuvent 
le long des trajectoires singulières. Dans le paragraphe suivant nous ver- 
rons, qu'elles sont caractérisées univoquement par les intégrales du système 
(i'^), qui sont holomorphes dans le domaine de /?, = o (bien entendu, ce 
point au plus excepté). 



% 4. Forme définitive des équations. 

I. Nouvelle transformation de variables. — Dans le système (i'^) rem- 
plaçons les variables />i , Pj , öi , (Pj par des nouvelles r, Jî, tfj , jpJ, liées aux 
premières par les relations: 

(15) ^ = v^, R=^-rPu *: = ^. î^î = r-w-*;- 

La signification des variables 9[ , ^[ est bien simple. 
Écrivons à cet effet: 

et rappelons-nous que —^ et — t^-t- sont les composantes de la vitesse rè- 
^^ ^ />j p^ sin ü^ '^ 

lative de P, selon les lignes polaires tfi , ^1 (v. § i , n° 4). 

Nous tirerons tout court, que ê\ et ^\ sont respectivement les vitesses 

TT 

angulaires des projections de PqPx sur les plans jpj = const., #1 = -. 

Acta maihematica. 30. Imprimé lo 5 septembre 1905. 9 



Go Giulio Bisconcini. 

La première des (15) nous donne: 

(16) dp^ = 2rdr, 



En outre, ayant dgard aux expressions (2'") de U^ et H.^\ 



(i/J ^ -=^ = — 7> 



U /bj ^ — "7« "" 7* — ^'^ » 



1 



Pi 



^ '"^ d0, p\ sin« *, "" r* sin' ^V, ^* ' 

Si nous calculons — r- , en nous servant des (8), nous trouvons: 

— {/?i cos tf i — jSTj) sin ^i } 
= — -r-/>i {x.i cos #1 cos ^1 + yj cos tf, sin ^, — jsr^ sin d, } = — ^ —y* . 

Par conséquent: 

aZ/j ^îcosdi 



a#. 



_^î_co8j^ ay. lC}_fh\ 

^>î «in' *, "^ "^^ a*, V; AV' 



ou même, d'après (15): 



Par un calcul analogue on pourrait obtenir: 

3fi Vi AV 3fi 



Sur le problème des trois corps. 



67 



En envisageant los dérivées de H^ par rapport aux variables du second 
point, on a: 

aff, , I av. 



^P. 



m,fx, 9p, 



= ß'tP^ H ( Px sîii *i cos c>, H — - COS #, COS c?, r^ sin c>, ) • 



3/? I f I 

— -• = - J rßiP^ A ( — R sin A cos ^i + ^*î cos #. cos c». 



(17.) 



r*f9J sin tf, sin jPj) >, 



9î. 



= ^{ 



^T*»?» H ( — ^ ä^° ^1 ^"^ f 1 + ^"^l ^'^^ *i ^"^ f 1 



m,/i 



+ 



r'jpjsin^icosjp,) >, 



aff. 
3r. 



= ^|r/u,r, +;;^(— iîcos^i — r'tf.'sin*,)}; 



=^! 



('7k) 



aff. 

»y. 



m,/i, 



m. m. 

-Va;» 



/>» 



»M„«l, 



1 9«, />; 









m,m,(r* sin é^j cos ^, — a;,) 



m,m,(r* sin ë^ sin y>, — î/,) 



m,iw,(r* COS*, — jgr,) 



En vertu de l'égalité (i6) et des relations (i?.), (ï7b)) la première des 
équations du mouvement peut s'écrire: 



2rdr 



ou bien: 



(i8.) 






r 






D'une manière analogue la deuxième s'écrit: 



(i8J 



dr ' 






68 Oiulio Bisconcini. 

En dérivant la quatrième des (15) par rapport à r, et en se servant 
de (16), on a: 

dr ■" r' "^ r* dr r ^ '^ r' dp, ' 

Si nous avons cgard à Téquation -7-* = — T^'-^iJ ^^" système (1^^) 
et aux (i7a)> (i7d)> l'égalité précédente nous donne: 

De la même manière on a: 

^ 4^. ?fi ^^^^ 1*1 . _!_ d0, 

dr r' sin« *. r* sin' *, ^ dr "^ r* sin* *, dr 

4f>[ 2^\ COS i^i di^i 2 dtf^i 

r sin d, dr *" r' sin* d^ d^, ' 

En éliminant -r-^ , au moyen de (18.), et en remplaçant -^-- par lex- 

pression, qui est fournie par la quatrième des ((i^^), 1) et par les (lyj, 
(17«), on a: 

/ o\ ^f'î / 1 2rM I r ,^, 8in2*, , w, / 1 I \3V,ll 

Pour les équations du second groupe la transformation est immédiate, 
de sorte que nous n'insisterons pas. 
Elles deviennent: 

dx 2r f I 

( 1 8„) -^* = — -^ j ^IhVi + — ;- (— R sin #, cos j?, + r' *; cos #, cos jp, 



r^ j?î sin *, sin f ,) > , etc. ; 



/l8^ '^^« - ^^'i*^o*i*t^ w,m,(f ' Bip >», cosy, — x.)) 



Sur le problème des trois corps. 



69 



Posons maintenant: 



(19) 



ß, = —ip\ 



,.j sin 2d^ 






ß^ 



«in 2tf, 



in' d, L~ ^' *' 2 + ,'" V/>î — A~V 3f . I ' 



sm 



«1 = r#; , 



a, = rjr, , 



«3 = rfi^Pi + ( — R sin tf 1 COS ^i + r^û[ cos #1 cos j^, — r'^î sin tf i sin ^,), 

Gt^ = r/i2 Î2 H ( — -R sin i^i sin ^j + ^*i cos ß^ sin ff>i + 7^^[ sin tf^ cosff»,), 



«0 = ^/^i ^i H ( — ^ cos *i — r tf ; sin tf 1), 



mji 



a 



6 






m^m^(r* sin jî^j cos f>, — a:,) 



«7 = 



^ ( ^>^t „ m,m,(r* s in *j sin y, — y,) 



1 ^! 



«8 = ^ 



■TT'* 



A* 

w^ m, (r* cos #, — z^) | 

A« / • 






Écrivons, à la place de »,{r) , ^,{r) , x^{r) , ^^(r) , z.,{r),p,{r) , g,(r) , r2(r), 
respectivement Åi{r) , ^^(r) , . . . , ^8(^*)- Alors, puisque â[{r) = ' ^ et 

fpî (r) = ^^ , nous pourrons encore remplacer ß[{r) et ^'i(r) par X[{r) 

et ;i;(r). 

D'après (18J, . . . , (18,) et (19) le système transformé de (i'^) sera enfin: 



(S) 



dr ~ 



or — 



aK + 2r' I . 



(<-l. «,..., 8) 



Ü-1.5) 



70 Giulio Biscoocini. 

II. Comportement des seconds membres des équations (S) au voisinage 
d'une position de choc. — Il est intéressant de mettre en évidence le com- 
portement, dans le voisinage de r = o, des fonctions a , ß introduites par 
les positions (19). 

En vertu de l'identité: 



r'U AV 



A — ^, A* +/>«A +^ï 



r'\pl A 7 Pr plù,' 

on voit, que, pour r = o, le produit -i ( 1 — ^ti) reste fini. De plus, pour 

des valeurs finies des variables, —~ et — ^ tardent, dans le même domaine, 

des valeurs finies. 

Enfin la fonction: 

dont Texpression se tire de (10) et de (9), (15), reste différente de zéro, 
pour r suffisamment petite (v. § 2, n^ i, lemme I). On tire, que les 
fonctions a, , . . . , a, , /9i sont régulières pour des valeurs finies des arguments 
et dans le domaine de r = o. Mais on ne peut rien dire, a priori, à Tégard 
de ^5, car elle est affectée par le diviseur sin^i, qui peut s'annuler. 

Si Ton pouvait démontrer, que, pour t = tiy la fonction ß[ = -^ reste 

finie, on pourrait conclure, que tf, tendrait, pour cette valeur du temps, 
vers une valeur déterminée et finie. ^ Si, par hasard, cette valeur annulait 
sin^i, il suffirait de changer Torientation des axes x,y^z pour éviter ce 
cas exceptionnel. 

Mais, répétons-le, à cette conclusion on arriverait seulement après 
avoir démontré, que flj reste finie. 

En nous servant des hypothèses: limr = o, et limite inférieure de p.2 



t'^t. 



(dans le domaine de < = t^ plus grande que zéro, nous avons taché de 



^ n suffirait d'appliquer la méthode suivie dans le § 2, n° ] . 



Sur le problème des trois corps. 71 

donner cette démonstration. Nons devons cependant avouer que nos efforts 
ont été sans résultat. 

C'est notre convinction, que la propriété ci-dessus soit vraie. Les 
raisons, qui nous engagent dans cette opinion, sont principalement deux: 
I. Dans le cas du problème restreint la propriété est vérifiée. II. L'in- 
tuition physique du phénomène du choc des deux points PqPi nous fait 
voir que, lorsque la distance PqPi sera réduite suffisamment petite (par 
rapport à la distance PqP^), le troisième point aura une influence presque 
nulle sur le mouvement relatif des deux premiers. C'est-à-dire, Pqj P\ se 
mouvront, l'un par rapport à l'autre, selon les lois du mouvement newtonien 
de deux points. Si l'on admet donc, qu'ils doivent se choquer au bout 
du temps <, , on est entraîné à penser, que P, , dans le voisinage de Pq , suit, 
par une grande approximation, une des trajectoires de choc dans le mouve- 
ment non-troublé. Mais ces trajectoires sont des droites sortant de Pq, 
par conséquent les fonctions ê^ , ^i et leurs dérivées â\ , ^[ tendront vers 
des limites finies.^ 

En résumé nous pouvons donc retenir, que la fonction yS,, comme 
toutes les autres, sera régulière, dans le voisinage de r = o, pour toutes les 
valeurs finies de ses arguments. 

Nous en tirons, que les seconds membres des équations du système (S) 
sont réguliers dans ce domaine des variables. La valeur r = o sera donc 
singulière, pour les intégrales du problème des trois corps, parce que les 
premiers membres des deux dernières équations contiennent le facteur r. 



% 5. Intégrales qui correspondent atiac trajectoires singulières. 

I. Théorème d'existence. — Le système (S) admet, dans le domaine de 
r == o , Qo^ intégrales holomorphes, dont Å[ et Å^, pour r = o, se réduisent égales 
à zéro, tandis que les autres prennent des valeurs constantes arbitraires. 

Remarquons tout de suite, qu'un système d'intégrales holomorphes 
de (S) doit satisfaire à ces équations même pour la valeur zéro de la 



' Nous aurions pu admettre que lim ë[ = lim f[ = O, mais nous nous contentons 

d'une hypothèse moins restrictive, car nous verrons, qu'elle nous suffit pour pouvoir en 
tirer, que les deux dérivées tendent vers zéro. 



72 



Giulio Bisconcini. 



variable indépendante. Mais, comme les deux dernières équations s'écrivent 
tout simplement, pour cette valeur: Al = o, AJ = o, il faudra qu'on ait 
précisément Aî(o) = o, AJ(o) = o. Après cela nous pouvons encore re- 
marquer, que la forme particulière de nos équations nous permet de dé- 
terminer, au moyen d'elles, les successifs coefficients des séries, qui donnent 
les développements des fonctions au voisinage de r = o. 

Nous pourrons affirmer en outre, que ces coefficients seront des fonc- 
tions périodiques par rapport aux valeurs initiales Xf\ X^^ des A, , A.,. En 
effet les seconds membres des équations peuvent évidemment être envisagés 
comme des fonctions régulières de r , A,- , A$®\ AJ , AJ et, par conséquent, pé- 
riodiques par rapport à kf^ et }^^\ car Ai et A, entrent au moyen de fonc- 
tions trigonométriques. 

Comme nous aurons construit les séries, il faudra s'assurer, pour la 
démonstration du théorème, qu'elles sont convergentes. 

A ce but écrivons le système (S) sous la forme: 



(S') 



fda-4'0 



dr 






d^ 
dr 



= -4A; + 2r'^. 



U-l,î,...,8) 



U-1.») 



Posons en outre: 



X,-Åf^ = u„ 



(i-1, ?,..., 8) 



et envisageons des fonctions 



S^(r,Vi, ...,ï^8, a;, Aï), 

3î*(^,i^i,...,i^8,a;,a;), 



(< = !,«,..., 8) 



Ä 



2r 



OLi 



qui soient majorants des fonctions 2r'^, - .. ^ 
11 viendra que le système: 



(S") 



'-dr 

dvi 
Tr 



= -^Xj + r%, 



= % 



0-1.2) 



U-l.'i 8) 



Sur le problème des trois corps. 



73 



sera majorant de (S'). Pour démontrer notre théorème, il faudra donc que 
nous fassions voir, que (S") admet une solution régulière ^J(>') > ^<(^)> ^^^ 
pour r = o devient: ^^'(o) == o , Pj(o) = o. 

Si nous nous proposons de construire les séries de Taylor correspon- 
dantes aux fonctions ^J, v<, nous trouvons, que leurs coefficients sont donnés 
par les relations: 



(S'") 






n d— ' S, 



d''-'% 



a-1.2) 

«=1,3,-.,«) 



Elles ont été déduites par les équations (S") en dérivant le premier 

groupe n fois par rapport à r, le second n — i fois, et en posant r = o. 

Si l'on remai'què, que les fonctions 2j sont majorantes des fonctions 

2jy on tire que le système: 

id'^Aj d^-'2j 



(S-) 






d'-'^li 



0'=1,2 8) 

n^i.î,...) 



est majorant de (S'"). De la sorte le système 



(S-) 



{dÅj 
dr 

du i 
Tr 



-% 



-%. 



a=i,«) 



(<-l.î....,8) 



qui correspond à (S^^) sera, a fortiori, majorant de (S). Mais les équations 
de (S^) sont toutes régulières dans le voisinage de r = o, par conséquent 
ce dernier système admettra certainement une solution holomoi*phe s'an- 
uulaut pour r = p. ^ Le théorème est donc démontré, 

II. Toutes les solutions du système (S) sont holomorphes, — Nous 
pouvons maintenant nous faire la question: Le système (S) admet-il d'autres 
solutions hors de celles, dont nous venons de démontrer Texistencô? 



* V. Picard. TraiU d'analyse, a. 1892. T. II, Ch. Xî, p. 308. 

Acta mnUieinatica. 9U. Imprimé le 19 septembre 1905. 



10 



74 Giulio Bisconcini. 

Pour y repondre il faut démontrer le théorème: 

Hors des solutions holomorphes, il n'y a pas d'autres solutiayis, potir 
lesquelles on ait X\{o) = X^{o) = o. 

Nous employerons pour la démonstration un procédé, qui est une 
généralisation d'un procédé analogue, donné, dans son mémoire, par M. 
Levi-Civita (loc. c, p. 17). 

Il faudra, à ce but, que nous donnions auparavant aux équations de 
(S) une forme convenante. 

Le comportement des solutions holomorphes du système (S), dans le 
domaine de r = o, nous permet de mettre celles-ci sous la forme: 



(20) 



A; = ryiy>(r,Ai"\A^;>, ...,A^^>). 0=1..) 



Il va sans dire, que AX'^l^T) et Al^\r\Xf^) sont des fonctions régulières, 
par rapport ?i leurs arguments, au voisinage de r = o. Elles sont de plus 
périodiques par rapport à Xf^ et X:p. 

Si nous posons maintenant: 

a, = }!t^ + yA, (r , Ar>, 4% . . . , A^'^), c-i.î 8) 



(21) 



[ a; = u, + rAf[r , Ar\ n\ . . . , A^^) , o-u) 



nous obtenons un système d'équations, qui peut nous fournir, dans le 
voisinage de r = o, les quantités /\"\ Å^P, • • » ^»\ ^^ , ^2 ^^ fonction de 

Al , Aj , . . . , Ag , Aj , A.2 . 



* Pour 8*en assurer il suffit de remarquer que: 

dÅr _ dAr d/r 9// _ d^ 3//' _ 

(r ,S = I , 2 , . . . , 8 ; lj= 1,2) 

oh le symbole Sn dénote Tunité ou le zéro, selon que les deux in Hces r , s sont égaux 

ou différents. On peut de plus observer, que les dérivées des fonctions Ar , Ai (régulières, 
comme nous Tavons vu tout à l'heure) sont finies dans le domaine de r = O. Ou a de 

la sorte, que le déterminant iacobien -rr-u^"— ' ' »i!/ ~~~^ reste, dans ce domaine, différent 
^ ^ d(Ä['\ . . . , 4"\ ti| , «,) 

de zéro, car tous ses éléments principaux se réduisscnt, pour r = O, à l'unité, tandis que 

les autres s'anuulcnt. 



Sur le problème des trois corps. 75 

A ce propos remarquons, que les huit équations du premier groupe 
dépendent seulement des deux séries de variables Ai , A^^®^ et elles envisagent 
une vraie substitution entre les deux séries mêmes. Pour résoudre le sy- 
stème (21), on peut donc tirer du premier groupe Xf^ en fonction de Åij et 
substituer ces valeurs dans les deux autres. Ces dernières peuvent être 
envisagées comme déjà résolues par rapport à u^ et u^. 

Il vient ainsi: 



(22) 



, Uj = a; — rÀf{r , ;.i , Ao , . . . , Ag) . 0=1,2) 



Il est important de remarquer, que A^ , /ij*^ doivent être des fonctions 
régulières par rapport à leurs arguments, et périodiques par rapport à X^ 
et A3 avec la période 2;r. 

En effet, d'après les équations (20) et (22), on a: 

(23) — Ai{r\Åf^)==Ai{r\Åi), «-1.2 s) 

Ayant égard à la périodicité des Ai par rapport a k^^\ AÎ/\ on peut écrire: 

Ai{r,kf^ + 2;r, Åf^ + 2;r, Af , . . . , A^ = ^U^I'^H, (^-^ s) 

et, en vertu de (23): 

- A,{r , Ar + 2;r , }iP +27:, /i"\ . . . , /^ = Å{r , A, + 2.t , A, + 2.t , A^ , . . . , A«), 

(<-1.2 8) 

de sorte que l'on tirera enfin: 

4(^) ^i + 2;r, Aj + 2ÏÏ-, A3, . . . , Ag) = Ji(r|A,). (i=i,2 s) 

Ces relations nous confirment, que les fonctions A^ sont périodiques 
par rapport à A, et A,. Alors, d'après la méthode suivie pour la résolution 
des équations (21), on est autorisé de conclure que A^p et J^^ jouissent de 
la même propriété. 

Écrivons maintenant le système différentiel, qui définit les nouvelles 
fonctions. 



76 Qiulio Bisoonciiii. 

Eu dérivant los équutious (22) par rapport à /•, on a: 

d4*^ _cU, , rf(rl,) _ dX, g (r7/i) ^ a J, «W. 

"rfr ~ dr "•" dr ~ rfr "*" ar +**2^/aX <?»• ' <'"'•' "' 

dr "" dr dr ~ dr 3r '^ 2^. a>l, dr ' ^^"'-'^ 

Aux dérivées do A, , X'j on doit substituer leurs valeurs données par 
les équations de (S) et, ensuite, remplacer partout les anciennes par les 
nouvelles variables. 

On trouve ainsi: 

d^ Oi ^{f2)_2r^^zli 

dr ~ ^^B"^ 3r R 2^.^k.^" <'='•' »> 

1 ' 

ä,^=---(^> + >'^iyu 2>"g- V-- E Ç,it"- ^^-'^^ 

Le système transforme du système (S) peut s'écrire par conséquent 

dif , ' 



(24) 



dr 



/li et /y^ sont évidemment des fonctions régulières des arguments r , Åf\ Uj 
dans le domaine de r = o et périodiques par rapport à Åf\ Å^o\ 

Il faut ajouter encore une remarque. Pour intégrer le système (S) 
on peut d'abord intégrer les équations (24) et substituer, ensuite, à la place 
de Xf^ et Uj dans les (21) les intégrales trouvées. Si, parmi les solutions 
de (S), nous voulons celles, qui pour ?• = o fournissent X[ = o, Å^ = o, il 
suffit, d'après (21), de déterminer les intégrales de (24), qui satisfont aux 
deux conditions h^{o) = o^ w^(o) = o. En particulier, si l'on veut les inté- 
grales de (S) holomorphes dans le domaine de 7' = o, il faut déterminer 
de toiles intégrales de (24), en vertu desquelles les relations (21) coïncident 
avec les (20) identiquement, c'est-à-dire pour quelque valeur de r que ce 
soit. Mais cette identité a lieu seulement, si, pour toute valeur de r, 
^(®> = const. , Uj = o, par conséquent on conclut que 

(25) Åf^ = const. , Uj = o 



Sur le.prohleniß deH trois corps. 77 

constituent un système d'int^fTfnilcs piu'tioulière.s dos (24). Si nous rem- 
placions dans CCS équations les fonctions inconnues par les valeui*s (25), 
nous trouvons: 

{Ai) = O, r{Bj) = O, (i=I,2 8;>-1.2) 

ayant designé par les symboles (/!,) , (//,) les fonctions Ai , Hj aprt» cette 
substitution. 

Pour que ces dt)ux conditions soient vérifiées quel que soit r, il faut 
et il suffit que l'on ait: 

Ai = U^A^i^^ + tl2Af\ (<-=!, 2 8) 

Bj=u,Df^+u,Bf\ u=i.2) 

Le système (24) s'écrira donc enfin: 



(^) 



d 



f 



= u, A'i''> + UiAf\ (•='.« 8) 



r^ = ^4Uj-\- r(M, Bf^ + u.Bf). (>-■.« 



Il est aisé de se convaincre, que les fonctions A'i^\ Af\ Bf\ Bf sont 
elles mêmes régulières pour r assez petite et périodiques par rapports 
aux A| y A2 • 

D'après la remarque faite tout à l'heure à propos de la relation entre 
les solutions de (S), telles que ^î(o) = ^2(0) = o, et les intégrales de (^), 
qui peuvent les engendrer, il est évident, que notre théorème sera dé- 
montré, si nous prouverons que le système {!) ne peut pas avoir des solu- 
tions réelles, qui pour r = o fournissent u^ = o, u^ = o. 

Plus précisément il faudra prouver, que, si cela se vérifie, w, et u^ 
doivent s'annuler identiquement, c'est-à-dire, que nous devons retrouver les 
solutions holomorphes de (S). 

Puisque les fonctions B^j\ Bf^ sont régulières dans le domaine des valeurs 
u^'=u^ = r =^ Oy nous pourrons déterminer un nombre positif s, tel que pour 

elles soient développables en séries de puissances de u^ , m, , r. 



78 Giulio BîsoonciDi. 

En particulier on pourra écrire: 



(26) Uf = bf + ^,b'f\u. + T..,hf.,u.u, + . . . (M=M) 



En substituant ces valeurs dans les deux équations du second groupe 
de (2') on obtient: 

r ^-^ = — 4Uj + r Z;k{%&r + 2}. 0=1.2) 

Le symbole n remplace, comme d*habitude, Tensemble des termes 
de w***"® ordre par rapport aux tij. 

En multipliant les deux membres de ces équations par Uj, et en 
ajoutant, on a: 

Et, en posant 

U'^ = u] + ul, 

nous pouvons écrire enfin: 

(27) l^^~'^^' + ryTj.bJUjU, + 3| . 

Supposons maintenant que les fonctions Uj ne soient pas, au voisinage 
de r = o, identiquement nulles. Il y aura alors des valeurs Tq, aussi petites 
que Ton veut, pour lesquelles: 

Par hypothèse les fonctions Uj tendent vers zéro en même temps que r. 
Nous pourrons donc choisir une valeur r^, telle que u^,ii.^ soient régulières 
dans rintervalle (o, r^), et en outre les développements (26) soient valables. 
Il va sans dire, que Ton doit excepter au plus la limite inférieure de cet 
intervîiUe. 

Puisque la fonction U est régulière pour r > o, et elle ne s'annule 
pas pour r = ro, on pourra déterminer une valeur r'<ro, telle que dans 
rintei'valle (r', r^) on ait toujours Z7 4= o. Pour toute valeur de r, h l'in- 



Sur le problème des trois corps. 79 

torieur de cet intervalle, on pourra déduire de Tequation (27): 



8l 



rflog f/* = - Srflogr + 2 Ç.^ftf)'!;^* + -* 



dr 



ou bieu: 



d\ogUr' = 



Z^.i. > TP ^ m 



dr. 



Les fonctions bf^ sont régulières pour toutes valeurs finies de leurs 
argument«, et pour r suffisamment petite. On a de la sorte, que la fonc- 
tion, qui multiplie dr dans l'équation précédente, est intégrable dans notre 
intervalle. On pourra tirer donc la relation: 

Comme dans Tintervalle d'intégration wj + w^ > o, il sera justifié 
de poser 

n^ = r7cosû>, Wj, = Ï7since>. 

L'égalité ])récédente pourra donc être écrite: 

» 

ïog w^' = fW^coii'o) + (6f^+ ôî;>)sinû>cosa> + lepsin' w+ Ug[r, U, Mr, 

où g dénote une fonction régulière dans le domaine des valeurs considérées. 
Dans le second membre de notre égalité il y a donc une fonction, qui reste 
finie dans ce domaine. Le premier membre, au contraire, tend vers Tinfini, 
si r, en décroissant, passe par une valeur qui annule ?/; en particulier si 
r tend vers zéro. C*est là une contradiction évidente, qui nous prouve 
l'exactitude de notre théorème. 

Nous voulons établir maintenant, que: 

Dam foute solutimi de (S), hohmiorphe on non, on doit avoir lim/' 
= lim A.^ = o.^ 



/ ^ 



/ = ^ 



' V. la reniarqiio faite au § 4, 11° 2 



80 Giulio Bisconcini. 

La (lomonstratiou est identique pour toutes les deux fonctions. Nous 
nous bornerons donc à la donner seulement pour^J. Considérons parmi les 
équations de (S): 



qui peut s écrire 



r^§+^r%^2r% 



OU bien: 



ä-r^r X,) = r^ ^^ 



Ijc ra])port J^ * reste fini pour des valeurs de r suffisamment près 

de zéro et j)Our des valeurs finies des autres variables. Pour s'en con- 
vaincre, il suffit de ce rappeler que ß^ reste finie (v. ^ 4, n° 2) et R ne 
peut pas s'annuler (v. i^ 2, n° i, lemme 1). En choisissant une valeur r^ 

2r*y? 
assez petite, pour que la fonction p * soit intégrable entre r^ et o, on 

tirera de l'égalité précédente: 






»•p 



Mais le produit r*^î s'annule pour r = o, car la fonction 



r' 



,(.,...;=;f4=|) 



reste finie (v. § 2, n° i, lemme I); par conséquent nous j)<)urrons écrire: 



»0 





ou nu'^'me 



'.;o-.)=/"(/)'^f,M 



Sur lo problème des trois corps. 8 i 

Si nous remarquons que dans tout l'intervalle d'intégration -^i, et 

que de la sorte la fonction à intégrer reste toujours finie, nous déduisons, 
que le second membre est une fonction régulière de la Ùmite supérieure. 
Si cette limite tend vers zéro, le premier membre y tendra donc lui même. 

Voilà ce que nous devions prouver. 

En réunissant les résultats de ce théorème et ceux du précédent, nous 
pouvons énoncer la propriété: 

Dans le damaine de r = o le système (S) ne peut admettre que des 
solutions holomorphes, 

m. Correspondence univoque entre les trajectoires de choc et les inté- 
grales holomorphes dans le voisinage de r = o. — Arrivés à ce point il est 
naturel de se demander, si chacune de ces oo® solutions correspond à 
un choc. 

En d'autres mots nous pouvons nous proposer la question: Pourvu 
que le mouvement ait lieu le long d'une des trajectoires (S), y aura-t-il 
une valeur t^ du temps, telle que limr="0? Voici la réponse. 

Nous avons déjà observé, que, après avoir intégré le système (S) 
(ou même (i^^)), on peut avoir la loi du mouvement en intégrant l'équation: 

dt dH. 

= I : 



dp, ' ^P, ' 

dont le second membre doit être exprimé par les intégrales trouvées. Cette 
équation (en rappelant que -jy = P^ = et dp^ = 2rdr) équivaut à: 

dt=^ =- dr. 

D'après le comportement de B, dans le domaine de r = o, on tire que 

^ est une fonction intégrable dans un intervalle (o , r) suffisamment 

petit. On pourra donc écrire: 

r 

(28) t,-t=f'-Çdr, 


Acta mathematiea. 30. Imprimé le 22 septembre 1905. 21 



82 Giulio Biflconcinî. 

t^ étant la valeur de t correspondente à r ^= o. Puisque le second membre 
est fini, nous pouvons répondre affirmativement à la demande, que nous 
nous étions faite. 

Les résultats, que nous avons obtenus, peuvent être résumés par le 
théorème : 

Toutes et seulement les solutions du système (S), qui sont holomorphes 
pour r =■ o, correspondent aux trajectoires le long desquelles a lieu, au bout 
dû un temps fini, un choc entre les deux points P^ P, . 

IV. Chocs 2)assés et chocs futurs, — Jusqu'ici nous n avons jamais 
fait aucune distinction entre les chocs qui peuvent arriver et ceux qui ont 
eu déjà lieu. Ce dernier pas peut être fait en considérant Téquation (28). 

Elle nous dit, que, puisque le facteur dr est toujours négatif, le signe 
de dt est le même que cehii de R, Mais nous avons vu que: 

(29) R = —rP, = ± i/J2(wo + m,) 

+ r'fi,[2['^ + ^•) -MpI + ql + r^-r\»[^ + jri'sin^*, 

(v. § 4, n° 2), par conséquent le système (S) nous fournit des trajectoires 
correspondantes aux chocs futurs ou passés, selon que nous prenons le 
radical avec le signé + ou — . 



§ 6. Conditions de choc. 

I. Déterminations de ces conditions. — Pour accomplir la récherche, que 
nous avons entreprise nous nous proposons maintenant de caractériser les 
conditions de choc. C'est-à-dire que nous voulons chercher des équations 
auxquelles doivent satisfaire les valeurs initiales des variables, dont dépend 
le mouvement des trois points (ou, si Ton veut, le mouvement relatif de 
deux entre eux), pour qu'à partir de ces valeurs il y ait un choc au bout 
d'un temps fini. 

Nous avons vu que, pour avoir toutes les trajectoires singulières, il 
faut remplacer par des valeurs arbitraires les constantes d'intégration, qui 
entrent dans les équations (20). On a de la sorte, que les relations 
cherchées s'obtiendront en éliminant les paramètres arbitraires entre les 



Sur le proUème des trois corps. 83 

équations susdites.^ Il a été déjà montré, dans le paragraphe précédent, 
que cette opération est possible. Pour Teffectuer il suffit de se rappeler, 
que le second groupe des équations (22) a été obtenu par rélimination 
des paramètres X^l*^ entre les équations (21). Mais, comme celles-ci coïncident 
avec les (20), pourvu que Ton pose w, = u.^ = o, on atteindra le résultat 
que Ton cherche, en posant tij == o, u^ = o dans le deuxième groupe des 
(22). On trouve ainsi: 

(30) à; — r7^^\r , ^1 , ^2 , . . . , ^) = o. 0-1,2) 

Nous avons déjà remarqué que ces relations peuvent nous représenter 
les conditions de choc entre deux autres points de notre système, pourvu 
que la signification des lettres soit changée cycliquement. 

En indiquant tout court par u^i\ u^p les premiers membres de (30), 
nous pouvons donc conclure que deux relations du type: 

sont caractéristiques pour le choc entre deux quelconques de nos points. 
Si, au contraire, les conditions initiales vérifient l'une ou Tautre des in- 
égalités: 

nous pourrons être sui-s que le mouvement se poursuivra régulièrement.' 



* Nous pouvons même dire, en empoyant un language géométrique, que les équa- 
tions (20) définissent dans l'espace à dix dimentions un hyperspace à huit dimentions, 
dont les équations s'obtiennent en éliminant les paramétres Xf\ 

' Je ne crois pas inutile à ce propos de rappeler que nous sommes arrivés aux 
conditions mI*^=0, «4*^=0 (qui caractérisent un choc P^PJ en admettant: P limP^P^^O^ 

11° dans le voisinage de t^ la limite inférieure de P^P, ne soit pas nulle, 111° ö^ et y>, 
tendent vers des valeurs déterminées et finies. 

Si les deux conditions trouvées sont vérifiées par les conditions initiales il y aura, 
au bout du temps /,, un choc P^,P^ q.ui vérifiera les trois hypothèses. S'il n'est pas en 
même temps wî*^ = G, u[^^ = G, nous pouvons affirmer, que Tune ou l'autre des hypo- 
thèses faites n'aura pas lieu. Nous pouvons évidemment admettre que la 11° soit toujours 
vraie, car nous étudions seulement les chocs de deux corps, mais non ceux de tous les 
trois. Si la P n*est pas satisfaite, le mouvement, d'après le théorème de M. Pain levé 
n'a pas de singularités. Mais il n'est pas exclu que seulement la IIP ne soit pas vérifiée. 
Ce choc exceptionel, qui n'a aucun point de repère dans l'intuition, n'est pas compris 
dans les conditions u[^^ = G, u[^^ = o, et il échappe effectivement à notre discussion. 
Voilà ce que nous voulions mettre en évidence. 



84 Giulio Bisconoini. 

H ne faut pas cependant se tromper sur la portée de ce résultat. 
Nous ne pouvons pas assurer la régularité indéfinie du mouvement, mais 
seulement la régularité jusqu'à une valeur V du temps pas trop éloignée de 
rinstant initial, car la biunivocité entre les trajectoires de choc et les so- 
lutions holomorphes du système (S) a été démontrée seulement pour r 
suffisamment petit. Si les conditions du mouvement pour t^=^i! sont telles 
que les inégalités précédentes soient encore vérifiées, le mouvement sera 
encore régulier pendant un autre intervalle (<',<")> ^* ^^^^ ^® suite. 

II. Comportement analytique des deux conditions trouvées au voisinage 
d'un choc, — Ayant égard aux équations différentielles les premiers membres 
des égalités (30) peuvent se développer en séries de puissances de r. Nous 
verrons tout à Theure que les coefficients de ces séries pourront être dé- 
terminés de proche en proche par de simples opérations en termes finis 
et differentiations. 

Il faudra que nous établissions à ce but des équations différentielles, 
auxquelles doivent satisfaire les fonctions 3y\ Les relations (30) sont 
valables pour toute valeur de r, tant que Ton reste sur une trajectoire 
singulière. Si nous dérivons ces équations par rapport à r et nous rem- 
plaçons les dérivées de Aj , }!j par leurs expressions (S), nous parviendrons 
à des relations, qui seront valables identiquement, pourvu que nous ayons 
égard aux équations (30) mêmes. Nous aurons donc, en remplaçant en outre 
le symbole A^p par 2^: 

d)!j d(rFj) A dFjdXi ,. , 

dr dr ^^ dXi dr ' 

ou même, d'après (S): 

^j . 2 Ä dFj ET , 2r' v^ dFj 

et enfin, en vertu de (30): 

Substituons maintenant à la place des fonctions Aj (qui entrent dans 
les expressions de a^, ßjy R) leurs valeurs rFj. Les seconds membres de (31) 

dFj 

pourront alors être envisagés comme des fonctions des produits rFj , r —y . 

On tire de la sorte deux équations simultanées aux dérivées partielles, qui 
sont à même de nous donner les coefficients des séries que Ton cherche. 



0-1.3) 



Sur le problème des trois corps. 85 

Posons à ce but 



(32) F, = i:^/î->r-. 

Les équations (31) s'écriront donc: 



0-1. «) 



"• 



r, .i, ; r^Z-j-V^^^^ J^^^^T^^M- 



o-i,«) 



Dérivons maintenant les deux membres n fois par rapport a r et posons 
ensuite r = o. Il est aisé de voir, que dans les premiers membres il nous 
reste seulement les deux coefficients f^^\ f^^^ multipliés par (5 +^)|^, tandis 
que dans les seconds membres nous aurons des fonctions des coefficients 
ff\ • • • ) /^"~^^ 6* de leurs dérivées par rapport aux X^. 

Une couple quelconque de coefficients des mêmes puissances de r dans 
les séries (32) pourra donc être déterminée lorsque les coefficients des puis- 
sances inférieures soient connus. Les deux premiers f^i\f^^^ se tirent des 
équations (31) (combinées avec les (32)) en posant r = o, par conséquent 
tous les autres s'obtiendront de proche en proche. 

III. Développement approximatif suivant les puissances de r, — Main- 
tenant que nous avons démontré la possibilité d'effectuer ces développe- 
ments, nous donnerons, pour les réaliser, une méthode, qui est essentielle- 
ment différente de celle, que nous avons indiquée tout à l'heure, mais qui 
est bien plus commode. Nous développerons les deux membres de (31) 
en séries de puissances et nous égalerons ensuite les coefficients des mêmes 
puissances. Il nous convient d'abord de remarquer que les seconds mem- 
bres sont multipliés par le facteur r' et que par conséquent les coeffi- 
cients ff^^ f^^\ f^i\ f^^^ des Fj' seront nuls. Il sera donc permis de partir 
des développements: 

(33) i^^ = r»2;„û>(^V"'. Ü-1.») 

Les premiers membres des égalités (31) deviennent: 

00 

= r'r„(7+m)û>(7'r"', 



86 



Giiilio Bisconciui. 



et les égalités mêmes pourront être remplacées par les: 



as 



(34) 



2:„(7 + m)wff' = _ y9. + r'£. 



(») 



V '^ar^ 



\3_ 



i 



0=1.») 



Il faut maintenant que nous nous procurions les éléments, qui nous sont 
nécessaires pour les développements des seconds membres. 
En vertu des positions (8) et (15) nous pouvons écrire: 



Par conséquent: 



~Å 



p\ 



.(2V,-r')} 



= -!i— irzV. — r*)! •=-!i+r'^'+r 



■/ 



pi 



2p 



=^ + 6 






2p\ 



Le symbole n remplace l'ensemble des termes de »t'*"" ordre par 
rapport à r. 

L'expression (29) de R peut s'écrire aussi: 



i2= ± 



K + »».) + r\ [2{h + ^' + '^) -MpI + îÎ + ri)] 



-rW + fl'sin'é»,)}'. 
Par conséquent, ayant égard aux relations (30) et au développement de 



— , nous aurons: 



jR = + j 2 {m^ + w,) + 2fiiAh + 



(m, + m,)m^ 






ou même: 



E 



± V2 («C+ ^7) { • + i;^ [a + ^-^^^ 



On tire par suite: 



I 
R 



± v2(Wo + m 



=^{ • -i^P' + ^I!l^>^-f,,iiP, + q] + ri)] + 4I 



Sur le problème des trois corps. 



87 



D'après les positions (19) nous avons: 



/5.= 



— r'Fl 



siu 2ä, 



\ Pi 



2p\ 



9V, 






ou bien, en vertu de (33): 



•>'"' 



m, 9 



2^9; 8*. ^ 2/>îa#/5Vi 3V,/),ji-4. 



D'une manière analogie: 



Z^« sin'*, I 2/>; 3p, 
a, = r'F, = 4, 



a, = r'^F^ = 4, 



^'^îr/5VÎ-3V.^Î)+4}, 



o. = 



= j;^ { + n/2K + »».) sin *, COS f?, + m, /i, /£,i). 



-.-.W2( 



m. 



+ r -^ 



2m 






2m^m^ L Pt J 



^« == ;;r;r! + \/2K + m,)cosi9, + rm^/i,fi,r^ 



^ .« v'^c 



+ r 



m. 



2m 



±^.1 Fä + ("*» + "■>"' + ;i,(^J + g| + r^)l cosé.. + 4I 

,Wj L /?, J ) 



«6 = 



a, = 



p% \ 



r^Wjm,(sin*, 



cosfT, — zx. 



V. 



rO + *l. 



r'WjW.^sin^, sinf, "^ 3y, -r j + 4 



= Jj K + wjw,^, — r'w,m,( 



cos tf , — iz 



■^')+*l- 



88 



Giulio Bisconcini. 



D'après les positions (34), en faisant J = i et en substituant les dé^ 
veloppements trouvés, nous avons alors: 



00 



s« (7 + «j)««!'"^»- = 



-w 



m, + OT, 



(I— r'^+ 4) 



{-aS-'-»-'Si(5VÎ-3V.^?)+4Î 



\ 2p\ a*, 2,oja*i 



/ 



+ 






\ 



+ r^y/2(m^ + m,)^8in*j cosf>, + 4) 



+ ( L^"^^ y(+ V^^K + w,)sini9, sinfPj + rm^fi,fi,q, 



( 



+ V 







9z, ) 



+ r*y'2(m, + TO,)-4sin*, sinjp, + 4) 



(+ v/2K '+ m,) cos*, + rm^fiji^r.^ 



+ rV2K + »n,)^cos*, + 4) 



+ 






(w, + »»i)OT,a;, 



— r'WjWJ sin*, cosjp, — 3^j —r) + 4: j 



+ 



(Ç/^'»-")(K+»«.)«»,y, 



— r'm,wJsin»9, sinj?, — iV^-^j "^ *) 



+ 



(?^^"^-)(' 



w, + »i,)w,^r, 



— r'w,m, ^cos*, — 3^, ^') + 4 j 



Sur le problème des troia corps. 



89 



on nous avons pose: 



v4 = 



2m„m, 



// + 



(m„ + w.^m. 



- f^ÅPl + <ll + rl)^ 



En ordonnant selon les puissances croissantes de r, il viendra: 



oo 



▼ m. 



2 






t 

9 

"271 3*7 + ' \ 2p\'ü, ^ ~ 2p\^, (5 V, — 3V,/>,) 



^ (0) 



_ \l2im. -I- w,^ /a^t^i . n 1 —1 • o • I 

' ^ - ( — sin ?9, cos ^1 + ~ sm ö, sin jr 1 + 



«»o/^, 



3y. 






+ 






(w, + w,)m, 



+ 



V 2(w^ 4- w,) /ari;, 



Oi l 



/ aûi\^ , aû>r , 
/a,«?' . „ , a«V^ . „ . , 9«.?^ „\ 

I sm fl, cos (T, + sm ö. sm c*. + - - cos i9, J 

\ aa;, ^y, ^* aa, ■ */ 



arf 



+ 4 



En égalant les coefficients des mêmes puissances de /*, nous parviendrons 



aux égalités: 



<«r 



ûiV 



(Of 



-w 



= o. 



2^ 3»"jL^J 

m,, + r?jj i4/>.^ a<y, 



f 3 






"r.A-(5VÎ-3V,^,) 



2/?î a*, 



V/'2(wï, + m,)/awi 

-r 

7W 



COS cTi + - — sm tf, smçf, H cos ö 

^ 3//, ^ a«. 



o>f 



+ 



foV/ 



ti/^ + w 



'0/'. \ a«. 



.(0) 



.)!■ 



+ 



(m^ + w,)m, / aû/i 



(0) 



/^î 



- rr 



I ^^''l I 



ao^i^M 



^ a/>, ' ^^ ag, ' "^ ar 






Acta fnathematica. 30. Imprimé le 27 septembre 1905. 



12 



90 Ginlio Bisoonciiii. 

Si nous remarquons, en vertu des positions (8), que: 

-- — sm V. cos cp, + - — sin #, sin c?, H — cos #, = 

a«, a«, 9i/, ay, "' a«, a;?, 

a*. ^«+ ay. «»+a., *^« " ± 14 V „». + „*. a*. V T» ' />J 

-^ <0) ^ (0) ^ (0) 



où: 



nous aurons enfin: 



^' - + I4;0Î V „,, + m, a*. ' 



ft,V^ - o, 



,«(») = + -' 






(m, + w,)m^ 



a*y, l4mom,/>; \ />, 



m. -^ m.; . ^' 
70(m 



+ m, + m, . , . _» 1 ,.îA ,3 V, 5 VîH 






* Nous avons posé évidemment: 



'^ a«, a«, a», ay, a«, a». 



Snr le probltoie des trios corps. 91 

D'ane manière parfaitement identique on pourrait déduire: 



„,(0) = X 3!»j. J a !Vî 

' l4/>; V m, + m, 9f, 



a»V> = O, 



«,(«) = + _ü^_ i/_j r ^jn^ v?!-^' V ! 



5f, l4»»'oW»i|"! \ />, 



TO„ + m, + m, , , , ï , ^\ ,3 V, 5 Vî n 






^(8) -j- 3(^0 + w^ + m,) ^ 

70(11*0 + w, 



Ayant égard à ces formules nous pouvons conclure que, lorsque P, est 
suffisamment près de P^, les deux équations: 



(35) 






nous fournissent les deux conditions cherchées entre les valeurs initiales 
des variables, dont dépend le mouvement des trois points. Ces équations 
nous permettrons de décider, avec une certitude suffisante, sur la régularité 
du mouvement avant ou après l'instant initial. 

Les équations (30) sont valables, et leurs premiers membres peuvent 
être regardés comme des fonctions anal3rtiques de r, pourvu que celle-ci 
soit assez petite. 

En effet nous ne savons rien par rapport à la grandeur du rayon de 
convergence des séries (32), car nous avons démontré seulement, qu'il nest 
pas nul. A fortiori nous ne pourrons rien conclure, si nous remplaçons 
les conditions (30) par les (35) (qui équivalent à celles-là seulement par 
approximation) si nous ne partons pas d'une position de P^ assez près de P^. 

Home, mai 1904. 



TABLE DES MATIÈRES, 



Préface 



Pag. 

49 



§ 1. Équations du mouvement. 

I. Mouvement des trois corps P^ ^ P^ ^ P^ référé à des axes fixes 51 

II. Transformation de Poincaré 51 

III. Kem placement des composantes de la vitesse absolue de P^ par les composantes 

de sa vitesse relative 53 

IV. Forme semi-canonique polaire pour les équations du premier groupe 54 



v; 9 



Quelques conséquences que Ton tire des équations du mouvement 



dans rhypothèse: lim P^P^ -^ o. 

I. Comportement de la vitesse absolue de P, 57 

II. Comportement de la vitesse relative de P^ 58 

i^ 3. Changfement de la variable indépendente. 

I. Remplacement de / yar p^ == '"^o '^i ^^*^* 

II. Remarques générales à l'égard des équations obtenues 05 

i^ 4. Forme définitive des équations. 

I. Nouvelle transformation de variables 65 

II. Comportement des seconds membres des équations {S) au voisinage d'une po- 
sition de choc 70 

i< 5. Intégrales qui correspondent aux trajectoires singulières. 

1. Théorème d'existence 71 

II. Toutes les solutions du système (S) sont holomorphes 73 

III. Correspondence univoquo entre les trajectoires de choc et les intégrales holo- 

morphes dans le voisinage de r = O 81 

IV. Chocs passés et chocs futurs 82 

§ (). Conditions de choc. 

I. Détermination de ces conditions 82 

II. C'Om portement analytique des deux conditions trouvées au voisinage d'un choc 84 
111. Développement approximatif suivant les puissances de r 85 



93 



EINE AUF UNENDLICHE PRODUKTE SICH BEZIEHENDE 

FEHLERABSCHÀTZUNGSREGEL 

VON 

W. FR. MEYER 

in KÖNIGSBERG i/P. 

(Auszug eines Briefes an den Herausgeber.) 

Ich gestatte mir, Ihnen eine allgemeinere, sich auf unendliche Pro- 
dukte beziehende Fehlerabschätzungsregel mitzuteilen. 

Ich schicke einen einfachen Hülfssatz über natürliche Logarithmen 
voraus. Sei g eine reelle positive Grösse, und es sei bekannt, dass | lg | un- 
terhalb der positiven Grösse y liege, so soll der Unterschied zwischen g 
und I nach einer für positive und negative Werte von g — i gemeinsamen 
Kegel abgeschätzt werden. 

Ist erstens g> ly so hat man nach Voraussetzung: 

also : 

(2) g—i <é'—i, 

oder, wenn man é^ in die Exponentialreihe entwickelt und hinter dem 
zweiten Gliede abbricht — so dass ^ < 2 vorauszusetzen ist — 

(3) ff-^< ' -■ 

I — - 

2 

Ist zweitens ^< i, so wird nach Voraussetzung: 

(!') \lg\ = ll<r, l<é^, i-^Ke^-^i, ,—g<gi^-iy ■ 

p j y 

Acta mathâmatiea. 80. Imprimé le 27 septembre 1905. 



94 W. Fr. Meyer, 

also, da ^< I, a fortiori: 

(2') ,_^<gr_I, 

und, um so mehr, wie oben: 

(3') »-,9<-^- 

2 

Demnach liefert die Zusammenfassung von (2), (2'); (3), (3') den fraglichen 
Hülfssatz : 

y Ist g reell und positiv, \lff\<}', o < yK 2^ so ist, gleichgültig ob g^i: 



(I) j^_,|<e>'_,<_X_ 



» 



I - 

2 



Sei jetzt ein unendliches konvergentes Produkt vorgelegt: 

(4) //=(!+ ^^)(l + V,) . . . (l + i^v) . . . (l + ^Vfp-l) • . • , 

WO die V beliebig positiv und negativ seien; \v^\ sei mit u^ bezeichnet, 
und von n > v an sei u^< i. 

Man betrachte zuvörderst den einfacheren Fall, wo // absolut (und 
damit unbedingt) konvergiert, wo also die Reihe der u konvergiert. 

Es soll der -Fehler > des Produktes Fl abgeschätzt werden, wenn man 
hinter dem v**" Faktor i + t^^-i abbricht, d. i. die Differenz P^^^ — i, wo 
P^^p das Bestprodukt bedeutet: 

(5) i\p = (l + l\){\ + tWi) . . . (l + ^V+p-i). 

Nach dem Mittelwertsatze wird: 

Ist v„ positiv, so hat man l{i + i?J < 75,,(= wj. Ist ?'„ negativ = — w^, 
so hat man \l{\ + v^\< — . Mithin ist in beiden Fällen: 

I Um 



(6) H('+^.)l<r^ («>»•). 



Eine auf nnendliche Produkt« sieb beciebende FehlerabschätzungBregel. 95 

odef, da mit Rücksicht auf limw^ = o alle u^ {n>^v) unterhalb einer ge- 
wissen Grenze u liegen: 

(7) l^(^+^-)l<r^„' 

folglich : 

(8) K^^p|<l-zr;,(^v + w.+i + . . . + «w.p-i). 

Die Klammer rechterhand ist der Rest B^j, der w-Reihe; da die Reihe der 
u konvergiert, so bleibt aucl\ B^ p unter einer gewissen, von p unabhängigen 
Grenze B^ (die mit wachsendem y gegen Null konvergiert). Damit geht 

(8) über in: 

(9) |/P,,|<^^iî.. 

Wendet man hierauf den Hülfssatz (I) an, so hat man für die gesuchte 
Fehlerabschätzung : 



(n-) |p^^^_,|<ei-. '_,< 



*» I M 



I . /»v 

2 I — Il 



Nunmehr gehe man zu dem Falle über, wo das Produkt Fl (gegen einen 
endlichen, von Null verschiedenen Grenzwert) bedingt konvergiert, wo also 
auch die Reihe der v nur bedingt, und zugleich die Reihe der v^ kon- 
vergiert. Der einmal erweiterte Mittelwertsatz liefert: 

somit : 

WO 

der Rest der t;-Reihe bedeutet. 

Wegen lim B^^ = o Vasst sich bei gegebenem n = v eine feste obere 

(positive) Grenze p^ angeben, sodass \B^j,\ für jedes p unterhalb p^ bleibt. 



96 W. Fr. Meyer. 

Mit Eücksicht auf liin?\, ^o bleibt wiederum von |?\| = ?/^ ab u„<u. 
Damit geht aus (lo) die Ungleichung hervor: 

n = v + p— 1 

Da aber Sv^ konvergiert, so bleibt auch S vi bei gegebenem p und be- 

n- V 

liebigem j> unterhalb einer festen oberen Grenze V^. Mit Rücksicht auf (l) 
liefert demnach (ii) die r/esnchte Fehlerabschätzum/: 

^ ^ V 

2^ 4 (I — «)* 

Auf Grund der Formeln (IP), (IF) ist die Fehlerabschätzung für unend- 
liche konvergente Produkte erledigt. 



Die in meinem letzten Schreiben mitgeteilten Fehlerabschätzungsregeln 
für unendliche Produkte lassen sich auf das komplexe Gebiet übertragen. 
Was zuvördei-st den Hülfssatz (I) für den natürlichen Logarithmus an- 
geht, so sei jetzt F eine komplexe Grösse = i -j- /^, , | Pj < i , und 



\W\<r (r reell, > o). 



Dann wird 



I 



I <e^ — i < -- -t 

r 

2 



eM_,=|/P| + l|/P|« + ..., 



r=^"'_ i=/P+l(/P)' + ..., 



somit: 



|/>_ ,|<,.l"'l_i <e'^_ r. 



Eine auf UDendliche Produkte sich beziehende Fehlerabschätzungsregel. 97 

Der auf tomplexe Grössen ausgedehnte Hülfssatz (I) lautet demnach; 

»Bedeutet F eine komplexe Grösse = i 4- P^, |P, | < r, so folgt aus 
der Voraussetzung |/P.|<^, dass: 

(!') |p_,|<e'-_i<-J_.. 

2 

Es sei jetzt "äias unendliche' Produkt'/? vorgetegt: - > \) 

(l) •/7=(l +V,)(l +Î?,). ••(!+«'.)•• -(l.+ V.+p-O.-r, 

wo die Vi komplexe Grössen seien, deren absolute Beträge u^K i voraus- 
gesetzt werden. * 

Es werde gleich der allgemeine Fall in Betracht gezogen (cf. A. PriniGS- 
HEiM, Math. Annalen, XXII, (1883), p. 480) dass die Reihen der v, 
1;', . . . , v""^ (^^0 bedingt konvergieren, dagegen die Eeihe der v^ un- 
bedingt. 

Bedient man sich also der Bezeichnungen : 

f jB^,fp = -yj + ^î+i + • • . + ^v*+p-i , (*-i.2,....«-i) 

1^,,^ = w? + <+i + . . . + <+p-l, 

so wird V so gross vorausgesetzt, dass die absoluten Werte der J?ifp nebst 
jB^ p bereits unter gewisse Grenzen p^^^ , F^ heruntergedrückt seien, die mit 
wachsendem v beliebig klein werden: 

(3) WA<p'i\ i?.p<F.. 

Von ti^ an seien alle u^Ku^ wo auch u mit wachsendem m beliebig klein 
wird. 

Dann gilt: 

(4) /(i+*0 = ^'.— 7 + y---- + (-0",-^ + ^^^ 

und damit für das Restprodukt P^,,: 



I— 1> 



2 






Acta mathematiea. 30. Imprimé le 6 octobre 1905. 13 



98 W. Fr. Meyer. 

Nach dem CAUCHv'schen Konvergenzkriteriuin für die logarithmische 
Keihe ist aber: 



(6) 



t=>v-|-p— l 



t—v 



I Ui I Ui 

n I — Ui n I — u 



somit folgt für den absoluten Wert von IP^^p gemäss (3): 

I K 



(7) \lP.À<P''' + lp''' + \p'^ + -' + ^,Pr^^ 



n I — u 



Bezeichnet man die rechte Seite dieser Ungleichung mit ^, (die für limw = oo 
den Grenzwert Null hat) so entsteht auf Grund von (I') die geumnschte 
Fehler abschätzungsregd: ^ 

(n) |P,.,-i|<e''-i<^. 

I — - 

2 

Für n = I tritt der einfachste Fall ein, dass das Produkt /7 unbedingt 
konvergiert. 



* Im Falle reeller r, n = 2, ist die Regel noch etwas schärfer, als die im ersten 

I 1 

Schreiben angegebene, da < 



u (l — vy 



Inliallsverzelcliiiiss. Table (Is; malleres. 



Biicd:«-im. tiivui), Snr le probldcnu de» trois eorpt 
Munit, W- Vu., Kiue aof aii^adlicbe Pnidobtd jiiuli Iv > 



ACTA MATHEMATICA 



AKlisiHRIH 



•iOlRNAI. 



a Mri'TAO-LBP'PLER 



m.i 



BJûltLIN in». 

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09 



RECHERCHE SUR LES CHAMPS DE FORCE HYDRODYNAMIQUES 



PAS 

V. BJERKNES 

à STOCKHOLM. 



I. Introduction, 

1. Les recherches théoriques et expérimentales de C. A. Bjerknes 
ont fait ressortir une analogie profonde entre certains phénomènes hydro- 
dynamiques et les phénomènes électriques ou magnétiques. ^ Mais cette 
analogie nest démontrée jusqu'ici que dans une étendue très limitée. Car 
les développements théoriques se restreignent au cas spécial, où les corps, 
qui produisent les champs, affectent la forme sphérique. 

Je me propose de développer ici la théorie sans aucune restriction 
de cette nature. 

2. Pour y arriver, j'ai changé légèrement la manière de poser le 
problème. Au lieu de considérer le mouvement de corps rigides, ou de 
corps solides élastiques, je considère le mouvement de corps fluides dans 
le fluide. 

Une modification de ce genre est nécessaire au point de vue physique. 
Car si, dans le problème des sphères, on pousse les approximations au delà 
d'une certaine limite, on rencontre un défaut dans l'analogie.' Ce défaut 
est la conséquence évidente de la rigidité que possèdent les corps de forme 
sphérique. Car la rigidité introduit entre le corps et le fluide ambiant 



* Voir V. Bjerknes: Vorlesungen über hydrodt/namische Fernkräfte nach C. A, Bjerk- 
nes^ Theorie, vol. I et H, Leipzig 19CX5 — 02. 

" 1. c. T. n, p. 175. 

4eta nuUhematiea. 30. Imprimé le 6 octobre 1905, 



100 V. Bjerknes. 

un contraste (jiii n'a rien de correspondant dans la théorie des phénomènes 
électri(iues ou ma<^néti(iues. En effet, (hms hi théorie de ces phénomènes 
on représente à l'aide d*un même système d'équations les champs à 1 in- 
térieur des corps et les chîunps dans le milieu aml)iant, avec cette seule 
différence que dans le milieu extérieur le système d'équations se réduit à 
une forme spécialisée. Je prends donc, dans le problème hydrodynamique, 
un point de départ tout-à-fait analoü^ue; je suppose cpie le mouvement du 
système hydrodynamique est déterminé, dans toute son étendue, par les 
équations les plus générales des fluides parfaits; et je suppose qu'en vertu 
de certaines propriétés spéciales ces équations se simplifient d'une manière 
déterminée dans le fluide qui est extérieur aux corps fluides. 

3. Le problème, étant posé de cett<3 manière, se simjdifie en même 
temps au point de vue mathématique. Car la recherche d'une analogie 
possible se réduit donc évidemjnent à une comparaison directe des équa- 
tions hydrodynamiques avec les équations des champs électriques ou magné- 
tiques. On serait tenté, il est vrai, de conclure de suite qu'une analogie 
générale n'existe pas, les équations hydrodynamiques étant totalement diffé- 
rentes des équations des champs électromagnétiques. Mais cette conclusion 
est trompeuse: on peut en transformant les équations des fluides parfaits 
les ramener à une forme, qui se rapproche singulièrement des équations 
de Maxwell pour le cas de l 'électromagnétisme stationnaire. 

Je suis arrivé à cette transformation en essavant de discuter le mouve- 
ment d'un élément du fluide en m'appuyant sur les mêmes principes qui ont 
permis à C. A. Bjehknes de discuter le mouvement d'un corps sphérique 
dans le fluide. Voici Tidée qui préside à cette discussion. ^ On considère 
le mouvement actuel du fluide comme le résultat de la superposition de 
deux mouvements partiels, appelés dans la terminologie de C. A. JiiEmî- 
NE8, le mouvement induit et le mouvement d*rnergie. C'est le mouvement 
induit qui constitue le cliamp^ proprement dit. Le mouvement d'énergie 
joue un double rôle. D'un côté il correspond à l'état de polarisation in- 
tri)tsrqne des aimants permanents ou des corps à polarisation électrique 
intrinsèque, tels que les cristaux pyroélectriques. D'un autre coté il cor- 
res2)ond au mouvement risible que prennent les corps sous l'action des 



* 1. c. T. I, p. 133—210, T. II, p. 238—274. 



Recherche sur les champs de force hydrodynnmiques. 101 

forces pondéromotricas du champ. Si on passe ensuite au cas où l'ana- 
logie se présente sous la forme la plus complète, c'est à dire au cas des 
mouvements vibratoires, la vitesse d'énergie se divise en deux parties, une 
partie rigoureusement périodique, qui correspond au champ intrinsèque, et 
une partie progressive, qui correspond au mouvement visible. 

C'est en appliquant ces mêmes principes dans des conditions plus 
générales, qu'on arrive à la solution complète du problème des analogies 
entre les champs hydrodynamiques et les champs électriques ou magnétiques. 



n. Hypothèses générales. 

4. Les quantités scalaires ou vectorielles, dont on se sert dans la 
mécanique des milieux continus, peuvent se diviser en deux groupes di- 
stincts, que j'appellerai le groupe cinématique et le groupe dynamique. Les 
quantités du premier groupe dépendent seulement, comme Tindique leur 
nom, des notions de longueur et de temps, celles du second dépendent 
aussi de la notion de densité. J'appellerai correspondantes par rapport aux 
dimensions, ou simplement correspondantes, deux quantités, dont les di- 
mensions sont les mêmes à un facteur près des dimensions de la densité. 

Il est important de faire attention simultanément aux correspondances 
et aux différences que présentent entre elles ces quantités. C'est pourquoi 
je désignerai par les même lettres des quantités correspondantes, mais en 
marquant d'une barre la quantité appartenant au groupe dynamique. 

La correspondance que je définis ainsi n'est pas uniforme au point 
de vue mathématique. A une quantité de l'un des- groupes on peut ad- 
joindre un nombre quelconque de quantités correspondantes qui appartien- 
nent à l'autre groupe. Mais l'intérêt, qui s'attache à la correspondance, 
augmente d'autant plus que se distinguent davantage les quantités corres- 
pondantes par des analogies ou des contrastes caractéristiques dans leurs 
propriétés mathématiques ou physiques. 

Citons un premier exemple de quantités correspondantes. La force 
par unité de masse, ou la force accélératrice, dont je désigne les compo- 
santes par X, Y ^ Z, appartient au groupe cinématique, les dimensions 
étant simplement celles d'une accélération. La force par unité de volume, 



102 V. Bjerknea. 

X,¥,Z, appartient au contraire aa groupe dynamique. Désignant la den- 
sité par q, ou bien le volume spécifique par k, 

(a) k = -, 

les relations entre les composantes de ces deux forces s'écriront 
X=(j'X ou bien X=kX, 

(b) Y^qY Y=k¥, 
Z = qZ Z=kZ. 

Ces quantités correspondantes sont liées par les relations les plus simples 
possibles. Nous rencontrerons plus tard des quantités correspondantes qui 
ont entre elles des relations plus compliquées. 

5. Soient maintenant x,y,z les coordonnées d'un point quelconque 
géométrique, u,v,tf les composantes de la vitesse d'un point physique 
quelconque appartenant au fluide, x, r, Z les composantes de la force par 
unité de volume, qui agit sur ce point fluide, p la pression et k le volume 
spécifique du fluide. Les équations de mouvement du fluide s'écriront alors 





J>1 
3x 


kdt ^ 


3) 




9« 



A ces équations dynamiques il faut ajouter l'équation de continuité, qu'on 
peut écrire sous la forme 

, , i dk du Su 5«! 

Eemarquons que chacun des membres de cette équation représente la vitesse 
d'expansion d'un élément mobile du fluide, rapportée à l'unité de volume 
de cet élément. 



Recherche sur Jes champs de force hydrod}^ a iniques. 103 

On doit se rappeler que dans ces équations la differentiation par râp- 

port au temps j se rapporte aux changements qui s'achèvent au point 

physique mobile. Si Ton veut passer aux changements qui s'achèvent au 
point géométrique immobile, on emploie le développement eulerien 

d d Q d d 

^ ^ ai di dx dy dz 

OÙ ~ se rapporte aux changements qui s'achèvent au point géométrique 
immobile. 



Tir. Transformation fJes équations hydrodynamiques. 

6. Les équations que je viens d'écrire servent à calculer le mouve- 
ment actuel du fluide. Je décomposerai ce mouvement en deux mouve- 
ments partiels, qui se distingueront Tun de l'autre par certaines propriétés 
caractéristiques. 

En écrivant 

(a) V = kv + Vg 

w = kw + ti\ 

je sépare la vitesse actuelle ti^v ^ w en deux vitesses partielles, kû , kv , kw 
et w>,t^,w^^, que j'appellerai plus tard, après les avoir complètement dé- 
terminées, la vitesse induite et la tyitesse d'énergie. J'ai écrit les compo- 
santes de la première sous la forme kü,kv,kw, par ce qu'il est préférable, 
ainsi qu'on le verra par la suite, de représenter le mouvement induit non 
pas par sa vitesse, mais par le vecteur w,ï;,m;, quantité de mouvement 
par unité de volume. J'appellerai ce vecteur ïintensité de champ ^ du 
mouvement induit. 

La vitesse ti ,v ^ îv du mouvement actuel, et l'intensité de champ 
Ü yV , ïv du mouvement induit, sont des quantités, dont la correspondance 
(4) joue pour nous le rôle le plus important. Cette correspondance se 

■ ' ■ ^ ■ I- - I- Il ■ ^—1 ■»,■»■ ■ ■ ^ ^ ■ ■ - — _ ■ — ^^^ I ■ I M.^^^^— ■■■■■■■Il ■■ ■ ■■ ^^^^^ 

* 1. c. I. p. 139. 



104 



V. Bjerknes. 



réduit à une simple proportionalite dans le cas spécial, où la vitesse 
u, , V, , Wg du mouvement énergétique est égale à zéro. 

7. Je considère maintenant le membre de gauche de la première 
équation de mouvement (5, a). La substitution de la valeur de u (6, a) 
donne pour ce membre 

i du I d(îcu) I dut 

kdt " Je ~dr "^ k'df' 

En effectuant la differentiation du premier terme du second membre et 
tenant compte de (5, b) on trouve 



(a) 



I du dû ^^ /du ,^^1^ ^^\ - _i ' 

kdt~dt'^\d^'^diJ^d^)^''^l 



I dVe 
~dt 



Le premier terme du 2*™® membre de cette équation s'écrit en vertu 
du développement eulerien (5, c) 



du dû , dû , dû . dû 

dt dt ^ dx ^ dy^ dz 



on ensuite 



(b) 



dû . dû , dv , dw , (dû dw\ 

dt ^ dJr ^ dx ^ dx ^ \dz dx) 



dû dû 
dt 



Jdv dû 






Dans le trinôme du second membre j'exprime, en vertu de (6, a), la vi- 
tesse actuelle w , ^' , w? à l'aide des deux vitesses partielles. Ce trinôme 
peut donc s'écrire 



dû . dv , dw 1,3/-, , -2 , _2v , dû , dv . du 

dx dx dx 2 dx^ ^ ' ^<». • ' ^'.. • ' ^ ». 



dx 



dx 



dx 



OU bien, si on sépare un terme qui a la forme d'une dérivée par rapport à x 



dû , dv . dw d 



- k{u + t^ + w ) + nu, + m\ + ww,) 



l -dite . -dVe . -dWe , I ,_, , -j , -^^dk 
I aar ' dx ^ dx 2^ ' ' ^'»^ 



dx 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 105 

Si, dans la première parenthèse, on élimine n, , v^ , «v ^ Taide des équations 
(6, a), on obtient 

w h V [- w — = —[ ttn + vv 4- wiv A- (w + v + ?r ) 

a« a« ajr aj; I 2 ' ^ 

I au; * a.c ' a.r ' 2^ ' ' -'aayj 

En introduisant ce développement en (b), et ensuite le développement (b) 
en (a), il vient enfin 

,. \ du aa , a ( _ , _ , _ i /-^ • -3 • -^xl 



+ 



idv. . /au . dv , aw\_ /-a?/^ , _atv , — ^^^A 
k dt ^ \dx ^ a// ^ dz / \ a^ ' a* ' dx J 

i._2 , _2 , -î^aA: /a/7 a/T\ /ar 



arA 

C'est l'expression plus développée du premier membre de la première équa- 
tion de mouvement (5, a). 

8. J'écris donc sous cette forme le membre de gauche de la première 
équation de mouvement (5, a). Je soumets ensuite l'intensité de champ 
û , V , ir à la condition de satisfaire à l'équation 

(a) :;7 = — :r: ! ?^ + ^'^^ + '''^ + ^^^'^ — ö ^'('^^ + ^^ + '^') ! • 



di dz 



V ' ' ^ ' 'ï 



La vitesse u, , i^ » ^^« satisfera donc à l'équation 

r, . idVe — /du . dv , dw\-. , / ^du^, , _ai;^ , _ a^A 

+ -(«' + 1.' + «.')- - «'(- --) + Hr.-a7J- 

Ces deux équations, et les autres qui s'en déduisent par symétrie, 
déterminent les deux mouvements partiels. Et ces deux mouvements ainsi 
déterminés apparaissent comme jouissant de propriétés bien différentes. 

Acta mathemalica. îiO. Imprimé le 7 octobre 1906. 14 



106 V. Bjerknes. 

Les équations (a) du premier mouvement partiel contiennent la pres- 
sion jp. Ce mouvement est donc de nature hydrodynamique proprement 
dite. H existe partout où il y a de la pression variable de point à point. 
Son champ s'étendra donc en général à tout le fluide. C'est le mouvement 
que j'appellerai le mouvement induit. 

Les équations (b) du second mouvement partiel contiennent la force 
extérieure X,Y,Z, et en outre une force fictive d'origine hydrodynamique, 
dont la première composante est 

(c) ï. = - (- + - + -)ü + (ü'-^ +v'-^' + w'-^^ 



'2^ * ' ^dx \dz dxj * \dx dy/ 



Rien n'exige d'ailleurs, que ces forces soient répandues dans tout l'espace. 
Ce mouvement partiel peut donc être un mouvement de nature locale, qui 
n'existe que dans certaines parties limitées du fluide. En conservant la 
terminologie de C. A. Bjerknes j'appellerai ce mouvement partiel le mouve- 
ment d'énergie et la force fictive (c) la force d'énergie hydrodynamique, ^ 

9. Au système des équations originaires, 5, a et b, qui détermine 
le mouvement actuel du fluide, on peut ainsi substituer un système d'équa- 
tions plus développé, qui détermine en même temps le mouvement actuel, 
le mouvement partiel induit et le mouvement partiel énergétique. Voici 
ce système d'équations. 

Le mouvement actuel se détermine en fonction des deux mouvements 
partiels par les équations de connexion 

ti z= kü + u^ 

(A) V = kv -{- V, 

IV = kîv -f Wg 

Les variations dans le temps du mouvement induit se déterminent par les 
équations 



* 1. c. T. I, p. 133— 139- 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 107 

^ = — ^ ji> + «M + î^ + U'iv — ^ä(m' + v' + iv') j 

(B) -- = —i;,\p + ^^^^ + ^'^'' + '^'"^ — 2 *(**' + ^' + ^~^') [ 

^y = — ^ ji> + '^w + w + ww — -^k[û'' + ^' + w)*) } • 

Les variations dans le temps du mouvement d'énergie se déterminent par 
les équations 

I dVe — , — 

I dVe — , -^ 

dans lesquelles la force d'énergie hydrodynamique Xe^ Ye, Ze est donnée 
par les expressions 

, I ._, , _5 , _a. afc /aa aïZ;\ , /av atix 

,^ V — /a't . ay , dw\- , /-a?/« , „ac^ , _au;A 

(C») ^' = - (a-;. + al, + i-.> + (« ay- + ^i^ + '''^) 

\a^ ' ay ' a^ / 'Va«* a« ' a« / 



i^. = — u- 






A ces équations il faut ajouter Téquation de continuité 

i dk du dv dw 



108 V. Bjerknes. 

Pour des raisons qu'on trouvera justifiées par les développements ul- 
térieurs de ce mémoire on peut appeler ce système d'équations la forme 
électroidique des équations hydrodynamiques. 



IV. l>i8cnssion générale. 

lo. On sait que deux quantités dérivées déterminent la nature de la 
distribution dans l'espace d'un vecteur quelconque u^v^w. Ce sont la 
quantité scalaire 

. d'I dV dW 

W ai + % + 97 "" ^' 

qu'on appelle Ja dlvnfjena^ et le vecteur 

dw do , 

dy dz '" ' 

(b) i7 - ai = "»' 

do du 

dX dy ' 

qu'on appelle la rotation (ou bien le curl) du vecteur primaire u^v, w. 

Dans le cas où il existe des surfaces de discontinuité, on rencontre 
comme cas limite de la divergence (a) la différence des composantes nor- 
males du vecteur u ^ v , w de part et d'autre de la surface: c'est la di- 
vergence de surface. De même on rencontre comme cas limite de la rotation 
(b) la différence géométrique des composantes tangentielles de part et d'autre 
de la surface: c'est la rotation de surface (ou bien le glissement) à la sur- 
face de discontinuité. Nous pouvons donner à nos théorèmes en même 
temps une généralité et une simplicité très convenables en prenant les 
notions de divergence et de rotation dans le sens général où elles com- 
prennent la divergence de surface et la rotation de surface. C'est ce que 
nous ferons toujours. 

Si la divergence est nulle, le champ du vecteur s'appelle solenoidal: 
si la rotation est nulle, le champ s'appelle irrotationel ou bien potentiel^ par 
ce que dans ce cas les composantes du vecteur sont les dérivées d'une fonc- 
tion potentielle. 



Recherche sur les champs de foi ce hydrodynamiques. 109 

On peut considérer la divergence et la rotation en quelque sorte 
comme les dérivées d'un champ de vecteur. Si on les connait, on peut, 
par un procédé d'intégration, déterminer le champ du vecteur primaire 
UjV, IV à un champ solenoidal et irrotationel près, qui joue le rôle de 
constante d'intégration. Ce champ possède un potentiel qui satisfait à 
l'équation de Laplace, et qui se détermine à l'aide des conditions aux 
surfaces limites du champ. En d'autres termes, la détermination de ce champ 
revient à la solution du problème de DiRiciiLEr. 

Dans les recherches générales de la mathématique physique on se 
débarrasse ordinairement de la solution de ce problème. On y arrive en 
supposant que le champ s'étend à l'infini, mais qu'il a ses divergences et 
ses rotations dans l'espace fini. Dans ces conditions on peut supposer, sans 
contradiction, que le vecteur disparait à l'infini, et le champ de Laplace 
disparait alors identiquement. Dans ce cas la divergence et la rotation 
déterminent donc uniformément le champ du vecteur primaire. 

Si à cette propriété mathématique s'ajoutent des propriétés physiques 
fondamentales, ces quantités dérivées joueront forcément un grand rôle 
dans la théorie des phénomènes en question, ainsi que le prouvent un 
grand nombre d'exemples de la physique mathématique. Examinons donc 
la divergence et la rotation des deux vecteurs fondamentaux de notre pro- 
blème, c'est à dire de la vitesse actuelle u^v ^ iv et de l'intensité de champ 

II. Quand il s'agit de la vitesse actuelle UyV^w, la divergence e, 
qu'on calcule par l'équation (lo, a), exprime simplement la vitesse d'ex- 
pansion d'un élément mobile du fluide, rapportée à l'unité de volume de 
cet élément. L'équation (a) est ainsi équivalente à l'équation de continuité 
(D), et on est donc amené nécessairement à considérer cette divergence 
comme une des quantités fondamentales de notre problème. La condition 
spéciale 

(a) e = o 

exprime l'incompressibilité de l'élément fluide mobile. Dans la partie du 
fluide où cette condition est satisfaite la distribution de la vitesse actuelle 
est solenoidale. 



no V. Bjerknes. 

La rotation (b) de la vitesse actuelle est la quantité qu'on appelle 
aussi quelque fois le tourbillon. Je préfère l'appeler la densité de tourbillon^ 
et donner le nom de taurbillon à l'intégrale de sa composante normale 
prise sur une surface. C'est le tourbillon ainsi défini qui, d'après les cé- 
lèbres théorèmes de v. Helmholtz, se conserve tout le long d'une surface 
matérielle mobile dans le fluide. Mais dans les conditions que suppose 
notre problème, les hypothèses sur lesquelles repose la démonstration des 
théorèmes de v. Helmholtz ne sont pas en général remplies. Pendant le 
mouvement des tourbillons naissent et disparaissent et le vecteur (b) n'a 
pas de propriétés générales assez simples pour prendre place parmi les 
quantités que nous considérons comme fondamentales. 

Remarquons enfin que les quantités dérivées de la vitesse actuelle, que 
nous venons de considérer, appartiennent à la classe des quantités ciné- 
matiques. Pour les distinguer de quantités analogues, qui se présenteront 
tout à rheure, nous compléterons leur désignation par l'adjonction de 
l'adjectif cinématique, 

12. La divergence de l'intensité de champ 

, . du , dv , dw - 
fa) — H = e 

est la quantité dynamique qui correspond à la vitesse d'expansion cinéma- 
tique e. Elle n'a pas en général de signification ou de propriétés phy- 
siques très simples. Elle ne jouera donc pas de rôle absolument fonda- 
mental, et cependant, en raison des propriétés remarquables de l'intensité 
de champ, elle nous rendra de grands services pour la représentation ana- 
lytique des phénomènes. 

La rotation de l'intensité de champ jouit au contraire d'une propriété 
physique très remarquable. Des deux dernières équations du mouvement 
induit (B) on tire immédiatement 

d /dw dv\ 

On peut y ajouter deux équations analogues, et l'intégration immédiate de 
ces équations donne 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 111 

dw dv - 

,, , dû dïë — 

(h) = m , 



dZ dX 

dv dû 



dX dy 



= n. 



Les composantes de la rotation de l'intensité de champ sont donc des con- 
stantes d'intégration. Et l'opération — se rattachant aux changements qui 

et 

s'achèvent au point géométrique considéré, on voit que le vecteur l^m^n 
possède en chaque point de l'espace une direction et une valeur absolue 
indépendantes du temps. 

Nous appellerons ce vecteur la densité de taurbillon dynamiqtie^ et son 
intégrale de surface le tourbillon dynamique. Cette intégrale de surface est 
naturellement indépendante du temps, comme la densité de tourbillon. Le 
mouvement induit possède donc une propriété extrêmement remarquable que 
l'on peut énoncer ainsi: 

Le mouvement partiel induit est un mouvement à tourbillons dynamiques 
invariables et stationnaires dans Vespace. 

Les quantités ë et J^m^n ont ainsi en général des propriétés bien 
différentes de celles des quantités cinématiques correspondantes e ,1^ m ,n. 
Mais dans nn cas spécial ces propriétés se rapprochent: C'est lorsque la 
vitesse d'énergie devient identiquement nulle u^ = v^ = m;^ = o et qu'en 
même temps le fluide est homogène, k = kQ. On a donc 

u = \ü l = kj, 

(c) v^k^v e = k^e m = k^m, 

w = k^ïv n=k^n. 

Dans ce cas les quantités cinématiques et les quantités correspondantes dy- 
namiques sont simplement proportionnelles entre elles avec le facteur de 
proportionalité constant k^. 

Du théorème ci-dessus il résulte le corollaire suivant: 



112 V. Bjerkncs. 

Si à une époque quelconque le mouvement induit ne comporte pas de 
tourbillons dt/namique dans un certain espace, il n'en comportera jamais 
dans cet espace. 

En raison de cette propriété le cas où ces tourbillons sont nuls est 
particulièrement important. Dans un espace où ces tourbillons n'existent 
pas rintensité de champ u^v^w dépendra à toute époque d'un potentiel 

ÎV = -- . 

dz 

Ces expressions rendent immédiatement intégrables les équations (E). Après 
l'intégration ces équations se réduisent à une seule, savoir 

dt ^ dx. di/ dz ' 2 \\dx/ ' \a/// \dz J f 

ou bien, en vertu de (5, c) 

(«) f=''-^+i*!a!)'+(|)'+(f)i- 

Ici la constante d'intégration P est indépendante des coordonnées et ne peut 
dépendre que du temps. La formule pennet de calculer la pression jp, si 
l'on connaît en même temps le mouvement actuel et le mouvement induit. 

13. Nous sommes maintenant en état de démontrer une propriété 
importante du second mouvement partiel, le mouvement d'énergie. 

Des équations (C,) on conclut que la vitesse d'énergie, que possède 
un élément mobile du fluide, peut subir des variations par suite de deux 
causes, l'action d'une force extérieure X, F, Z et l'action d'une force hy- 
drodynamique d'énergie X^/Y^yZe- Supposons qu'aucune force extérieure 
n'agite l'élément considéré et examinons de plus près la force d'énergie 
hydrodynamique, (C^). Le premier terme de cette force disparaîtra, si la 
vitesse actuelle «,?■,?(' n'a pas de divergence, c'est à dire si l'élément en 



Ilecherche sur les champs de force hydrodynamiques. 113 

question ne possède pas de vitesse d'expansion e. Le troisième terrae 
disparaîtra, si le volume spécifique k n'est pas variable de point à point 
dans rélément. Le quatrième et le cinquième termes disparaîtront, si, dans 
le volume de Télément, Tintensité de champ ü ^v , w ne possède pas de 
tourbillon. Si nous supposons donc que Télément considéré appartienne à 
une partie du fluide homogène et incompressible, et à une partie de l'espace 
où le mouvement induit ne possède pas de tourbillon dynamique, l'ex- 
pression de la force d'énergie hydrodynamique se réduira au second terme 
du deuxième membre des équations (C^). Le système (C,) se réduit donc 
à l'équation 

k dt 9« ' dx dx 

et aux deux autres qui s'en déduisent par symétrie. Ces équations nous 
montrent, que dans les conditions que nous avons définies, la vitesse 
d'énergie ne peut varier que si elle préexiste déjà dans l'élément fluide 
considéré. Si donc l'élément ne possède pas de vitesse d'énergie dès l'ori- 
gine, il n'en aura jamais. On trouve donc le résultat suivant: 

Une vitesse d'éneigie nexiste Jamais dans tme partie du fluide qui 
satisfait à la fois aux cinq conditions suivantes: n'être soumise à Faction 
d'aucune force extérieure; être Jiomogène; être incompressible; avoir à Vorigine 
une vitesse d'énergie nulle; appartenir à un espace dans lequel à Vorigine 
du temps il n'existe pas de tourbillons dynamiques du mouvement induit. 



V. Suppositions stit* la constitution du système fluide. 

14. Nous allons considérer dès maintenant un système fluide d'une 
constitution spéciale. Le théorème énoncé ci-dessus nous permet de con- 
cevoir un système, tel que certaines parties limitées du fluide possèdent 
seules la vitesse d'énergie, ou la faculté d'en pouvoir acquérir, tandis que 
l'autre partie, qui est illimitée, n'en possède pas, et n'en peut acquérir. 
Désignons la partie illimitée du nom de fluide fondamentalj et appelons corps 
les parties limitées. Ces corps ne doivent exister qu'en nombre fini et dans 
une région finie de l'espace. 

Les conditions qui doivent être satisfaites par le fluide fondamental 
sont, d'après le théorème ci-dessus, les suivantes: il doit être homogène et 

Acta nialhematica. 30. Imprimé le 9 octobre 1905. • 25 



114 V. Bjerknes. 

incompressible, être exempt de raction de toute force extérieure, et dépuis 
Torigine du temps être dénué de vitesse d'énergie et de tourbillon dyna- 
mique. Les corps se distingueront du fluide fondamental par une ou par 
plusieurs des qualités suivantes: 

1. Posséder des vitesses d'énergie u^yV^yiVg. 

2. Posséder des vitesses d'expansion e. 

3. Posséder un volume spécifique A, différent du volume spécifique 
constant k^ du fluide fondamental. 

4. Posséder des tourbillons dynamiques du mouvement induit, avec 
la densité de tourbillon Z,m,w. 

Le tourbillon dynamique étant stationnaire dans l'espace (12), il en 
résulte que tout corps qui possède de tels tourbillons est aussi stationnaire 
dans l'espace. Nous verrons plus tard l'importance de cette remarque. Les 
corps, au contraire, qui n'ont pas ce mouvement tourbillonnaire, peuvent 
changer d'une manière quelconque leur forme ou leur position dans l'espace. 

15. En traitant la dynamique de ce système on doit se rappeler 
que la transformation des équations hydrodynamiques, que nous avons 
effectuée, suppose dès l'origine une continuité complète. En effet les équa- 
tions transformés contiennent des dérivées de quantités telles que k^UyV,Wy 
Ü jV y îv , u^,v^,iOg, On est ainsi amené à admettre qu'il n'y a pas de 
changement brusque aux surfaces limites des corps: On imagine l'exis- 
tence de couches de passage, dans lesquelles, avec une vitesse aussi grande 
que l'on voudra mais toujours d'une manière continue, les propriétés du 
corps convergent vers celles du fluide fondamental. Dans ces couches la 
vitesse d'énergie UgyV^,w^y la densité de tourbillon î^,m,w, et la vitesse 
d'expansion e tendent vers zéro, et le volume spécifique k vers la valeur 
constante k^^, qu'il garde partout dans le fluide fondamental. Naturellement 
cette couche de passage appartient au corps, et à la surface limite le corps 
possède déjà toutes les propriétés du fluide fondamental. 

Mais il n'est pas nécessaire d'introduire cette hypothèse de continuité. 
On sait que les équations hydrodynamiques primitives n'exigent d'autre 
continuité que celle de la non-existence de vides dans l'intérieur du fluide. 
Kien n'empêche donc de faire disparaître l'épaisseur des couches de passage 
et de chercher les limites vers lesquelles convergent alors les équations (9) 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 115 

pour les points de ces couches. On trouve donc qu'il se sépare de la 
force (9, C.J une force qui s'applique aux éléments de la surface de dis- 
continuité, et qu'il faut compter par unité de surface. D ailleurs on peut 
opérer comme si la condition de continuité était toujours remplie, à la con- 
dition de compter les divergences des vecteurs en question comme compre- 
nant aussi les divergences de surface, et de compter les rotations des vec- 
teurs comme comprenant aussi les rotations de surface. C'est ce que nous 
ferons toujours. 

En procédant ainsi, nous considérons donc toujours les intégrales de 
volume où figurent les divergences ou les rotations, comme contenant im- 
plicitement des intégrales de surface dans lesquelles figurent les divergences 
ou les rotations de surface. Ce sont les intégrales de surface qui provien- 
nent des intégrales de volume dans les couches de passage, quand on fait 
disparaître l'épaisseur de ces couches. 

16. Examinons maintenant le mouvement dans le fluide fondamental. 
La vitesse d'énergie étant ici nulle, le mouvement actuel s'identifie 
avec le mouvement induit, ce qui s'exprime par les équations 

u = \ü , 
(a) v = \v , 

w = k^ïd^ 

\ étant le volume spécifique constant du fluide fondamental. Le tour- 
billon dynamique étant nul, l'intensité de champ dépend d'un potentiel 
uniforme ou non uniforme ^, et la vitesse actuelle w, i;, h\ qui est simple- 
ment proportionnelle à l'intensité de champ, dépendra aussi d'un potentiel 
(p^=zU^. En introduisant l'un ou l'autre de ces potentiels dans l'équa- 
tion de continuité, on trouve qu'ils satisfont à l'équation de Laplace. 
Ijo champ de l'un ou de l'autre de ces deux vecteurs est donc le champ 
solenoidal et irrotationnel bien connu. La valeur numérique des vecteurs 
disparait donc à l'infini au moins comme des quantités du second ordre, 
les potentiels au moins comme des quantités du premier ordre. Ces pro- 
priétés du champ dans ses parties infiniment éloignées nous permettent 
d'effectuer ci-dessous, par la manière connue, les intégrations par parties 
de certaines intégrales cubiques qui sont étendues à tout l'espace. 



116 V. Bjerknes. 

17. Le mouvement des corps se distingue de celui du fluide fonda- 
mental par l'existence d'une quantité scalaire, la vitesse d'expansion é?, et 
de deux quantités vectorielles, la vitesse d'énergie w> , i\ , w^ et la densité 
de tourbillon dynamique /, w,72. 

Considérons l'intégrale de volume 

(a) r= f ^^{u* + v' ■{- w*)dT 

qui, étendue à tout l'espace, représente l'énergie cinétique du système. 
Montrons qu'on peut exprimer cette énergie à l'aide d'une intégrale qui 
s'étend aux corps seulement. 

Écrivons la vitesse actuelle u ^v ^w sous la forme 

u = k-^ A , 

dx dz dy 

dy dx dz 

jdw , dL dM 
L'expression de T peut donc s'écrire 

2j \ dx * dy ^ de/ 

^ J 2k\ \d9 dy / ^ \dx dz J ^ \dy dx ) \ 

Dans la seconde intégrale du second membre, exprimons la vitesse induite 
kû , kv , kïv à l'aide de la vitesse actuelle et de la vitesse d'énergie (9, A). 
Alors 






+ 



2j \ \dz dy ) ^ \dx dz ) ^ \dy dx ) \ 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 117 

Toutes ces intégrales devraient s'étendre à Tespace entier. Mais la 
vitesse d'énergie n'existant que dans les corps, il suffit d'étendre la se- 
conde intégrale aux corps seulement. Sur les deux autres on peut effectuer 
une intégration par parties, qu'on peut ensuite, en vertu des propriétés du 
champ dans les régions infiniment éloignées (i6), étendre à tout l'espace. 
Les intégrales de surface, qui ressortent de l'intégration par partie, dis- 
paraissent donc, et en tenant compte des relations ( i o, a) et ( 1 2 , b) on 
trouve l'expression suivante de l'énergie T 

(b) T=—\Je^dr 

, Cii (dU dN\ . /dN dTA , /dL dM\\ , 

— If {IL + mM+ nN)dT 

la première et la dernière intégrale contenant implicitement, dans le cas 
de discontinuités, des intégrales de surface (15). 

Dans toutes ces intégrales l'expression souis le signe somme est identique- 
ment nulle en tous les points du fluide fondamental, et nous avons donc 
réussi à exprimer l'énergie du mouvement induit à l'aidé d'intégrales qu'il 
suffit d'étendre au volume des corps. 

18. Nous allons en tirer une conséquence importante. 

Supposons la vitesse d'énergie w^,^^,m?«, le tourbillon îjm,n et la 
vitesse d'expansion e égales à zéro. L'énergie T disparait comme le montre 
l'expression (i7,b). Mais quand T disparait, l'expression (17, a) nous 
montre que la vitesse actuelle UyVyW disparait aussi dans tous les points 
de l'espace. La vitesse d'énergie étant déjà nulle par hypothèse, il en 
résulte que le mouvement induit disparait aussi. Dans ces conditions il 
n'existe plus de mouvement. 

Cela étant, considérons deux champs différents, ayant en chaque point 
les mêmes valeurs de la vitesse d'énergie, u^yV^^w^y du tourbillon J^m^n 
et de la vitesse d'expansion e. La différence de ces deux champs de 
mouvement est donc un champ dans lequel toutes ces quantités sont iden- 
tiquement égales à zéro, c'est à dire, d'après ce que nous venons de voir, 



118 V. Bjerknea. 

un champ qui disparait complètement. Les deux champs ne peuvent donc 
pas différer l*un de Tautre, et il en résulte le théorème que voici. 

La vitesse d'énergie, le tourbillon dynamique du mouvement induit et la 
vitesse d'expansion du mouvement actuel déterminent le champ de mouvement 
d'une manière uniforme, 

19. Pour nous rendre compte de la généralité du théorème, remar- 
quons que les corps tels que nous les avons définis peuvent avoir un mouve- 
ment quelconque. Car les forces extérieures, qui produisent le mouve- 
ment, ne sont soumises à aucune restriction. Rien ne nous empêche donc 
de supposer l'existence de forces qui par exemple donnent à ces corps le 
mouvement de corps rigides, ou de corps solides élastiques. 

On a donc le droit de supposer aussi que les corps, que nous avons 
définis, sont réellement des corps rigides ou des corps solides élastiques. 
Si l'on s'imagine ces corps liquéfiés, et que l'on détermine les forces né- 
cessaires pour leur donner, dans ces conditions, le même mouvement 
qu'ils auraient étant solides, et si Ton détermine ensuite les deux mouve- 
ments partiels d'après les équations (9), on peut appliquer le théorème 
énoncé. Dans ce sens le théorème, ainsi que tous les résultats que nous 
développerons ci-dessous, s'appliqueront à des corps étrangers quelconques 
qui se meuvent dans le fluide. Dans ces applications on doit tenir compte 
des divergences ou des tourbillons de surface qui existent sur les surfaces 
limites entre le fluide fondamental et les corps. La considération de ces 
divergences et de ces tourbillons de surface revient à ceci, qu'en calculant 
les divergences et les tourbillons, on compte la surface adjacente du fluide 
fondamental comme appartenant au corps. 

En tout cas le théorème conduit à ce résultat remarquable que 
certaines particularités du mouvement, que possèdent les différents élé- 
ments des corps, (y compris en cas de discontinuité le mouvement des 
éléments immédiatement adjacents du fluide ambiant), déterminent le champ 
de mouvement dans chaque point de l'espace. On peut imaginer ce ré- 
sultat découvert expérimentalement par un observateur qui ne possède que 
des méthodes indirectes pour observer les champs et les différentes particu- 
larités du mouvement. On comprend facilement qu'un tel observateur, en 
trouvant le résultat que nous venons d'énoncer, soit tenté d'en donner une 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 119 

interprétation physique spéciale, en l'attribuant à une action à distance 
émanant des différents éléments de volume des corps, et se faisant sentir 
en tout point de Téspace. Voilà le premier germe des phénomènes d'ac- 
tions apparentes à distance, que nous étudierons ci-dessous. 



VI. Analogie géo^nétrique directe des champs hydrodynamiques 
et des champs elect i*mnagnétiques stationnnires. 

20. Appliquons le théorème ci-dessus en considérant dès maintenant 
la vitesse d'énergie u^^v^^tv^^ le tourbillon dynamique Z^ , w , ^ et la vitesse 
d'expansion e comme des quantités données. Les équations, qui détermi- 
nent uniformément le champ en fonction de ces quantités données, sont 
donc les suivantes 

w = A w -f w^ , 

(A) v = kv +v,, 

w = kiv -{- w,^ 



dw dv - 

dy dz ' 

dû dw 

dv dû - 

dx dy ' 



du dv dw 

^^ dx'^dy^dz'"^ 

auxquelles on doit joindre les conditions suivantes, qui s'appliquent au fluide 
fondamental 

We = o, I = Oj e = o, 

(D) t\ = o, m = o, *=*„ 

w^ = 0, iï = o, 

k^ étant constant en chaque point du fluide fondamental. 



120 V. Bjerknes. 

2 1 . Comparons maintenant ce système hydrodynamique à un système 
électromagnétique, consistant en un certain nombre de corps limités, en- 
vironnés d*un milieu extérieur, qui s'étend à Tinfini. Le milieu extérieur 
doit être homogène, et en outre dénué de toute polarisation intrinsèque, 
et de toute distribution de masses magnétiques ou de courants électriques. 
Les corps doivent se distinguer du milieu extérieur par une ou par plu- 
sieurs des propriétés suivantes: 

1 . Posséder des polarisations magnétiques intrinsèques, w, , i\ , tv, . 

2. Posséder une distribution de masses magnétiques avec la densité e, 

3. Posséder une perméabilité magnétique k différente de la permé- 
abilité constante A:^ du milieu extérieur. 

4. Posséder une distribution de courants électriques avec la densité 
ï ,m ^n. 

Sous ces conditions il existe dans l'espace entier, dans le milieu ex- 
térieur ainsi que dans l'intérieur des corps, un champ magnétique statio- 
naire uniformément déterminé. Définissons ce champ à laide de deux 
vecteurs, savoir V intensité de champ magnétique ü,v,w, et V induction (dans 
la terminologie de Hkutz la polarisatior}) magnétique u^v^w. Supposons 
enfin qu'on exprime toutes les quantités dans le système d'unités ratio- 
nelles de M. Oliver Heaviside. ^ Le système d'équations, qui détermine 
la distribution des deux vecteurs dans l'espace, est donc justement le système 
(20, A — D), qui détermine la distribution des vecteurs correspondants, de 
la vitesse u,v,w et de l'intensité de champ n,VyWy dans le système hy- 
drodynamique. 

En particulier, les équations (A) sont les équations de connection, qui 
expriment l'induction (la polarisation) en fonction de l'intensité de champ 
et de la polarisation intrinsèque. (B) sont les équations qui déterminent 
le courant électrique en fonction de l'intensité de champ magnétique. (C) 
est l'équation qui détermine la densité magnétique vraie (s'il en existe) en 
fonction de l'induction magnétique. Les équations (D) donnent enfin les 
simplifications qu'on admettra par hypothèse dans le milieu extérieur. 

Si l'on avait employé les unités magnétiques traditionnelles, les équa- 
tions du champ magnétique auraient été encore les équations (A — C), avec 
cette seule différence que le dernier terme à droite de chaque équation 



* Omvkr HuAVisiDE, Electromagnetic Theory^ London 1893. T. 1, p. I16 — 125. 



Ëecherciie sur les champs de force hydrodynamiques* 12i 

aurait été affecté du facteur numérique irrationel 4;r. En introduisant 
dans rhydrodynamique un système d'unités affectant la même irrationalité, 
on peut naturellement donner aux formules hydrodynamiques la même 
forme irrationelle. Mais cette observation n'a d'autre intérêt que de montrer, 
à l'aide de cette image dynamique des phénomènes électromagnétiques, l'ab- 
surdité complète du système d'unités qu'on emploie aujourd'hui dans la 
science de l'électricité et du magnétisme.^ 

2 2. Le dualisme bien connu des phénomènes électriques et magné- 
tiques a pour conséquence qu'on peut encore comparer, à un autre point, 
les phénomènes hydrodynamiques aux phénomènes électromagnétiques. Au 
lieu de considérer le champ magnétique on peut considérer le champ élec- 
trique d'un système de corps, possédants une distribution de masses élec- 
triques vraies de densité e, des polarisations électriques intrinsèques u^^ v^y 
Wg, une distribution de »courants magnétiques stationnaires » avec la densité 
— /, — w, — w, et enfin des constantes diélectriques k variables d'une 
manière quelconque. Les équation^ (20, A — D) sont alors les équations 
qui déterminent la distribution de l'intensité de champ électrique û^v ^îv 
et de l'induction (la polarisation) électrique u^v^ w. 

Dans la pratique, suivant les circonstances, on adoptera l'une ou l'autre 
de ces comparaisons. La seconde présente cet avantage qu'une densité 
électrique vraie existe réellement, tandis qu'on ne connait pas de densité 
magnétique vraie. C'est donc seulement avec ce dernier mode de com- 
paraison qu'on trouve une quantité physique réelle qui corresponde à la 
vitesse d'expansion e. En revanche le premier mode de comparaison a 
l'avantage que le tourbillon dynamique corresponde au courant électrique 
stationnaire qui existe réellement. Le courant magnétique, au contraire, 
n'est pas en général stationnaire ou ne peut l'être que momentanément. 
Néanmoins, pour des raisons de symétrie, il est commode de faire figurer 
dans les formules des symboles qui représentent ces quantités fictives, les 
masses magnétiques vraies et les courants magnétiques stationnaires. 

23. Nous pouvons donc résumer, dans le tableau synoptique suivant, 
les résultats que nous venons d'obtenir, relativement à l'analogie des champs 



* V. Bjerknes, Hydrodynamische Femkräftej t. II, p. 228. 

Aeta matKnnaiiea. 30. Imprimé le 16 octobre 1905. \Q 



122 



V. Bjerknes. 



de mouvement hydrodynamiques avec les champs électriques ou magné- 
tiques. Les notions qui n'ont qu'un sens fictif, et que nous ne gardons 
que pour conserver toute la généralité du problème, sont mises entre 
crochets. 



u ,v ,w 


champ hydrodynamique champ magnétique 


champ électrique | 

! 


Vitesse actuelle 


Induction magnétique ' Induction électrique 

1 


Intensité de champ 
hvdrodynamique 

Vitesse d'énergie 


Intensité de champ Intensité de champ 

magnétique ; électrique 

1 


e 


Polarisation magnétique 
intrinsèque 


Polarisation électrique 
intrinsèque 


Vitesse d'expansion 
par unité de volume 


[Densité des masses 
magnétiques vraies] 


Densité des masses 
électriques vraies 


l ,m, n 

k 


Densité de tourbillon 
dynamique 


Densité de courant 
électrique stationnaire 


[Densité de courant 
magnétique stationnaire] 

Constante diélectrique 


Volume spécifique 


Perméabilité magnétique 



L'analogie se restreint au cas des champs électriques ou magnétiques 
stationnaires. Par la voie que nous avons suivie on n'arrive pas à une 
analogie hydrodynamique des phénomènes électromagnétiques les plus géné- 
raux. L'analogie cesse d'exister justement au point où commence le croi- 
sement des phénomènes électriques et magnétiques, et on n'arrive ainsi 
qu'à définir une analogie d'ordre électrique et à une analogie d'ordre magné- 
tique, ces deux analogies n'ayant entre elles aucune connexion. 

La cause pour laquelle l'analogie cesse justement d'exister en ce point 
est bien claire. Au moment où le courant, qu'il soit électrique ou magné- 
tique, devient variable, l'existence d'un champ magnétique est nécessaire- 
ment accompagnée d'un champ électrique, et vice versa. Mais, dans l'image 
hydrodynamique des phénomènes électriques ou magnétiques, ce qui cor- 
respond au courant, c'est le tourbillon dynamique du mouvement induit, 
et ce tourbillon a nécessairement un caractère stîitionnaire par rapport à 
l'espace et par rapport au temps. (12). 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 123 

Si donc Ton veut étendre lanalogie au delà de la limite qui nous 
arrête ainsi, il faut modifier essentiellement la manière de poser le pro- 
blème dynamique. Mais n'abordons pas cette question des généralisations 
possibles de l'analogie. Bornons nous à l'approfondir dans son étendue 
limitée. 



Vil. Analogie dynamique inverse des champs hydrodynamiques et 
des champs électriques ou magnétiques stationnaires. 

24. Au point de vue géométrique il existe j ainsi que nous l'avons 
démontré, une identité complète entre les champs hydrodynamiques que 
nous étudions, et les champs électriques ou magnétiques stationnaires. 
Occupons nous maintenant de la dynamique des mêmes champs. 

Des équations (9, B) nous pouvons déduire la valeur de la force qui 
produit le mouvement induit, la force d'induction ^ dans la terminologie 
de C. A. Bjerknks. Mais une discussion ultérieure de cette force n'a pas 
d'intérêt pour le but que nous poursuivons ici. Car d'un côté, sans nous 
occuper de Texpression explicite de cette force, nous avons pu déduire 
toutes les propriétés géométriques des champs, et en démontrer l'analogie 
avec les champs électriques ou magnétiques. D'un autre côté, la dynamique 
interne de ces derniers champs nous est complètement inconnue, et la dis- 
cussion de la dynamique des champs correspondants hydrodynamiques ne 
peut donc pas, dans l'état actuel de nos connaissances, servir à approfondir 
l'analogie qui nous occupe. 

25. Il reste donc à discuter la dynamique du mouvement énergétique. 
D'après les équations (9, C), ce mouvement partiel est l'effet de l'action 
combinée de deux forces, une force extérieure non hydrodynamique X, Y, Z, 



' Remarquons que les seconds membres de ces équations ne représentent pas les 
composantes de cette force. En effet, les premiers membres n'ont pas la forme du pro- 
duit d'une densité par une accélération. C'est d'ailleurs un avantage important de la 
méthode que nous employons ici, que de permettre d'éviter toute considération expli- 
cite de la force d'induction avec ses propriétés bizarres. La forme des équations (9, B) 
nous permettent de déduire les propriétés géométriques du mouvement induit sans nous 
occuper de ses propriétés dynamiques. 



124 V. Bjerknes. 

et une force due à la pression du fluide, la force d'énergie hydrodynamique 
Xg,Ye,Ze> En tenant compte des équations (lo, a) et (i2,b) nous pouvons 
écrire les expressions des composantes de cette seconde force 



= — eu + (u- — i- V — + w—-] 
' \ a* ^ a« ' dxj 



+ ^{u^ + v^ + w^)^ — {niw — nv), 



(A) Y, = -€v + (u- + V- + «;-) 



+ {(ü' + v' + w')fy-{nu-Jtv), 



Z.= 



CI« + \U [- V- 1- W — ) 



+ ^ (m» + ü' + w') ^ — (<v — mu) 



Chaque terme dans l'expression de cette force affecte la forme d'un 

at/' 
produit de deux facteurs. Dans chaque produit Tun des facteurs, ^ , — - , 

d t* dl/ d M* 

— ' , . . . , - -' , . . . , —, . . . , 7 , ^ , W , représente un état ou une propriété in- 

ox oy cx 

trinsèque de l'élément de volume qui subit la force. Ce facteur est iden- 
tiquement nul dans le fluide fondamental. Il en résulte que ce sont les 
corps seulement qui sont soumis à Taction de la force (A). L'autre 
facteur dépend du champ, représenté soit par l'intensité de champ ü^v^w, 
soit par la vitesse actuelle u ^ v ,w. Mais le champ dépend de son côté 
de certaines particularités caractéristiques du mouvement des différents élé- 
ments de volume des corps, comme le montre le théorème fondamental (i8). 
La force (A) apparaît donc comme une action à distance, que subit chaque 
élément d'un corps de la part de tous les autres éléments de ce corps et 
de tous les éléments des corps distants. 

11 se manifeste donc, dans notre système hydrodynamique, entre les 
divers éléments des corps, des forces qui ont le même caractère d'actions 
apparentes à distance que les forces pondéromotrices dans un système 
électrique ou magnétique. 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 125 

26. Avant d'aller plus loin, rappelons nous ce que nous savons, et 
ce que nous ignorons, concernant les forces pondéromotrices dans les champs 
électriques ou magnétiques. 

Nos expériences directes se rapportent aux forces résultantes s' appliquant 
à des corps de dimensions finies. Ces forces résultent d'une distribution de 
forces élémentaires, qui s'appliquent aux différentes éléments de volume des 
corps. Mais la connaissance de la force résultante ne suffit pas pour dé- 
terminer uniformément ces forces élémentaires. 

On a essayé, il est vrai, de définir, par des voies indirectes, le système 
des forces élémentaires dans les champs électriques et magnétiques. On a 
même essayé d'aller encore plus loin, de déterminer les pressions à l'in- 
térieur des champs, pressions dans lesquelles on cherche, d'après Faraday 
et Maxwell, la cause de ces forces. Mais on a le droit de se demander, 
si ces développements sont à l'abri de tout reproche. Une discussion de 
ces développements, faite en s'éclairant à la lumière de l'analogie hydro- 
dynamique qui nous occupe ici, présenterait certainement un grand intérêt. 
Mais bornons nous ici à formuler les conclusions qu'on peut tirer, avec 
une sûreté absolue, relativement à l'analogie des phénomènes électriques ou 
magnétiques et des phénomènes hydrodynamiques. Autrement dit, bornons 
nous à considérer, dans le cas hydrodynamique comme dans le cas élec- 
trique ou magnétique, la force résultante appliquée à un corps de dimen- 
sions finies, c'est à dire la force dont les composantes sont 

X=fx.dT, 
(a) Y=fT,dT, 

Z=JZedT, 
les intégrales étant étendues à un corps de dimensions finies. 

27. En substituant les expressions (25, A) dans (26, a), on obtient les 
expressions de X, F et Z, qui sont respectivement les sommes de quatre in- 
tégrales, correspondant aux quatre parties principales des formules (25, A). 
Ecrivons les intégrales qui se rapportent à la composante X. Nous aurons 

(a) X = X, + X, + X, + X, 



126 V. Bjerknea. 

OU 

X, = — feüdT, 

(b) 

X,= ß{u' + -v' + w')f^dT, 

X^ = — f{mw — nv)dT. 

Toutes ces intégrales sont bien connues dans la théorie de Télectricité 
ou du magnétisme. Elles représentent la composante X de la force résultante 
agissant sur un corps, composante qui ressort de quatre causes différentes, 
X, due à la distribution d'électricité ou de magnétisme vrai e, X, due aux 
polarisations intrinsèques w^, ?', , u\^ Xg due à l'hétérogénéité (forces dépendant 
de l'influence électrique ou du magnétisme induit) et enfin X4 due à la 
distribution des courants électriques / , m , w ou du courant magnétique 
— î^ — w,- — n. Seulement, chaque intégrale est affectée d'un signe con- 
traire à celui avec lequel elle apparait dans l'électricité ou le magnétisme. 

Il faut donc en conclure que les forces résultantes qui apparaissent dans 
le champ hydrodynamique sont toujours égales, mais de signe opposée, 
aux forces résultantes qui s'appliquent aux corps dans le champ électrique 
ou magnétique. 

28. On peut faire remarquer que les intégrales (27, b) ne représentent 
pas sous la forme la plus ordinaire les forces agissant dans le champ élec- 
trique ou magnétique. Montrons donc, pour plus d'évidence, la transfor- 
mation des intégrales (27, b) suivant la forme employée le plus souvant 
pour calculer ces forces. Cette transformation repose sur l'introduction de 
la divergence e (11, a) de l'intensité de champ comme quantité auxiliaire. 
C'est la quantité qu'on appelle, dans le cas de l'électricité ou du magné- 
tisme, la densité libre d'électricité ou de magnétisme, pour la distinguer de 
la densité vraie e, qui est le quantité fondamental, proprement dite, au 
point de vue physique. 

Remarquons que, k^ étant constant, on peut écrire la troisième inté- 
grale (27, b) sous la forme 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 127 

Si l'on effectue maintenant une transformation par parties dans tout le 
volume du corps, l'intégrale de surface disparaîtra, par ce qu'à la surface 
k — k^ est égale à zéro. Il vient donc 



=-/(.- 






dT, 



De même on obtient en transformant par parties l'intégrale X, 



■• — /l"- 



dû , dv , dtv 



rfr. 



En faisant la somme des intégrales X^ et X^ et tenant compte des équa- 
tions de connection (20, A) on trouve 



X 



2 + ^8 = —j {(^*— M^ + (^' ~ W^ + (^^'~*0^^)^ 



dT 



ce qu'on peut ensuite écrire, en tenant compte de (20, B) 

(a) X, + X, = —j j(w — A;,Ä)^ + (v — M^ + (^ — W^l^^ 

— [{('^ — ^0^)^ — (^ — ÄQM?)w}rfr. 

Transformons par parties la première de ces deux intégrales. L'intégrale 
de surface disparaîtra par ce qu'à la surface u — k^ü-=v — \v=^w — k^ïd=^o. 
Il reste donc seulement l'intégrale de volume. Cette intégrale se sépare 
en deux, dont l'une contient la divergence e de la vitesse actuelle (20, C) 
et l'autre la divergence e de l'intensité de champ (12, a). La première de 
ces intégrales est simplement — X, . De même on peut séparer de la se- 
conde intégral (a) l'intégrale — X^. Il vient donc 



^, + ^. = -x, 



X^ — k^Jetidz — k^J{imv — lv)dT 



d'où l'on déduit immédiatement la valeur de X. Les valeurs de Y ei Z s'en 
déduisent par symétrie. On arrive ainsi enfin à l'expression suivante des 
composantes de la force résultante appliquée à un corps 



128 V. Ëjerkneg. 

X= — k^Jeüdz — k^J(niw — nv)dT, 

(b) Y= — k^Jev dr — k^J{nü — ïw)dT, 

Z = — k^Jêtvdr — k^f{T^ — mü)dT, 

En cas de discontinuité ces intégrales de volume contiennent implicitement 
des intégrales de surface où figurent les divergences de surface ë et les tour- 
billons de surface J ,m,n. 

Ce sont bien là les formules à Taide desquelles on représente le plus 
souvant la force appliquée à un corps dans le champ électromagnétique, 
abstraction faite seulement des signes négatifs des seconds membres. La 
force se compose de deux parties, une première qui est analogue à la force 
vers la distribution du magnétisme libre ê, et une seconde qui est analogue 
à la force vers la distribution du courant électrique Z, w,w, les corps se 
trouvant dans un milieu ayant la perméabilité magnétique k^. 

Nous avons donc bien démontré que ces forces résultantes, qui agissent 
sur les corps dans le champ hydrodynamique, sont, au signe près, iden- 
tiques aux forces pondéromotrices résultantes qui agissent sur les corps 
dans le champ électromagnétique. 



VIII. Actions à dista/nce. 

29. L'analogie que nous venons de découvrir nous montre bien 
nettement que les forces hydrodynamiques ont le même caractère d'actions 
réciproques à distance qu'ont les forces pondéromotrices dans le champ 
électromagnétique. Mettons aussi ce résultat explicitement en évidence, en 
donnant aux formules, qui expriment les forces, l'apparence extérieur qui 
correspond à des forces à distance. 

Pour y arriver, remarquons que les formules (28, b) expriment la 
force résultante à l'aide de l'intensité de champ ü yV yïv en connection avec 
la divergence ë et la rotation J ,my n de ce même vecteur. On peut égale- 
ment exprimer le vecteur lui-même à Taide de ces divergences et rotations. 
C'est en introduisant ces expressions du vecteur üyV,w dans les formules 
(28, b) qu'on arrive aux formules qui donnent aux forces l'apparence ex- 
térieur de forces à distance. 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 129 

30. Reprenons donc l'expression d'un vecteur à Taide de ses diver- 
f]^ences et de ses rotations. D'abord on peut toujours exprimer un vecteur 
üyVy Je à l'aide d'un potentiel scalaire et d'un potentiel vecteur en écrivant 



d<p dM dx 



(a) 



ff — -1- 

dx dz 


^.v' 


diS , dN 


dL 


V — — 4 


% 


dy dx 


dz 


d(f , dL 


dM 


W -'■ H 


• 


dz ' dy 


dx 



Ensuite on peut, s'il s'agit d'un espace infini, calculer ^ , Ïj /M ^ iV^ à l'aide 
des quadratures 



(»^) 



^ J 4Jtr " 

Tj = — f—dr,, 

J 47:r " 



M 



N = 



J 4îrr ' 



Dans ce cas Tindice i signifie que les quantités ë,^,m,n sont données 
en fonction des coordonnées iï^i , y, , ^, , qui servent de lettres d'intégration. 
/• est la distance du point iï^, , y^ , -s^p mobile pendant l'intégration, au 
point Xjjf y z, où l'on cherche la valeur des quantités ^, L, Mj N. Les 
intégrations s'étendent à toutes les régions de l'espace où existent les quan- 
tités ê,/,wï,n. L'intégration effective s'étend donc au volume des corps 
seulement. Mais, ces quantités étant identiquement nulles dans le fluide 
fondamental, on peut considérer les intégrations comme étendues à l'espace 
entier. 

31. Substitutions (30, a) dans (28, b). La composante X s'écrit 
(a) X = X, +A\ + X, + X, 

17 

Acta inatlwmatica. :>». Tiiipriiné 1<> 17 Dc-tobre 10()ô. ■* • 



130 




V. Bjerknes. 




où 










^. = - 


-K fellär, 




(b) 




\l \ dz dy ] 






X, 


j ri /ai dM\ --/dN 


-:i)î- 



x^y^z sont les lettres crintégration, et Tintégration s effectuée dans le 
volume du corps vers lequel s'exerce la force résultante que Ton cherche 
à déterminer. 

Avant d'effectuer la substitution des valeurs de (^,Z,M,iV, trans- 
formons la dernière des quatre intégrales. L'addition et la soustraction du 

terme T— nous permet d'écrire X sous la forme 

^^ = *oj (^ ^ + "'^ + ^S.r^-^-«j (^ a, + '%7+ %t)^^- 

Or, la dernière de ces deux intégrales disparaît. Car, si nous intégrons par 
parties dans tout le volume du corps, nous avons une intégrale de surface 
qui contient leî? valeurs de / , ïn , 7^ à la surface, et une intégral de volume 
qui contient la divergence 

du tourbillon Z,irw, ??. Or ces deux intégrales disparaissent, parce qu'à la 
surface du corps le tourbillon est nul (15), et parce que la divergence 
d'un tourbillon est toujours identiquement nulle, comme on le voit de suite 
en formant la divergence des expressions (20, B). L'expression de X^ s'écrit 
donc simplement 



(c) 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 131 

En substituant maintenant d'après (30, b) les valeurs de f(?, L,Är, J?^ 
on peut effectuer sous le second signe somme les differentiations par rapport 
aux variables x ,y , z, 11 vient donc 

^8= K II ^1 i^:^ ^- V^^^i, 

On en déduit par symétrie des expressions analogues relatives aux axes 
y et z. 

32. Ces formules donnent bien à la force considérée Tapparence d'une 
force à distance, se composant de quatre forces partielles. 

Jj8L première de ces forces partielles parait provenir d'une force agissant 
entre les masses magnétoïdiques libres ëdz et ëjrfrj, que portent les élé- 
ments dr et rftj . Elle agit conformément à la loi de Coulomb, mais avec 
inversion de signe, les masses magnétoïdiques de môme signe s'attirant et 
celles de signes contraires se repoussant. 

La seconde force parait provenir d'une action à distance que subirait 
l'élément dr de masse magnétoïdique edz de la part de l'élément rfr, siège 
d'un courant électroidiques de densité de courant Z^i , w^ , Wj . Pour mieux 
se rendre compte de la nature de cette force on peut choisir des éléments 
de volume particuliers. On peut diviser le corps en tubes infiniment minces 
engendrés par des lignes de courant électroïdique. On trouve ainsi sans 
difficulté que chaque élément linéaire rfs, d'un tel tube agit sur la masse 
magnétoïdique ëdz suivant la loi de Biot et Savaut et suivant la règle 
d'AMPKHE, mais cette dernière règle étant inversée de signe. 

La troisième force représente la force que subit l'élément de volume 
rfr, siège du courant électroïdique ^, w, w, de la part de l'élément de volume 



132 V. Bjerknes. 

dz^ de masse magnétoidique ë^ rfr, . C *est la réaction correspondant à Taction 
envisagée dans le cas précédent. 

La quatrième force parait provenir d'une action à distance apparente 
qui s'effectuerait entre deux éléments de volume dr et dr^ , sièges de courants 
électroïdiques de densités respectives ï ,m ^n et /i , wï, , w^ . En considérant 
les mêmes éléments de volume spéciaux que ci-dessus, on déduit facilement 
que deux filets de courant agissent Tun sur Tautre suivant la force qu'on 
déduit du potentiel de Neumann, mais avec inversion de signe. 



IX. Analogie analytique et analogie physique. 

33. Ainsi que nous l'avons trouvé, le mouvement de notre système 
hydrodynamique s'effectue conformément à des formules qui sont en même 
temps les formules fondamentales de l 'électromagnétisme stationnaire. Au 
point de vue analytique l'analogie est complète, abstraction faite de l'in- 
version de signe des formules qui se rapportent aux forces pondéromotrices. 

Mais bien que l'analogie analytique soit à tel point complète, un 
observateur qui regarde des mouvement fluides ne découvrira guère la^ 
moindre trace de cette analogie. Elle se dissimule par suite de diverses 
causes. D'abord le système hydrodynamique est un système en mouve- 
ment, tandis que le système électromagnétique est, au moins extérieure- 
ment, un système en repos. En général le système hydrodynamique 
change incessament de configuration, et l'analogie avec un système électro- 
magnétique déterminé ne subsiste que pendant un instant, l'instant pendant 
lequel le système mobile passe par la configuration que possède constam- 
ment l'autre système. L'instant d'après le système hydrodynamique sera 
à comparer à un autre système électromagnétique, et ainsi de suite. 

Il faudra donc que l'observateur se borne à faire ses observations au 
moment où existe l'analogie avec un système électromagnétique déterminé. 
Et pour pouvoir découvrir l'analogie qui existe pendant cet instant, il 
faudrait encore que l'observateur sût décomposer le mouvement actuel, 
qu'il observe, en deux mouvements partiels, et c'est là une opération qui 
s'effectuera en général plus facilement dans les calculs mathématiques que 
dans les observations physiques. 



Becherche sur les champs de force hydrodynamiques. 133 

Il ny a donc rien d'étonnant à ce que l'on n'ait pas depuis longtemps 
découvert cette analogie, uniquement en observant les mouvements des 
fluides. 

34. La première condition, qui doit être satisfaite pour que l'ana- 
logie puisse ressortir visiblement aux yeux, est donc celle-ci, que le mouve- 
ment du système fluide soit d'une telle nature spéciale qu'il ne soit pas 
accompagné de changement de configuration essentielle. Nous verrons que 
cette condition nécessaire sera aussi suffisante pour que l'analogie puisse 
ressortir comme une réalite physique, apparente aux yeux. 

Il existe deux formes de mouvements qui ne sont pas accompagnés 
de changements de configuration visibles. La première est celle du mouve- 
ment permanent. Dans ce cas l'invariabilité extérieure du système est 
assurée par la condition que le volume qu'occupe une masse quelconque 
du fluide sera, pendant le mouvement, toujours remplacé par une masse 
absolument semblable, possédant absolument le même mouvement. Un tel 
mouvement ne changera évidemment ni la forme extérieure des corps, ni 
les positions de ces corps dans l'espace. 

La seconde forme est celle d'un mouvement vibratoire, qui se limite 
à des amplitudes très petites autour d'une configuration invariable. Dans 
ce cas la condition de la configuration invariable n'est remplie que d'une 
manière approximative. Mais l'approximation est d'autant plus grande 
qu'on choisit des amplitudes plus petites. On peut donc réaliser ainsi 
facilement dans la pratique le cas où la constatation des changements de 
configuration échappe à un observateur doué de sens grossiers. 

35. Mais il y a une remarque importante à faire relativement à ce 
passage de l'analogie analytique à une analogie physique concrète. Déjà 
l'analogie analytique est de nature restreinte. Les formules hydrodynamiques 
que nous venons de développer correspondent à celles de Télectrodynamique 
stationnaire seulement, et non pas à celles de l'électrodynamique la plus 
générale. Si maintenant on passe de l'analogie analytique à une analogie 
physique, en introduisant l'une ou l'autre des hypothèses mentionnées ci- 
dessus, le domaine de l'analogie se restreint encore d'avantage. Et ce do- 
maine se restreint de deux manières différentes suivant la nature du mouve- 
ment spécialisé. 



134 V. Bjerkues. 

I>ans le cas du uiouvement permanent on arrive à une analogie qui 
ressortit des traveaux de v. Hklmholtz et de Lord Kelvin. Dans le cas 
du mouvement vibratoire on arrive à lanalogie qu*a trouvée C. A. Bjehk- 
NES pour le cas de corps sphériques, mais que nous allons démontrer ainsi 
d'une manière générale. 



X. Etat de mouvement pernunient. Anulogien de v. Helmholtz 

et de Lord Kelvin. 

36. Dans le régime permanent les corps paraîiront limités par des 
surfaces géométriques fixes dans l'espace. Le mouvement du fluide ex- 
térieur sera donc complètement indépendant du mouvement que possède le 
fluide à Tintérieur des corps. Quelles que soient les hypothèses que Ton 
fasse relativement aux corps, le mouvement dans Tespaco extérieur sera le 
mouvement irrotationnel d'un fluide homogène et incompressible, compris 
entre des surfaces limites fixes. Or on sait que ce mouvement ne peut 
exister qu'à la condition que l'espace soit à connections multiples. Il faut 
donc qu'un ou plusieurs des corps soient percés de canaux, à travers des- 
quels le fluide peut circuler: c'est le mouvement de circulation à potentiel 
non uniforme, dont les propriétés sont bien connues. Les corps qui ne 
sont pas percés de canaux ne forment que des obstacles aux courants, qui 
existent, grâce aux canaux dans les autres corps. Partout les lignes de 
courant s'infléchissent tangentiellement aux surfaces des corps. 

37. La constitution et le mouvement intérieur des corps étant in- 
différent vis-à-vis du mouvement du fluide fondamental, supposons d'abord 
un cas limite très simple. Supposons que les corps ont une densité infinie, 
et par conséquent un volume spécifique nul. Dans le cas magnétique cor- 
respondant les corps auront donc une perméabilité magnétique nulle: c'est 
le cas idéal d'une diamagnétisme extrême. 

Poursuivons l'analogie dans ce cas idéal. Dans les corps infiniment 
diamagnétiques il peut exister une intensité de champ finie. Mais la per- 
méabilité magnétique étant nulle, une induction nulle correspondra à l'in- 
tensité de champ finie. De môme, dans les corj)s infiniment lourds il peut 
exister une intensité de champ, c*est à dire une quantité de mouvement. 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 135 

finie. Mais la vitesse qui y correspond est nulle. On peut donc donner 
à ces corps une distribution intérieure quelconque de l'intensité de champ. 
La condition de leur immobilité dans l'espace reste remplie, sans qu'il soit 
nécessaire de spécialiser la distribution de cette intensité de champ, ou 
bien d'introduire une vitesse d'énergie produite par des forces extérieures. 

On peut donc se donner une distribution de l'intensité de champ qui 
correspond à une distribution quelconque des tourbillons dynamiques. Ou 
bien, on peut se donner dans les corps infiniment lourds une distribution 
quelconque de tourbillons dynamiques, et dans les corps infiniment dia- 
magnétiques une distribution quelconque de courants électriques. Ces deux 
systèmes sont donc analogues entre eux dans le sens que nous avons dé- 
veloppé. Au point de vue géométrique il y a une identité complète entre 
les champs des deux systèmes. Et à cette analogie géométrique directe 
s'ajoute l'analogie dynamique inverse. Il s'exerce dans le champ hydro- 
dynamique entre les corps infiniment lourds des forces apparentes à distance, 
qui sont au signe près identiques aux forces qui agissent entre les corps 
infiniment diamagnétiques dans le champ électromagnétique. Ainsi les 
corps infiniment lourds dans le système hydrodynamique agissent les uns 
sur les autres à l'inverse des corps infiniment diamagnétiques qui sont le 
siège d'un système quelconque de courants électriques. 

Dans des corps infiniment diamagnétiques qui sont percés d'un nombre 
suffisant de canaux d'une forme convenable, on peut distribuer des courants 
électriques de manière à obtenir dans l'espace extérieur un champ magné- 
tostatique quelconque. En ce qui concerne ses actions extérieures ce corps 
peut donc représenter un aimant permanent quelconque, mais avec cette 
particularité que cet aimant serait construit en une matière infiniment dia- 
magnétique. L'effet visible extérieur du diamagnétisme diminuera indéfini- 
ment si l'espace occupé par les pores devient infiniment grand comparé à 
l'espace occupé par la matière du corps. Dans ce sens nos corps poreux 
infiniment lourds donnent l'image hydrodynamique des aimant« permanents. 

Ajoutons enfin qu'aux corps fluides infiniments lourds et immobiles 
nous pouvons, sans changer en rien l'effet extérieur, substituer des corps 
rigides immobiles. Nous retombons donc sur le résultat suivant: 

Si dans un fluide homogène et incompressible il se trouve des corps 
poreux, immobiles dans l'espace, et si à travers les pores de ces corps le 
fluide exécute le mouvement de circulation irrotationnelle, ces corps poreux 



136 V. Bjerknes. 

agiront les uns sur les autres comme des aimants permanents dont l'action 
apparente à distance serait changée de signe. 

La première idée d'une analogie de ce genre est due à Euler, qui 
n'a pas soupçonné pourtant la nature inverse de la force à distance. * 
L'énoncé précis et la démonstration rigoureuse sont dus à Lord Kelvin.' 

38. Les développements de Lord Kelvin s'appuyaient sur l'analogie 
géométrique qu'avait énoncée v. Helmholtz dans son mémoire célèbre sur 
les mouvements tourbillonnaires. Montrons la connection de l'analogie que 
nous avons développée ici avec celle de v. Helmholtz. 

Pour y arriver remarquons qu'au lieu de considérer des corps infini- 
ment lourds, nous pouvons considérer des corps d'une densité quelconque. 
Mais pour assurer leur immobilité dans l'espace il faut ou bien ajouter la vi- 
tesse d'énergie nécessaire, ou bien se donner une distribution de tourbillons 
tout à fait particulière. Dans le cas de l' électromagnétisme cela veut dire 
que si l'on donne aux corps des perméabilités magnétiques quelconques, il 
faut par des polarisations magnétiques intrinsèques particulières, ou par des 
distributions particulières de courants électriques, s'arranger pour que le 
champ extérieur reste le même que dans le cas de corps infiniment diamagné- 
tiques. Ces magnétisations ou ces courants ont donc pour but de donner 
aux corps l'aspect extérieur de corps infiniment diamagnétiques. 

Cela étant, supposons que le fluide qui constitue les corps ait la 
même densité que le fluide extérieur. Supposons la vitesse d'énergie nulle 
et supposons donnée une distribution de tourbillons dynamiques, assujettie 
à la condition de laisser les corps stationnaires dans l'espace. Nous re- 
tombons donc au cas des équations (12, c), et l'analogie se transfère immé- 
diatement de l'intensité de champ et du tourbillon dynamique à la vitesse 
actuelle et au tourbillon cinématique. On peut donc, dans ce cas, comparer 
aussi la vitesse actuelle à l'intensité de champ magnétique, et le tourbillon 
cinématique au courant électrique: c'est la comparaison de v. Helmholtz. 

Mais V. Helmholtz énonce son résultat sous une forme moins spécialisée. 
Car pour lui la distribution de tourbillons est quelconque, et il n'est pas 

* Euler, Lettres à une princesse d^ Allemagiiey T. III, lettres clxxvi — clxxviii. 

* Sir W. Thomson, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Feb. 
187O: Papers on Electrostatics and Magnetism, London 1 872, p. 567 — 571. 

Philosophical Magas'.ine, 4:th. Series, T. 45, p. 337 — 38. 1873. 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 137 

nécessaire que les masses fluides, possédant le mouvement tourbillonnaire, 
forment des corps stationaires dans Téspace. Ces corps peuvent avoir des 
mouvements quelconques. Mais on ne gagne cette généralisation de l'ana- 
logie géométrique qu'aux dépens de l'analogie dynamique qui disparaît to- 
talement. Ce fait est mis en pleine évidence par les exemples qu'on 
calcule ordinairement dans les cours d'hydrodynamique. On trouve par 
exemple que deux filets de tourbillons de même intensité exécutent un 
mouvement de rotation Tun autour de l'autre, s'ils sont de même signe, 
et un mouvement de translation l'un auprès de l'autre s'ils sont de signes 
contraires. Mais on ne trouve pas la moindre trace d'une attraction ou 
une répulsion entre les filets comme entre des courants électriques paral- 
lèles. Du moment, au contraire, qu'on introduit la condition que les filets 
de tourbillons garderont leur situation dans l'espace, on trouvera une répul- 
sion en cas de rotations de même sens, et une attraction en cas de rotations 
de sens contraire. Ce résultat peut être vérifié expérimentellement à l'aide 
de corps solides cylindriques auxquels on donne un mouvement de rota- 
tion dans l'eau. 

Comme le prouve ce cas particulier, et comme le montrent les dé- 
veloppements de Lord Kelvin, ainsi que les développements tout différents 
que nous venons de donner ici, c'est seulement dans le cas des tourbillons 
stationnaire dans l'espace que s'approfondit l'analogie de v. Helmholtz, en 
s'étendant aux forces apparentes à distance entre les tourbillons. 



XI. État de mouvements vibratoires. Analogie de €• A. SJerknes. 

39. Considérons maintenant l'état de mouvement vibratoire. Dans 
un tel mouvement, le tourbillon dynamique, s'il existe, doit être aussi né- 
cessairement vibratoire, et par conséquent fonction du temps. Mais nous 
avons démontré que la valeur de ce tourbillon est indépendante du temps 
(12). Pour éviter cette contradiction il faut donc nécessairement supposer 
que ce tourbillon est partout identiquement nul 

/~=: m = n = o. 

C'est par cette condition que se restreint le domaine de l'analogie physique 
dans le cas des mouvements vibratoires. 

Acta mallumtUica. 30. Imprimé lo 2L octobre 1905. ^° 



138 V. Bjerknes. 

Dans ce cas les équations (20, A — D), qui démontrent Tanalogi géomé- 
trique, se réduisent à 

u = kû + ^h j 
(A) 



(B) 



V = 


= kv 


+ ?'«, 


w = 


= kw + w,, 


dïô 


dv 









0, 


3y 


dz 


7 


9a 


d¥ 






-^— — 


= 0, 


dz 


dx 


7 


dv 


dû 




- 


_ — 


0, 


dx 


»y 


7 


du . 


9v , 


dw 


— h 


h 


e 


dx ^ 


3y^ 


dz 



(0) 

jointes aux conditions que dans le fluide fondamental on a 

u, = Oj e = o, 

(D) n = o, k = ko, 

tt\ = o, 

De même les équations (25, A), qui démontrent Tanalogie dynamique in- 
verse, se réduisent à 

/■Ci\ ^ - I /-^W.« , ^dVe , -dWe\ , I /-j , -j , -9sdk 

(E) Te = -ev+ [u- + v^-- + w—j + -(«» + r' + w')-, 

Z, = -e'v + («- + t>- + W-) + -(«' + v^ + »^')^ . 

Ces équations sont satisfaites à chaque instant pendant le mouvement. 
Il faut en déduire ce que constatera un observateur, ayant des sens trop 
grossiers pour voir les petites oscillations, mais observant seulement ce qui 
en résulte en mo venue. 



Recherche snr les champs de force hydrodynamiques. 139 

40. Soit f{t) une fonction périodique du temps de période r, 

(a) f{t +t) = fit), 

La fonction doit avoir des valeurs toujours finies, mais la période r doit 
être une petite quantité du premier ordre. Je suppose de plus que cette 
fonction périodique ait pour une période une valeur moyenne linéaire nulle, 
et une valeur moyenne quadratique égale à i, 

(b) lff(t)dt==o, 

t 

(c) \f\mydt=i. 

t 

Évidemment ces conditions ne restreignent pas essentiellement la forme de 
la fonction f{t). Citons comme un exemple d'une fonction qui jouit de 
ces propriétés 

(d) /•(0 = >/2sin2;r(^ + aj. 

Des hypothèses faites il résulte que nous pouvons toujours écrire 

(e) ffit)dt = e 

t 

f étant un temps quelconque et e une petite quantité du premier ordre. 

41. Remarquons maintenant que la vitesse d'expansion jointe à la 
vitesse d'énergie suffisent pour déterminer uniformément le champ de 
mouvement (18). Supposons donc ces quantités données comme des fonc- 
tions périodiques du temps par les équations 

e = e^ f{t\ 
(a) 

Ici ("myU^^mj^e.mi^^e.m sout dcs quautités indépendantes du temps qui don- 



140 V. Bjerknes. 

nent des mesures convenables de Tintensité moyenne des mouvements vibra- 
toires considérés. Car en vertu de (40, c) nous avons par exemple 

4 = - / e^dr. 

Eemarquons en outre que les quantités ^m» ^f,mj ^e,mi w?,^« oi^t les unes 
par rapport aux autres les mêmes signes qu'ont à une époque quelconque 
les quantités dépendantes du temps e,Ug,v^,Wg. D'autre part, en vertu 
de la propriété (40, e), les déplacements qui résultent des vitesses Ug,v^,w^y 
ou les changements de volume qui résultent de la vitesse d'expansion e, 
seront toujours des petites quantités du premier ordre. H en résulte comme 
un corollaire, qu'à une petite quantité du premier ordre près on peut con- 
sidérer le volume spécifique k d'une particule quelconque du fluide comme 
constante. 

Cela étant on voit de suite qu'à des petites quantités du premier ordre 
près on peut satisfaire aux équations (39, A — D) en écrivant 

(b) . v= vj{t), V = vj{t). 

Car la substitution de (a) et (b) en (39, A — C) donne 
(A) 



(B) 



(C) 



^m = 


= *^m + t^e,m, 


w^« = 


'-kw^ + w,^^, 






aam 

dz 


dWm 


av« 
dx 


'"» = 0, 

du 


dltfn , 

dx ' 


dy '^ di 



m 



Recherche snr les champs de force hydrodynamiques. 141 

relations auxquelles il faut joindre les conditions qui proviennent de la sub- 
stitution en (39, D), savoir 

We.m = 0, e^ = o, 

(D) ^.,m = o, k = ko. 

Si les quantités indépendantes du temps u^,v^y w^ , û^ i^mi^my'^e.mi %, m » 
w'«,»!»^«)^) satisfont aux équations (A — D), les formules (b) donnent la 
solution cherchée, qui est déterminée uniformément par les quantités 
données (a). 

Dans ce champ de mouvement vibratoire s'exercent des forces X, F, Z, 
dont les valeurs momentanées sont données par les formules (39, E). Cal- 
culons les valeurs moyennes. Pour la composante X cette valeur sera 

Xe,« = -/ XdT. 

En utilisant la propriété (40, c) de la fonction /*(<), nous trouvons donc 
sans difficulté 

X. = -e.«« + («.?^ + 1;.?!^ + «;,^) + ^K + t^. + <^ 

(E) T„ = -e^v^ + {ûj-^ + vj-^ + wj-^) + icüll + t^i + og, 



Zfn 



'm 






Comparons maintenant ces équations (A — E) aux équations primaires 
(39, A — E). On voit qu'elles ont exactement la même forme. Dans le 
cas des vibrations synchrones il n'est donc pas nécessaire d'écrire des 
formules différentes pour l'état de mouvement vrai, et pour l'état de 
mouvement moyen. On arrive aux équations qui décrivent l'état moyen 
simplement en changeant l'interprétation des symboles qui figurent dans les 
équations du mouvement vrai: on interprète les quantités u^VyW^U^v^w^ 
^* ) ^* > ^o i^ön plus comme les valeurs actuelles, mais comme les moyen- 
nes quadratiques des quantités en question, et on considère en même temps 
k comme indépendant du temps. 



142 V. Bjerknes. 

42. Quand on a ainsi changé Tinterprétation des symboles qui figurent 
dans les équations (39, A — E), il n y figure plus que des paramètres indé- 
pendants du temps. Pour Tétat de mouvement moyen l'analogie aux phé- 
nomènes électriques ou magnétiques subsiste donc indépendamment du 
temps. Dans cette interprétation des symboles, les équations (39, A — E) 
se distinguent des équations des champs électrostatiques ou magnétiques 
uniquement par le signe inverse des forces pondéro motrices (39, E). Pour 
un expérimentateur qui n'observe pas les petits mouvements, mais seule- 
ment les forces moyennes que subissent les corps, le système hydrodyna- 
mique semblerait donc être un système électrostatique ou magnétique, mais 
avec cette particularité singulière, que les masses de même nom s'attirent 
et les masses de nom contraire se repoussent. 

Le courant électroïdique étant nul, 7=wi = n^o, on voit que les 
formules (28, b) de la force résultante vers un corps se réduisent à 

X = — kofëûdr, 

(a) y = — kofêvdr , 

Z = — koJeivdTy 

formules dans lesquelles on interprète maintenant ë comme étant la moyenne 
quadratique de la quantité ë primitive. Les formules 

X = k^ Il ëëi- drdzi , 



(b) ^^'^'jj 



ee, — - — drdzt , 



Z =^ k II ee. dTdr. 

donnent aux forces l'apparence extérieure de forces à distance entre les 
masses électroïdiques ou magnétoïdiques libres ëdv et eidzi. Ce sont, avec 
le signe changé, les formules qui permettent de calculer toutes les actions 
à distance de l'électrostatique ou du magnétisme, soit que les masses libres 
dépendent d 'electrisations vraies, de polarisations électriques ou magnétiques 
intrinsèques, ou enfin du phénomène de l'influence. 



Recherche sur les champs de force hydrodynamiques. 143 

Les formules (a) et (b) sont indépendantes de la forme des corps. 
EUes renferment donc comme des cas particuliers tous les résultats de 
C. A. Bjerknes relatifs aux actions apparentes à distance entre des corps 
sphériques qui effectuent des mouvements de vibrations dans un liquide par- 
fait. Remarquons enfin que les expériences, à Taide desquelles C. A. Bjerk- 
N£S a vérifié dans une étendue si vaste ses résultats analytiques, réussissent 
aussi bien . avec des corps d'autres formes que la forme sphérique. Les 
résultats généraux analytiques, que nous venons de développer, sont donc 
déjà vérifiés dans une étendue considérable par des expériences concrètes. 



145 



UNE MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE ÉLÉMENTAIRE POUR L'ÉTUDE 
DE CERTAINES QUESTIONS DE LA THÉORIE 

DES COURBES PLANES* 

PAS 

HELGE VON KOCH 

à STOCKHOLM. 



Jusqu'à répoque où Weierstrass inventa une fonction continue ne 
possédant, pour aucune valeur de la variable, une dérivée déterminée,' 
c'était une opinion bien répandue dans le monde scientifique que toute 
courbe continue possède une tangente déterminée (du moins en exceptant 
certains points singuliers); et Ton sait que, de temps en temps, plusieurs 
géomètres eminents ont essayé de consolider cette opinion, fondée sans 
doute sur la représentation graphique des courbes, par des raisonnements 
logiques. ' 

Bien que l'exemple dû à Weierstrass ait pour toujours corrigé cette 
erreur, cet exemple ne satisfait pas l'esprit au point de \nie géométrique; 

* Une partie du présent travail est la reproduction d'un article paru dans Arkiv 
för mathematik, astronomi och fysik (utg. af K. Sv. Vet.Akademien, Stockholm), 
Bd. I, p. 68 1. 

' Voir Journ. f. Math., t. 79 (1875). 

' Parmi ces tentatives nous citerons celles d'ÂMPÈRE (J. éc. pol. cah. 13) de 
Bertrand (Traité de C. diff. et intégr. ; t. i) et de Gilbert (Brux. mém. 8^, t. 23 
(1872)). — On trouve des notices historiques et bibliographiques dans Touvrage de 
M. E. Pascal: Esercisi e note crit. di calcole infinitesimale p. 85 — 128. Milano 1895. 
— Voir aussi Encyklopädie der Math. Wiss. II. A. 2, p. 63 et l'ouvrage de M. Dini 
(traduction LCrotii-Schepf): Grundlagen für eine Theorie der Functionen einer ver- 
änderlichen reellen Grösse, p. 88 suiv., p. 205 — 229. 

Ada muUi€niati(M. ;)0. Imprimé le 17 octobre 190Ô. X9 



146 Belge von Koch. 

car la fonction dont il s'agit est dcfinie par une expression analytique qui 
cache la nature géométricjue de la courbe correspondante de sorte qu'on 
ne voit pas, en se plaçant à ce point de vue, pourquoi la courbe n*a pas 
de tangente; on dirait plutôt que l'apparence est ici en contradiction avec 
la réalité du fait, étal)li par Weieusthass d'une manière purement ana- 
lytique. ^ 

C'est pourquoi je me suis demandé — et je croLs que cette question 
est d'importance surtout au point de vue de l'enseignement des principes 
fondamentaux» de l'analyse et de la géométrie — si l'on pouvait trouver 
une courbe sans tangente où l'apparence géométrique fût en accord avec le 
fait dont il s'agit. La courbe que j'ai trouvée et qui fait l'objet principal 
de l'étude suivante est définie par une construction géométrique, suffisam- 
ment simple, je crois, pour que tout le monde puisse pressentir, déjà par 
^l'intuition naïve »,^ l'impossibilité d'une tangente déterminée. 

Cette construction n'est d'ailleurs qu'un cas ])articulier d'une méthode 
qui peut servir dans l'étude de plusieurs questions concernant les courbes 
planes. On en trouvera des indications dans les deux derniers paragraphes. 



Introduction . 

Nous commençons par rappeler quelques notions dont nous aurons 
besoin dans la suite. 

Un ensemble de points C dans un plan s'appelle un arc de courbe si 
on peut lui faire correspondre un segment rectiligne Ali de telle manière 
qu'à tous les points de ÄB correspondent des points déterminés constituant 
l'ensemble 6'. 



' Parmi les nombreux exemples analogues qui ont été publiés après celui de Wkier- 
strâss, il n'y a aucun, à ma connaissance, auquel ne s'applique la même remarque. 
Un essai de C. Wiener (Journ. f. Math , t. 90, p. 221 ; Cf. Weierstrass, FnncUomn- 
lehre, p. lOO) d'élucider géométriquement la courbe détinie par la fonction de Weier- 
HTRASS ne suffit pas, semble-t-il, pour lever la difficulté dont il s'agit. 

* J'emprunte cette expression à une conférence de M. Klein sur le caractère ma- 
thématique de l'intuition de l'espace (1893). 



Une méthode géométrique élémentaire. 147 

Considérons un tel ensemble et désignons par A''(X) le point de C 
i[m correspond au point X du segment AB. Soit X' un point quelconque 
Ae AB y K[X') le point correspondant de C\ on dit que la courbe est eon- 
timie au point A'(X) si le 'point K{X') s'approche indéfiniment du point 
K[X) quand X' tend vers X d'une manière quelconque; si cotte condition 
est vérifiée pour tout point de Tare considéré, on appelle celui-ci un arc 
de cùurbe continue ou un arc continu, ^ 

Soit O un tel arc, K{X) un point de C correspondant au point X de 
AB] s'il y a sur AB \m point X' distinct do X (et distinct de B si X 
coïncide avec A^ distinct de ^ si X coïncide avec B) tel que le j^oint 
correspondant Ä(X') coïncide avec A^X), ce point s'appelle un point mul- 
tiple de la courbe; dans le cas contraire, K{X) s'appelle un point simple. 
Si tous les points de l'arc C sont simples, celui-ci s'appelle un arc continu 
simple ou encore, d'après la terminologie de M. Hilbert, une courbe de 
M. Jordan. Enfin, un tel arc s'appelle fej'm^ ou ouvert selon que les 
points K{A) et K{B) coïncident ou non. 

Considérons un tel arc ouvert C\ Soient X, , Xj deux points du seg- 
ment AB et désignons par Xi , x^ leurs distances respectives du point A. 
On dit que le point K{X^) de C jyrécède ou succède le point K{X^) selon 
que x^ <x^ ou x^ > x^. Si l'on prend sur AB trois points X, , X^ , X3 
on dit que le point K{X^) de la courbe est intermédiaire aux points K{X^), 
K{X^) ou que ce point est situé entre les deux autres, si le point X^^ est 
situé entre les points Xj , X3. Les points K{A) , K{li) de la courbe qui 
correspondent aux extrémités du segment AB s'appellent les extrémités de 
l'arc considéré. Si l'on fait parcourir à X le segment AB dans le sens 
convenu comme positif, on dit que le point correspondant K parcourt 
Tare de courbe C dans le sens positif. 

Si l'on joint deux points AT, A' de la courbe par une droite, celle-ci 
s'appelle une sécante de la courbe et la partie de cette sécante comprise 
entre K et K' s'appelle une corde de la courbe. 

Fixons le point K et faisons tendre K' d'une manière quelconque vers 
A"; si la sécante A'A"' tend alors vers une direction limite T bien déterminée. 



^ Analytiquement, la dernière condition revient à supposer los coordonnées car- 
tésiennes u , V d'un point do la courbe exprimables en fonctions continues par rapport 
à un paramètre. 



148 Helge von Koch. 

on dit que la courbe a eu K une tangente et la droite T s'appelle la 
tangente de C au point K] ^ dans le cas contraire on dit que la courbe 
n'a pas au point K une tangente déterminée ou, d*une manière plus brève, 
que la courbe est sans tangente en K. 

Supposons que la courbe considérée ait au point K une tangente dé- 
terminée T. Soient L et M deux points voisins sur la courbe tels que 
K se trouve entre L et M. Alors la sécante LM tend nécessairement 
vers T comme position limite quand L et M tendent vers K tout en 
restant sur la courbe à des côtés opposés par rapport k K,^ 

Eappelons enfin la définition de la longueur d'un arc de courbe KK\ 
Intercalons sur cet arc, entre K et K\ un certain nombre de points Ä,, 
Äj , . . . , Äi, et considérons la ligne polygonale formée par les cordes KK^ , 
jSTjif, , . . . , KnK\ Faisons augmenter indéfiniment le nombre de ces points 
intermédiaires de telle manière que la longueur de chacune de ces cordes 
tende vers zéro. Si la longueur de la ligne polygonale ainsi définie tend 
vers ime valeur finie et déterminée i, on dit que Tare de courbe KK' 
est rectifiable et a pour long near L, 

Dans le cas contraire on dit que Tare n'est pas rectifiable. On prouve 
dans ce cas que la longueur de la ligne polygonale tend vers Finfini, et 
l'on convient de dire que la longueur de l'arc est infinie. 



I. 

Définition de la courbe P et de la fonction /"(«> — Continuité. — 

Non-existence de Ut tangente. 

I. Joignons par une droite deux points ^ et J? d'un plan (fig. i). 
Partageons le segment Ali en trois parties égales AC ^ CE ^ EJi^ et con- 

* Nous considérons la direction de K vers K' comme la direction positive de la 
sécante KK' si K' succède K sur la courbe, ce qui détermine la direction positive de 
la tangente T, 

* Ce théorème simple, que nous n'avons pas rencontré ailleurs, est d'une grande 
utilité dans la suite. La démonstration est immédiate. En effet, si K est précédé par 
L et succédé par il/, LK et KM coïncident, à la limite, avec la direction positive de 
T y donc l'angle formé par ces directions tend vers zéro; or, cet angle étant supérieur 
à l'angle KLM^ ce dernier tend aussi vers zéro, ce qui prouve que LM coïncide, à la 
limite, avec la direction positive de T, 



Une méthode g^métrique élémentaire. 



149 



struisons sur CE comme base un triangle equilateral CDE. Nous aurons 
une ligne brisée ACDEB formée par 4 segments égaux. Pour fixer le 
côté vers lequel doit être tourné le triangle, nous conviendrons de regarder 
une direction (par exemple celle de A vers B) comme positive et de con- 
sidérer comme positif le côté laissé à gauche quand on parcourt le segment 
dans le sens positif. Pour abréger, nous désignons par ii cette opération 
au moyen de laquelle on passe d'un segment rectiligne AB à la ligne po- 
lygonale ACDEB déviant de AB vers le côté positif. 




B 



C E 

Fig. 1. 



Wt-^ 



,^A 



A 




/\. 





8 U 



C 



Fig. 2. 



B 



2. I^artons maintenant d'une ligne droite déterminée Ali^ le sens de 
A vers B étant considéré comme positif (fig. 2). Par l'opération Ä, AB 
est remplacée par la ligne brisée ACDEB ^ les segments AC,CD^DE^EB 
étant égaux entre eux et leur sens positif étant respectivement celui de A 
vers 6\ de C vers D, de D vers E^ de E vers B, 

Effectuons l'opération U sur chacun de ces segments; la ligne ACDEB 
sera remplacée par la ligne brisée AFGHCIKLDMNOEPQRB composée 
de 16 segments égaux AF ^ FG etc. 



150 Helge von Koch. 

Sur cliacuu de ces derniers sei^ments nous effectuons encore Topération 
ü\ nous aurons une ligne brisde ASTUF, . . composée par 4' = 64 seg- 
ments égaux entre eux AS ^ ST etc. 

Effectuant l'opération ii sur chacun de ces nouveaux segments et 
continuant ainsi indéfiniment, nous obtenons une suite indéfinie de lignes 
polygonales que nous désignerons par 

et qui se composent respectivement de 

ï > 4 > 4 , • • • j 4"~ , • • • 

côtés. P, désigne la droite primitive AB, P^ la ligne ACDEB et ainsi 
de suite. 

Nous allons voir que, quand n croît indéfiniment, P„ tend vers une 
courbe continue P qui ne possède, en aucun point, de tungente déterminée. 

3. Nous nommerons sommets de Pj les deux points A et 7i, sommets 
de P2 les 4 + ï points A^C, D, E , Ii, sommets de 1\ les 4'+ 1 points 
A y F , G y . . , y Ii et ainsi de suite. On voit que P^ aura 4"""^ + i sommets, 
que tous les 4""^ + i sommets de P„_i sont aussi des sommets de P„ et 
que, par suite, le nombre de sommets nouveaux introduits par le passage 
de P„_, à P^ est égal à 3.4""'. 

Désignons par S Tensemble des sommets de toutes les lignes (i). 
De la construction résulte que si Ton considère un côté quelconque KL 
d une ligne quelconque P^ il y aura, dans chaque voisinage de AT, une 
infinité de points S situés sur KL; désignant par IK le côté de P« qui 
précède KL il y a par la même raison, dans chaque voisinage de A", une 
infinité de points S situés sur IK. Les côtés IK et KL formant entre eux 
un angle IKL égal, selon les cas, à 60® ou à 1 20°, on peut donc affirmer 
que la droite joignant deux sommets quelconque K et K' ne peut pas 
tendre vers une position limite déterminée quand le point K' (tout en 
restant sommet) tend vers K d'une manière quelconque. (Si K= A ou 
K = B il faut modifier légèrement le raisonnement qui précède). 



Une méthode géométrique élémentaire. 151 

Désignons par S' Tensemble des points limites ^ des points S. 

Chaque point de la courbe que nous allons définir sera ou un sommet 
ou un point limite des sommets; autrement dit, notre courbe sera composée 
j)ar un ensemble de points P compris tout entier dans Tensemble S\ *^ 

4. Pour définir P, nous allons faire correspondre à chaque point X 
du serment AB un point déterminé K{X) de P et nous introduirons en 
même temps une fonction continue f{x) qui joue un rôle fondamental 
pour rétude de la courbe. 

Désignons par x la distance de A au point X. Si ce point appartient 
à S' nous prendrons 

K{X) = X 

et 

f{x) = o. 

Dans le cîis contraire nous menons de X une perpendiculaire XX^ à 
AX (dirigée vers le côté positif de Ali). 

En prolongeant suffisamment cette perpendiculaire, on rencontre né- 
cessairement le contour d'une ou de plusieurs des lignes P^. Soit P« la 
première ligne rencontrée et X^ le point de rencontre. 

Si X^ est un point de S' nous prenons 

K{X) = X, 

et nous désignons par f{x) la longueur XX,. 

Dans le cas contraire, X, appartient à un des segments rectilignes 
qui composent P«, terminé par deux sommets consécutifs — soit Ä, et S^ 
— de P„. Menons alors de X, une perpendiculaire XjX^ à S^S^ (dirigée 
vers le côté positif de S^S.2), Soit Pß la première des lignes (i) qu'on 
rencontre — soit en X2 — en prolongeant suffisamment la perpendiculaire 
dont il s*agit. 

* D'après la terminologie de M. G. Cantor, S' est la première dérivée de S. 
D'après ce qui a été dit plus haut il résulte que tout point de S appartient à S\ Dire 
qu'un point K appartient à S' revient donc à dire que c'est ou un sommet ou un point 
limite des sommets. 

* Réciproquement tout point de 8' appartient à P, c'est-à-dire on a P = S', ce 
qui résulte facilement des résultats que nous allons établir. 



l52 äelge von ßoch. 

Si X2 est un point de *S" nous ferons 



KiX) = X 



2 



et nous désignerons par f{x) la somme des longueurs XX^ et XjX,. 

Si X, n'est pas un point de S' nous désignons par T^ , T, les ex- 
trémités du segment de P5 sur lequel se trouve X^; ces extrémités seront 
certains sommets consécutifs de P^. Nous élevons de X^ une perpendi- 
culaire X2X3 sur T/I\ vers le côté positif et désignons par X, le premier 
point de rencontre avec une des lignes P„. 

Continuant ainsi de proche en proche deux cas pourront se présenter. 
Ou bien on rencontrera, après avoir élevé un certain nombre de perpen- 
diculaires : 

XXi , Xi x, , . . . , x^.i x^ 

dont on désignera respectivement par f^{x) , /i(ic) , . . ., fk{x) les longueurs, 
un point X^ appartenant à S\ et alors on prendra Ä^(X) = X^ et désignera 
par f{x) la somme de ces perpendiculaires; ou bien on ne rencontrera 
jamais un point de S\ Dans le dernier cas, on aura une suite indéfinie 
de perpendiculaires 

(2) XXj , XjXj , XjXg , . . . 

dont on désignera les longueurs respectives par f^{x) , f^(.T) ^ f^{x) , , , . et 

dont la somme sera, ainsi que nous démontrerons, égale à un nombre fini. 

En effet, prenant la distance AB comme unité de longueur, le segment 

CE est égal à et la perpendiculaire abaissée du point D (fig. 2) sur CE 

est égal à ^v^S- CDE étant le plus grand triangle de la figure, on a 
évidemment 

f,ix) = xx,<yj 

pour toute valeur de rc de l'intervalle considéré 

(3) o<ir<i. 

Les triangles FGH^IKL etc. construits sur les côtés de 1\ = ACDEJi 



Une méthode géométrique élémentaire. 153 

ayant leurs côtés éf^ux à -, ceux construits sur les côtés de P. ayant 
leurs côtés égaux à — et ainsi de suite on obtient de même 



^8(^) = ^,^»<^^V^3, 



(4) 



/,(a;) = X,_iX4<--fv'3, 



pour tout r intervalle (3). 

La somme des longueurs (2) ne peut donc pas être supérieure au 
nombre 



-,V3(-3 + ^, + ^. + -.-)=-v/3 



et est, par suite, convergente. La somme de cette série dont Texistence 
est ainsi démontrée sera désignée par f{x)\ en suivant indéfiniment la ligne 
brisée XX^X^X^,,, on approchera donc indéfiniment d'un point déterminé 
qui, nous le convenons, sera le point K[X) correspondant à X et dont la 
distance de X, mesurée le long de la ligne brisée XX^X^X^ . . . , sera égale 
à f{x). On voit immédiatement que ^^(X) fait partie de Tensemble S\ 
Si nous convenons, dans le cas où la suite des perpendiculaires (2) ne 
contient que k termes, de mettre 

nous avons donc une fonction f{x) définie, pour toute valour de x de Tin- 
tervalle o — i , par la formule 

f{x) = f,{x)^f,[x) + .... 

Tous les points K[X) ainsi obtenus constituent, par définition, notre 
ensemble 1\ A chaque point X sur AB correspond un point bien dé- 
terminé K{X) de P dont la position est définie moyennant la fonction f{x). 

Il nous faut commencer par prouver que cet ensemble constitue une 
courbe continue, dans le sens ordinaire de ce mot. 

Acta mathematioa. 90. Imprimé le 17 octobre 1905. 20 



154 Helge von ^och. 

5. De deux points K^ et K^ de P correspondant à des valeurs x, et 
x^ de rr, nous voyons que K^ precede K^ si x^ < x^ que K^ succède K^ dans 
le cas contraire. ' De trois points K^ ^ K^ , K^ correspondants aux valeurs 

K.^ est intermédiaire aux points K^ y K^. 

Ainsi, par exemple, entre les deux points ^ et J? de notre P nous 
avons trois points intermédiaires C^D.E appartenant à la ligne P^, 15 
points intermédiaires F^G^H etc. appartenant à P^ et ainsi de suite. 

De même entre deux sommets consécutifs S^ et 8^ de la ligne P^, 
qui sont, par définition, des points de P, il y a trois points intermédiaires 
(appartenant à Pa^^)y ^5 points intermédiaires (appartenant à Pa^2) et ainsi 
de suite. 

Nous avons défini un point quelconque K de P en menant successive- 
ment certaines perpendiculaires 

(2) XXj , -XjXj , . . . 

rencontrant respectivement P« en Xj, Pß en Xj, et ainsi de suite, X^ 
étant situé entre deux sommets S^ , S.^ de P^ et de même X, entre deux 
sommets T^ , I'^ de Pß etc. Le point K est donc, d'après notre définition, 
un point intermédiaire à Ä, et 8.^^ intermédiaire à T^ et T^ et ainsi de suite. 
Dans le cas où la suite (2) se prolonge indéfiniment nous aurons donc une 
suite infinie de segments 

décroissant indéfiniment et embrassant tous le point K qui se trouve ainsi 
intercalé entre des points dont la distance diminue indéfiniment. 

6. Il nous faut prouver que la fonction f{x) qui est une fonction 
bien déterminée do x dans Tintervalle 

(3) ^S^S^ 

est aussi continue dans cet intervalle. Pour cela nous montrerons d'abord 
que chacune des fonctions 

A(^),/,(aî), ... 



^ Cf. les définitions adoptées an débnt. 



Une méthode géométrique élémentaire. 155 

est continue dans l'intervalle dont il s agit et ensuite que la somme de ces 
fonctions y converge uniformément. 

Par définition, f^{x) est la distance d'un point d'une certaine ligne 
continue Cj (composée par une infinité de segments rectilignes) à la droite 
AB et cette fonction est donc nécessairement continue. Aux points ex- 
trêmes A , B cette fonction s'annule. 

f^{x) est la distance d'un point d'une certaine ligne continue (7, 
(semblable à CJ à un certain côté S^S,^ de la ligne polygonale P^J ^^ 
considérant f^{x) comme fonction de l'arc mesuré le long de S^S^ on voit 
que c'est une fonction continue de cet arc et, par conséquent, de la va- 
riable X dans l'intervalle correspondant. Or, f^{x) étant égal à zéro pour 
les valeurs de x correspondant aux extrémités S^ , S^ et la même circon- 
stance se présentant pour les côtés voisins de P^, on voit que f^{x) est 
continue dans tout l'intervalle (3). 

La même démonstration s'applique aux autres fonctions /'g (rr),/"^( rr), 

Toutes les fonctions f^{x), f^{x), ... sont donc continues dans Tintervalle (3). 

Maintenant, comme ces fonctions satisfont aux inégalités (4) dans cet 
intervalle, on voit que leur somme If^x) y converge uniformément. Donc, 
d'après un théorème classique, la fonctioii f[x) représentée par cette série 
est une fonction continue dans cet intervalle, 

7. Désignons maintenant par K{x) le point de P correspondant à 
la valeur x de l'intervalle o . . . i . Pour voir que P est un arc de courbe 
continue au point J5C, il nous faut montrer que 

limK{x')^K{x) 

pour 

lim x' = X 

c'est-à-dire que la distance entre les points K[x') et K[x) diminue indéfini- 
ment avec \x' — x\. 

Prenons d'abord le cas où K[x) est un point appartenant à une des 
lignes P^ ou, ce qui revient au même, que ce point soit défini par un 
nombre fini de perpendiculaires 

AA, , 2L, Aj , . . . , X;t_i Xjf 



156 Helge von Koch, 

rencontrant rospectiveraent les lignes polygonales 

P P P 

aux points Xj , X, , . . . , X^ des côtés respectifs 

(5) ^1^1 ? ^2^2 > • • • j ^'k^ky 

le point X^ étant sur P«. entre les sommets S^ et S^, Soient 

la suite (finie ou infinie) de perpendiculaires définissant le point K{x'), x' 
étant unej^valeur voisine de x. Il résulte de la construction adoptée que 
si Ton choisit |»'— a;| suffisamment petit on peut faire en sorte que les 
points 

appartiennent respectivement aux côtés (5) et que la disfcince entre X^ et 
Xig soit inférieure à une quantité d donnée d'avance. 

Or, on passe du point X^ au point K{x') par une suite de perpen- 
diculaires 

Z' Y' Y' Y' 

de longueurs respectives 

fk^l\^ ) y fk-\-2\^ ) y • • • • 

Comme 

/*+i(i»^) = o, f,^^{x) = o , . . . 

on a, à cause de la continuité de la somme }!fy{x), 

lim(^^,(a;') + /;+2K) + ...) = o. 



X -x 



La distance absolue entre les points X^ et K{x') ne pouvant être su- 
périeure à la longueur de la ligne brisée 

Y' Y' Y' 
c'est-à-dire à 



Une méthode géométrique élémentaire. I 57 

on voit donc que cette distance tend vers zéro avec \x' — x\. Comme il 
en est de même de la distance entre X^ et Xj^ = K{x)^ il est donc prouvé 
que la distance entre K{x) et K{x*) diminue indéfiniment avec \x' — x\. 
Considérons en second lieu le cas où le point donné K{x) est défini 
par un nombre illimité de perpendiculaires 

rencontrant respectivement les lignes 

P P 

aux points 

Y Y 

des côtés 

SiS[ , S^S!^ , . . . 

et conservons d'ailleurs les notations du cas précédent. 

Soit s une quantité donnée; choisissons k suffisamment grand pour 
que la somme 

soit moindre que - , pour tout l'intervalle (3). On voit alors que la 

distance des points X^ et K{x) et de même que la distance entre -Xi et 

gl 
K[x') est moindre que -. Choisissons enfin \x' — x\ suffisamment petit 

pour que la distance entre X^ et -Xi soit inférieure à -, ce qui est toujours 

possible d'après ce qui précède. Il est alors évident que la distance entre 
K[x) et K{x') est moindre que e ou, en d'autres termes, que cette distance 
peut être rendue aussi petite qu'on le veut en faisant \x' — x\ suffisam- 
ment petit. 

Donc V ensemble P constitue un arc de courbe continue en chaque point. 

Dans ce qui va suivre, nous conservons la lettre P pour désigner la 
courbe ainsi définie. 

8. En joignant les points Ä ^ D et D ^ B (fig. 2) par des droites, 
on obtient un triangle ADB circonscrit à la courbe P, en entendant par 



158 Helge von Koch. 

là que tout point de F se trouve à l'intérieur ou sur le contour de ce 
triangle. En effet la construction adoptée montre d'abord que chaque 
sommet se trouve à Tintérieur ou sur le contour de ce triangle (ainsi, par 
exemple T, W^G ^K se trouvent sur la droite AI)) et il en est donc de 
même de l'ensemble S' des points limites des sommets. 

Par la même raison, le triangle AGC est circonscrit à la partie de la 
courbe P comprise entre A ei C (fig. 2), le triangle CKD est circonscrit 
à la partie comprise entre (7 et D et ainsi de suite. 

Par conséquent la partie de P comprise entre C et -EJ se trouve à 
rintérieur ou sur la limite du pentagone CKDNE (où l'on remarque que 
les côtés CK et EN sont perpendiculaires à AB), 




K N ^ M 



Fig. 3. 



De la même manière on voit que, si LM (fig. 3) est un côté quel- 
conque d'une ligne brisée P«, tout point de P intermédiaire à Z et ikf 
se trouve à l'intérieur ou sur le contour d'un triangle LMM où chacun 
des angles L et M est égal à 30®; et les points N et T divisant LM en 
trois segments égaux, la partie de P compris entre N et T se trouve né- 
cessairement compris dans un pentagone construit sur NI' comme base et 
semblable à celui dont il était question tout à l'heure. 

Pour abréger nous appellerons CE segment lacunaire de AB (fig. 2), 
FH segment lacunaire de AC etc.; d'une manière générale, LM (fig. 3) 
étant un côté de P«, le segment NT sera désigné comme segment lacunaire 
de ce côté. Adoptant cette terminologie, on voit que sur AB (fig. 2) il 

y a I segment lacunaire CE de longueur - {AB étant supposé =1), 2 
segments FH et PB de longueur f- j , 4 segments lacunaires de longueur 
(-] et ainsi de suite. La somme de tous ces segments est donc égale à 



Une méthode géométrique élémentaire. 15d 

ï 2 2'-' 

- + -i + . . . H — + ...= l 

3 3 3" 

c'est-à-dire égale à la longueur de AB, 

Par la méthode adoptée pour définir la courbe P, on a été amené à 
construire sur chaque segment lacunaire comme base un triangle equilateral; 
et l'opération ü définie au n° i consiste précisément à remplacer un 
segment lacunaire (par exemple FH) par une ligne brisée {FGH) com- 
posée par les deux autres côtés du triangle en question. 

Convenant de désigner par A l'opération qui consiste à effectuer l'opéra- 
tion a sur tous les segments lacunaires de AB simultanément, on voit que, 
par cette opération, la droite AB se trouve remplacée par une certaine courbe 
continue C, composée par des segments rectilignes formant entre eux des 
angles égaux à 6o^. C'est la courbe dont il a été question au n® 6; son 
équation en coordonnées rectangulaires {A étant l'origine et AB l'axe des 
x) peut s'écrire 

f^{x) étant la fonction définie au n® 4. 

Au lieu de définir la courbe P à l'aide d'une suite d'opérations iJ, nous 
pouvons maintenant l'obtenir par une succession d'opérations A. Après 
avoir remplacé, à l'aide de l'opération /l, la droite primitive AB par la ligne 
Cj, on peut effectuer sur chacun des segments rectilignes qui composent 
C^ la même opération et ainsi indéfiniment. On obtient ainsi une succes- 
sion illimitée de courbes 

et des considérations bien simples montrent qu'on arrive ainsi à une courbe 
limite identique à P. 

En adoptant cette méthode de définir P, on peut démontrer simple- 
ment que tout point de P est un point simple de la courbe ou, en d'autres 
termes, qu'à des points distincts X , X' de AB correspondent des points 
distincts K{X) , K{X') de la courbe. Soient en effet 

et 



16Ö Helge von Kock. 

les suites de perpendiculaires définissant respectivement K{X) et K{X') et 
admettons que les points limites K{X) et K[X') coïncident; nous en con- 
clurons que X et X' doivent coïncider aussi. 

Considérons d abord le cas où les deux suites {K) et {K') sont illi- 
mitées. 

Le point X de ÄB doit se trouver sur un des segments lacunaires 
de ^ß (les extrémités du segment étant exclues); car dans le cas contraire 
X serait un sommet ou un point limite des sommets et Ton aurait, par 
suite, K{X) = -X contrairement à Thypothèse. Par la même raison X' doit 
se trouver sur un segment lacunaire. Il est clair dès lors que -X et X' 
doivent se trouver sur le même segment lacunaire; car dans le cas con- 
traire on pourrait affirmer, d après ce qui précède, que K{X) et K{X') se 
trouveraient respectivement compris dans deux pentagones n'ayant aucun 
point en commun, ce qui serait contraire à Thypothèse K{X) = K{X'). 

Par définition, X^ désigne le point où la perpendiculaire XX^ ren- 
contre la ligne C\ ; X^ est donc un point d'un certain segment rectiligne 
de C^ et le même raisonnement que plus haut montre que X^ doit ap- 
partenir à un segment lacunaire ; de même XJ doit appartenir à un segment 
lacunaire et on conclut comme plus haut que Xj et XJ appartiennent né- 
cessairement au même segment lacunaire. Continuant ainsi de proche en 
proche on démontre que quelque grand que soit A, les points X^ et X^ se 
trouvent sur le même segment lacunaire. Or le segment qui comprend Xj 
et X[ fait, d'après la construction adoptée, un angle égal à 60® ou 120^ 
avec le segment comprenant X et X'. Désignant par XX' la distimce entre 
les points X et X' on a donc la relation 

X,X;=2XX'; 

le même raisonnement s'appliquant aux points X^ , XJ on a la relation 
générale 

X^XJ = 2X^_iXi_i (*=2,3,...) 

d'où 

x,x; = 2*xx' 

ce qui, X^ et XJ tendant par hypothèse vers un même point K{X)^= ^^(X'), 

exige nécessairement 

XX' = o 

c'est-à-dire que les points X , X' coïncident. 



Une méthode géométrique élémentaire. 161 

H nous reste à considérer le cas où Tune au moins des deux suites 
[K) , {K') consiste d'un nombre fini de termes. Supposons par exemple que 
la suite {K) consiste de k termes 

XX^ , Xj Aj , . . . , A^_i Xj^ 

et que la suite {K') contienne un nombre de termes (fini ou infini) > k. 
Par les mêmes raisons que dans le cas précédent on voit alors que 
X et X' se trouvent sur un même segment lacunaire, que X, et X[ se 
trouvent sur un même segment lacunaire, . . . , que X^_i et X'^^^ se trou- 
vent sur un même segment lacunaire. Supposons que X et X' soient des 
points distincts; il en est alors de même de X^_i et Xi_i (car on a 
X;t_iXi_, = 2*"'^XX') et, par conséquent, de X^ et X^; or Xi, = K{X) 
étant par hypothèse un point de Tensemble S* (c'est-à-dire un sommet ou 
un point limite des sommets), X^ ne peut pas être un point de S' (car 
alors on aurait Xi = jr(X') contrairement à l'hypothèse K{X') = K{X)). 
Par conséquent Xi doit appartenir à un segment lacunaire. Soit NT (fig. 
3) le segment lacunaire comprenant X^^^ et Xi_, ; alors X^ est un point 
de S* se trouvant sur l'un ou sur l'autre des deux côtés NB et TE et XJ 
appartient à un segment lacunaire — disons N^ T, — appartenant à l'un de 
ces côtés. Les points de la courbe P intermédiaires à iV, et T^ se trouvent, 
d'après ce qui précède, compris dans un certain pentagone dont le contour 
n'a d'autres points en commun avec les côtés JVIB et TB que les points 
du segment -AT, T, ; X^ est donc séparé de ce contour et ne peut pas coïn- 
cider avec le point K{X') (défini par la suite {K')) qui est un point de la 
courbe P intermédiaire à iV, et T,. Le théorème est donc démontré. 

Donc P est un arc continu simple, 

9. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème qui fait l'objet 
principal de notre étude. 

Théorème. La courbe P n'admet en aucun point une tangente dé- 
terminée. 

Considérons d'abord un point K de la courbe qui est en même temps 
un sommet d'une ligne polygonale P^- 

Acta maihetnaliea. 90. Imprimé le 18 octobre 1905. 21 



l62 Helge von Koch. 

Dans chaque voisinage de Ä" il y a une infinité de sommets K' et, 
d'après ce qui a été dit plus haut (pag. 150), nous savons que la droite 
joignant A" à un point K' ne peut tendre vei^s une limite déterminée 
lorsque K' s'approche de K d'une manière quelconque. Or, les points K 
et K' étant des point« de la courbe, la droite KK' est une sécante de P 
qui tendrait vers une position déterminée si la tangente en K existait. 
Donc la courbe ne peut pas avoir en K une tangente déterminée. 

Considérons, en second lieu, le cas où le point K est situé sur une 

ligne polygonale P« mais iVest pas un sommet. K est alors nécessairement 

un point limite des sommets et reste, par conséquent, commun à toutes 

les lignes 

P P 

On peut donc supposer Tindice a choisi aussi grand que l'on veut. 
Cela remarqué, soit LM le côté de P« sur lequel se trouve K (fig. 3) et 
LNRTM la ligne brisée obtenue en effectuant l'opération Ü sur LM, 
Les sommets N^ B, T sont donc des points de la courbe P et Ton a 

LN=NR = JiT=TM. 

Mais de là résulte que Tangle RKN est compris entre 30^ et 60®. 

Or, K est situé sur la courbe P entre les points L et N (ou entre 
les points T et M)\ donc,* si la courbe avait en K une tangente dé- 
terminée, la'^sécante KR tendrait (pour a = 00) vers la même limite que 
LN (ou TM) ce qui est impossible. Tangle formé par ces droites apparte- 
nant à Tintervalle 30** . . . 60°. 

Considérons, comme dernier cas, un point A" de P qui n est situé sur 

aucune des lignes P«. Dans ce cas, K est défini par une suite illimitée 

de perpendiculaires 

XAj , Aj Aj , AjAj , . . . 

rencontrant respectivement les lignes polygonales 

P« ) Pys » Py 

aux points Xj , X^ , X3 , . . . des côtés 

(6) S,8,, TJ,, Ü,U,,... 



i T7^; 



Voir r introduction. 



Une méthode géométrique élémentaire. 163 

D'après ce qui précède K est un point de la courbe P situé entre les 
points 8^ et 5,, entre les points T^ et T^, entre les points U^ et U^ et 
ainsi de suite. La suite des points 

s'approchent de K indéfiniment du même côté, c'est-à-dire ces points pré- 
cèdent tous le point K\ et c'est du côté opposé que s'approchent les points 

Q T TT 

Done, si la courbe avait en K une tangente déterminée, les sécantes 
(6) auraient cette tangente comme limite commune. Or, cela est impos- 
sible, l'angle formé par deux sécantes consécutives étant, selon les cas, égal 
à 6o° ou I20®. 

Le théorème est donc démontré pour tout point de la courbe. 



II. 

Questions de rectification et de qtuzdrature. — Seprésentatioti 

pammétHque. 

lo. Désignons par L^ la longueur de la ligne polygonale P^. Le 
segment ÄB (fig. 2) étant pris pour unité de longueur on a L^ = AB= i. 
Par l'opération i2, Pj se change en P,, cette dernière ligne ayant visible- 
ment la longueur -. En passant de P, et P^ la longueur se trouve en- 

core une fois multipliée par - et ainsi de suite. On a donc, d'une ma- 
nière générale 

v-l 



= (!) 



d'où 

lim 2y. = 00 



'¥ 

VaOO 



Il en résulte que la longueur de l'arc de courbe P compris entre A 
et B est infinie. De la même manière on peut démontrer le même de 
l'arc compris entre deux sommets quelconques, d'où se déduit sans diffi- 



164 Helge von Koch. 

culte que la longumr de V arc comjnis etitre detix points quelconques de la 
courbe est infinie. 

Il est aussi facile d'évaluer Taire comprise entre la courbe et lune 
de ses cordes. Prenons par exemple la corde ÄB. L*aire comprise entre 

ÄB = Pj et Pj est égale à Taire d'un triangle equilateral de base = - , 

c'est-à-dire égale à 

Taire comprise entre P, et Pj est égal à la somme de 4 triangles (voir 
fig. 2) équilatéraux de base égale à - ; cette aire est donc égale à 



4.i(-;)v-3=i^v3.(i)"- 



Pour avoir Taire A^ comprise entre P^ et F^^^ rappelons que P^ est 
une ligne polygonale de 4"""' côtés dont chacun est égale à -— [) pour 
passer de P, à P,^., on construit sur chaque côté un petit triangle equi- 
lateral de base — . On a donc 

3' 



A.= 4"-'.^.^v/3 = 76vi.(^y- 



L aire cherchée A étant égale à la somme des aires A, , A, , . . . on 
trouve donc 






c'est-à-dire 



A = — v/3. 



1 1 . Indiquons maintenant comment peuvent s'exprimer les coordon- 
nées cartésiennes 11 , v d'un point de la courbe P en fonctions uniformes 
par rapport à un paramètre. 

Comme axe des u nous prenons la droite AB (fig. 2), comme axe des 
V une droite passant j)ar A et perpendiculaire à -4 B (comptée positivement 



Une méthode géométrique élémentaire. 105 

du bas en haut). Soient x la distance d'un point quelconque X de ÄB 
à Torigine -4, K{x) le point correspondant de la courbe (défini, comme il 
a été expliqué précédemment, par une certaine suite de perpendiculaires 
-X-X, , X,X, , . . .), u=^u{x) et v:=^v[x) les coordonnées rectangulaires de 
ce point K. 

Nous avons posé plus haut 

XX,=f,{x\ X,X,=f,{x) , . . . 

et 

f{x) = f,{x) + f,{x)+,... 

La droite XX^ étant perpendiculaire à Taxe des w, sa projection sur 
cet axe est nulle. Quant à X^X,^^ cette droite forme avec Taxe des u un 
angle qui, selon les cas, est égal à 30*^ ou 150^. Désignons par {/^(ic)} 
la projection de X^X^ sur Taxe des u. Désignons, d'une manière ana- 
logue par 

(/;(^)} . {/.(x)) , . . . 

les projections de ^,^3 , X^X^ , . . . sur Taxe des u. 
Enfin, désignons par 

les projections de XX^ , ^i^, , ^j-Xj 1 • • • sur Taxe des v. (On a évidem- 
ment {{f,{x)}} ^ f,{x)), 

Il résulte de ces définitions que {fi{x)} et {(/i(^)}} sont des fonctions 
continues de x dans Tintervalle o . . . i et que les modules de ces fonctions 
sont au plus égaux à fi{x). Comme u{x) — x et v{x) sont respectivement 
les projections sur Taxe des u et Taxe des v de la ligne brisée 

(les extrémités de cette ligne étant les points X et K), nous pouvons donc 

écrire 

u = X + {f,{3>)} + {f,{x)} + . . . , 

(7) V =f,{x) + {{ax))) + {{ax))) +.... 

Comme la série Ify{x) converge uniformément dans tout Tintervalle 
o ... I , il en est de même, et à plus forte raison, des séries nouvelles 



166 Helge von Koch. 

ainsi définies qui représentent les coordonnées u ,v d*un point de notre 
courbe. Ces séries représentent donc des fonctions continues dans Tinter- 
valle dont il s'agit. 

Par les formules (7) nous avons donc les coordonnées u , v exprimées 
en fonctions uniformes et continues d*un paramètre x tout le long de la 
courbe. 

Nous verrons, dans le paragraphe suivant, comment une simple trans- 
formation permet de passer de la courbe P à une courbe P' où Ton peut 
choisir Tabscisse u elle-même comme paramètre et exprimer l'ordonnée v 
en fonction uniforme et continue par rapport à u tout le long de la courbe. 



III. 

Transformation de P en une courbe P ou Vordonnée est une 

fonction uniforme de Vaibacisse. 

12. Considérons dans le plan des coordonnées (a?, y) un segment 
rectiligne ÄB formant un angle quelconque avec Taxe des x (fig. 5). 
Partageons ÄB en trois parties égales ÄC ^ CE y EB et construisons sur CE 
comme base un triangle CDE dont la médiane MD {M étant le point di- 
visant la base CE en deux parties égales CM et ME) est parallèle à Taxe 
des y y dirigée vers les y positifs et égale à 

CE ,- 

On sait alors que cette médiane est égale à la médiane d un triangle equi- 
lateral construit sur la même base CE, 

Nous appellerons û' l'opération par laquelle on passe ainsi d'un seg- 
ment rectiligne AB à la ligne brisée ACDEB. 

13. Prenons maintenant sur Taxe des x un segment AB y A étant 
l'origine et la distance AB étant choisie pour unité de longueur (fig. 4). 
EjBEectuons sur le segment notre opération Q' (ce qui revient à effectuer 
l'opération ii définie au n® i). AB se trouve ainsi remplacé par une 
ligne polygonale ACDEB composée par 4 côtés et que nous désignerons 



Une méthode géométrique élémentaire. 167 

par P^2' Effectuant sur chacun de ces côtés la même opération û' on 
passe à une ligne polygonale PJ composée par 4' côtés, sur lesquels on 
effectue la même opération et ainsi de suite indéfiniment. Désignant, pour 
plus de symétrie, AB par Pj, on a ainsi défini une suite illimitée de lignes 
polygonales 

-M ) -^ » -^ > • • • • 

Je dis que ces lignes tendent indéfiniment vers une courbe continue 
P dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, peut s'écrire 

f>{x) étant une fonction uniforme et continue de x dans l'intervalle o. . . i. 





A s U P 



Pig. 4. 



14. Désignons par S l'ensemble des sommets (c'est-à-dire les points 
où deux côtés d'une ligne Pi se rencontrent) et par S' l'ensemble des points 
limites de S, (On voit que chaque point de S appartient à S'.) 

Soit X la distance d'un point quelconque X de AB à l'origine A. 
Si X est un point de S' nous prenons 

Dans le cas contraire nous élevons en X une perpendiculaire sur AB 

dirigée vers les y positifs. Cette perpendiculaire rencontre successivement 

certaines des lignes P^, soit 

P' pf p> * 

aux points respectifs 

V Y Y 

• 1 ) 3 > jj ) • • • • 



B 



1G8 Helge von Koch. 

Posons 

XX^ = ^^{x\ X,X, = jr,(rr), X^X^ = ^^{x) , . . . 

et convenons de mettre, si Xf^ est un point de S' 

Par un raisonnement tout analogue à celui employé plus haut (n° 6) 
nous voyons alors que les fonctions cr^(a;) sont uniformes et continues dans 
Tintervalle 0...1 et que leur somme ^{x) y converge uniformément. 
Donc si nous posons 

(8) y = 9>{^l (o<^<i) 

y est une fonction uniforme et continue dans cet intervalle. 

Nous voilà donc en possession d'une courbe P' où l'ordonnée s'ex- 
prime en fonction uniforme et continue (8) par rapport à l'abscisse dans 
tout l'intervalle considéré. 

15. Je dis que la fonction ^{x) n'admet pour aucmie valeur de x, 
une dérivée finie et déterminée, ^ 

Si K est un pçint de P qui appartient en même temps à Tune des 
lignes P^, la démonstration est tout analogue à celle employée plus haut 
pour la courbe P. 

Considérons donc le cas contraire où le point K est la limite d'une 
suite indéfinie de points X , X^ , X, , . . . , sa distance y à l'axe des x étant 
égale à la série infinie 

y = f^i(^) + î^ï(^) + f^sC^) + • • • • 

Supposons que la perpendiculaire XK rencontre successivement les 

lignes polygonales 

F P' 

aux points 

X Y 

1 y 3 > • • • 



' Nous laissons indécidé^ dans ce qui suit, sMl peut y avoir des valeurs x où la 
dérivée est déterminée mais infime. 



Une méthode géométrique élémentaire. 169 

mttt^ respectivement sur les cotés 

Il ) o^ o« «... 

de xîes lignes. ïoub les triangles construits successivement dans notre figure 
»yant leurs «ijédiaiies parallèles à Taxe des y nous pouvons (voir fig. 5) 
distingmer le côté CD d*un tel triangle situé à gauche de la médiane du 
côté DE situé à droite. Pour abréger le raisonnement qui suit, npujs 
apfWlerons les côtés tels que CD cotés à gaudie et les côtés t^ls que JOE 
cQt4$ à droUe. 

D 




Fig. 5. 

Cela convenu, remarquons tout d'abord que dans un triangle ODE de 
notre figure (fig. 5) construit sur un côté à gauche AB, CD est un côté 
à gauche formant avec AB un angle DCB moindre que 60® et que DE 
est un côté à droite formant avec AB un angle DEC plus grand que 60®. 

Le cas opposé se présenterait si AB était un eôté à droite. Donc, 
si dans la figure construite on considère deux côtés successifs (c'est-à-dire 
ayant un point commun) dont Tun est à gauche et l'autre à droite, ces 
deux côtés forment un angle qui reste, de quelque manière qu'on ce dé- 
place sur la figure, supérieur à 60®. 

16. Distinguons maintenant entre les trois cas suivants. 

i) Si grand que Ton choisisse l'indice A, il y a dans la suite 

(9) Sj^Sl , Si^^Sl^^ , . . . 

une infinité de côtés à gauche et une infinité de côtés à droite. De ce 
que nous venons de dire de l'angle formé par deux côtés successifs résulte 
alors que les droites (9) ne peuvent pas tendre vers une direction limite 
déterminée; par suite, le point K de la courbe étant situé entre les deux 

Acta matßunuUiea. W. Imprimé le 19 décembre 1905. 22 



170 Helge von Koch. 

points S^ et SI quelque grand que soit j;, il ne peut y avoir au point K 
une tangente déterminée. 

2) A partir d'un certain indice k tous les côtés (9) sont à gauche. 
Dans ce cas il est facile de voir que la droite S^Sl coïncide à la limite 

(pour v = 00) avec une droite parallèle à Taxe des y . En effet soit AB , CD 
deux côtés à gauche consécutifs (voir fig. 5) et soit DE le côté à droite 
correspondant (d'après la construction adoptée on a alors CM^=ME et la 
médiane MD est parallèle à Taxe des y). Désignons par ß Tangle DMB 
formé par le côté AB et la verticale et par ß Tangle formé par CD et 
la verticale. DM étant plus grand que CM en vertu de la construction, 
Tangle ^ ou CDM est plus petit que l'angle DCM d'où Ton obtient 

Cîonsidérant un côté à gauche consécutif à CD et désignant j}ar ß" 
l'angle qu'il forme avec la verticale on a, par la même raison 

et ainsi de suite. Par là on voit donc que les angles 

diminuent indéfiniment et tendent vers zéro. 

Or, le point K étant intermédiaire à S^ et Si nous savons que, s'il 
y avait une tangente T déterminée au point JST, la sécante S^Sl tendi*ait 
indéfiniment vers jf' comme position limite. Donc T serait nécessairement 
parallèle à Taxe des y, c'est-à-dire la dérivée de ^{x) au point considéré 
serait infinie. 

3) A partir d'un certain indice k tous les côtés (9) sont à droite. 
Comme dans le cas précédent, on arrive à la conclusion que si f>[x) 

avait une dérivée déterminée pour la valeur considérée de x, cette dérivée 
serait infinie. 

Le théorème énoncé est donc vrai dans tous les cas. 



Une méthode géométrique élémentaire. 171 



IV. 

Oénérnlisation de la méthode. 

17. Prenons sui* un segment rectiligne AB deux points C^E entre 
.^ et i? et désignons par a^b^c respectivement les longueurs des segments 
ACjCEjEB. Construisons sur CE comme base un triangle equilateral 
CDE tourné vers le côté positif de AB, 

Nous désignerons par i2(a, &, r) l'opération par laquelle on passe ainsi 
du segment AB à la ligne polygonale ACDEB composée par 4 segments 
ayant pour longueurs respectives a,b,b^c et nous appellerons respective- 
ment Uyb^c le premier, le second, le troisième paramètre de ii. 

Désignant par L la longueur de AB et par L' celle de la transformée 
de AB (c'est-à-dire la ligne ACDEB)^ on a la relation 

jy =L + b. 

La somme a -|- 6 -f- c étant égale à la longueur du segment AB^ on 
voit que, ce segment étant regardé comme donné, il y a une infinité double 
(dépendant de deux paramètres indépendants, par exemple a et b) d'opéra- 
tions û qu'on peut effectuer sur AB. Nous dirons qu'on effectue »une 
opération i2> sur AB si on effectue l'opération i2(a,6,c) avec des valeurs 
données positives (non nulles) de a yb , c (compatibles, bien entendu, avec 
la relation a -f 6 -f c = AB). 

Ces définitions adoptées, partons d'un segment rectiligne AB que nous 
désignons par P^ et dont la longueur i, sera choisi pour unité de longueur: 

/v, = I. 

Choisissons une suite de nombres positifs 

p p c- 

tels que 

1 > £, > s, > e^ > . . . 

et tels, en outre, que la somme 

£, -f e, + ^3 + . . . 
ait une valeur finie a. 



172 Helge von Koch. 

Effectuons sur P^ une opération U ayant pour second paramètre un 
nombre ô, remplissant la condition 

ce qui nous donne une ligne polygonale P^ composée par 4 côtés recti- 
lignes; effectuons sur chacun de ces côtés une opération ii où le second 
paramètre est au plus égal à s, ; nous obtenons alors une ligne polygonale 
P3 composée par 4*^ côtés; sur chacun de ces derniers nous effectuons une 
opération ü où le second paramètre est au plus égal à s, et ainsi de suite 
indéfiniment. 

Soit P, , Pj , P3 , . . . la suite des lignes polygonales ainsi définies et 
conservons d'ailleurs les mêmes notations que précédemment (n® 3, 4). 
Ainsi nous appelons sommet tout point où deux côtés successifs d'une ligne 
P„ se rencontrent (et aussi chacun des points ^ et -B) et nous désignons 
par 8 l'ensemble de tous les sommets, par S' l'ensemble des points limitas 
des sommets. A tout point X de ÄB nous faisons correspondre un point 
déterminé K{X) défini par une suite de perpendiculaires 

XX^ , A, X, , X,Xj , . . . 

successivement construites comme au n*^ 4. Désignant par x la distance 
de X au point A nous posons 

f^[x) = XX^, f^{x) = X^X^ , .... 

Dans le cas où X^ est un sommet ou un point limite des sommets nous 
prenons comme précédemment 

K{X) = X„ 

Dans le cas contraire on démontre facilement que Xj^ tend (pour k = 00) 
vers un point limite bien déterminé que nous désignons par K{X)\ car 

la somme 

f{x) = f,{x)^f,{x) + ... 

est convergente ce qui résulte des inégalités faciles à établir: 
et de l'hypothèse faite sur les c^. 



Une méthode géométrique élémentaire. 17B 

D© la même manière qu au n° 6 on peut démontrer que chacune 
(les fonctions fy{'x) est continue dans Tintervalle 0...1, que la somme £f^{x) 
y converge uniformément et que, par conséquent, f{x) est une fonction 
uniforme et continue dans cet intervalle. Et on conclut de là que l'en- 
semble des points K{x) obtenu en faisant varier a? de o à i constitue un 
arc de courbe continue P. 

Cette courbe possède des propriétés très différentes selon les diffé- 
rentes valeurs attribuées aux paramètres des opérations Q employées et 
Ton conçoit qu'il y a là une méthode pour construire des courbes possédant 
telle ou telle propriété exigée à Tavance. Dans ce qui suit nous nous 
bornerons à considérer un exemple particulièrement simple. 

Choisissons, dans chaque opération i2(flf,6,c) employée pour la con- 
struction de P, le premier paramètre a égal au troisième c et déterminons 
le second paramètre b de la manière suivante. Choisissons une suite de 
nombres décroissants 

et suffisamment petits pour que l'on f>ui«se effectuer sur AB = jP, une 
opération Q ayant A, pour second paramètre, sur chacun des segments de 
la ligne P, ainsi obtenue une opération ii ayant b^ pour second para- 
mètre et ainsi de suite. (Il suffit par exemple de supposer b^< , b^<-^ ^ 

Désignant la longueur de la ligne P^ par L^ on voit alors facile- 
ment que 

J^2 = ^'i + /^ , 

Lg = iyj + 4^2 J 



L, = />,_, + 4'-* 6, 



y— 1 > 



d'où 



¥-1 



174 Helge von Koch. 

Donc la limite de L^ (pour i; = oo) est finie ou infinie selon que 
la série 

converge ou diverge d'où Ton conclut que la courbe P est rectifiable dans 
le premier cas, non rectifiable dans le second cas. 

Considérons maintenant un point JïT de P. Si JST est un sommet on 
démonti'e, en raisonnant comme plus haut (n° 9) que la courbe P n'a pas 
une tangente déterminée en ce point ; il en est de même si K est un point 
limit« des sommets défini par une suite infinie de perpendiculaires 

-aAj , Aj Aj , . . . . 

Dans le cas au contraire où JK' est un point limite des sommets, défini 
par une suite finie de perpendiculaires, le raisonnement employé au n^ 9 
tombe en défaut si la série S^^h^ converge; il est donc douteux si Ton 
peut par la méthode adoptée former une courbe rectifiable et sans tangente^ 
et il y a lieu de se poser la question si de telles courbes existent ou non; 
en tout cas, une méthode de trancher cette question nous apporterait sans 
doute des connaissances nouvelles sur la structure infinitésimale des courbes 
planes. 



175 



SUR LES FONCTIONS CONVEXES ET LES INÉGALITÉS ENTRE 

LES VALEURS MOYENNES» 



PAR 

J. L. W. V. JENSEN 

à COPENHAGUE. 



I. Des fonctions convexes et concaves. Définition, Exemples. 

Dans sa célèbre Analyse algébrique (note II, pp. 457 — 59) Cauchy 
démontre que »la moyenne géométrique entre plusieurs nombres est toujours 
inférieure à leur moyenne algébrique». La méthode employée par Cauchy 
est extrêmement élégante, et elle à passé sans changement dans tous les 
traités d'analyse algébrique. Elle consiste, comme on sait, en ceci, que, 
de Imégalité 

y/db <l{a + ô), 

où a et Ö sont des nombres positifs, on est conduit à l'inégalité analogue 
pour quatre nombres, savoir 

y/^cd <"{a + b + c + rf), 

et aux suivantes, pour 8, 16, ..., 2"* nombres, après quoi ce nombre, par 
un artifice, est réduit à un nombre arbitraire inférieur, n. Cette méthode 
simple a été mon point de départ dans les recherches suivantes, qui con- 
duisent, par une voie en réalité très simple et élémentaire, à das résultats 
généraux et non sans importance. 



* Conférence faite à la Société mathématique danoise le 17 janvier I905. 

Ada ïtiuOithiatica. 90. Imprimé le 19 décembre 1006. 



176 J. L. W. V. Jensen. 

J'introduirai la définition suivante. liOi'squ'une fonction ^{x)^ réelle, 
finie et uniforme, de la variable réelle rr, satisfait dans un certain inter- 
valle à l'inégalité 

(1) <r(.T) + f.(.V)>2jr(-' + -"' 

on dit que ^(x) est une fonction convexe dans cet intervalle. 
Si au contraire ^{x) satisfait à l'inégalité 

(2) Hr.) + ^{y)<2^(^±l), 

on dit que f^{x) est une fonction concave. 

On suppose en outre que ces inégalités ne se réduisent pas con^tnm- 
ment, dans l'intervalle donné, à l'égalité 

(3) <f{x)-^^{y) = 2,p{^\y); 

dans ce cas la fonction ^{x) est dite »linéaire» dans l'intervalle donné. 

Cette expression a été adoptée parceque l'égalité (3) est satisfaite par 
^[x) = a + fer. 

H ressort de ces définitions que les fonctions »linéaires» forment une 
transition de la classe des fonctions convexes à celle des fonctions concaves, 
et qu'elles doivent être considérées comme des cas limites communs aux 
deux classes. 

Des définitions données il résulte immédiatement que — ^{x) est con- 
cave, lorsque ip(x) est convexe, et inversement. Il serait par suite suffisant 
dans ce qui suit de considérer seulement les fonctions convexes, puisque 
Ton passe si aisément d'une classe à l'autre. Comme toutefois il peut y 
avoir avantage à considérer les deux classes de fonctions, les fonctions con- 
caves seront aussi mentionnées de temps en temps; mais on devra se 
souvenir, même lorsque ce ne sera pas toujours rappelé, qu'à toute pro- 
position relative aux fonctions convexes correspond une proposition analogue 
pour les fonctions concaves. 

Comme l'objet principal de cette recherche est de présenter une série 
d'inégalités d'un caractère général, comprenant comme cas particuliers 
presque toutes les inégalités' jusqu'ici connues, nous allons développer 
d'abord les théorèmes nécessaires propres à ce but, avant d'entreprendre 
l'étude plus approfondie des fonctions convexes elles-mêmes. 



Snr les foDctioDS convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 177 

11 sera d'abord nécessaire d'énoncer quelques propositions qui résultent 
immédiatement des définitions, et de donner quelques exemples des classes 
de fonctions définies. 

Une somme de fonctions convexes ou »linéaires» est convexe, lorsque 
Tune au moins des fonctions est convexe. Si ^[x) est convexe, et c une 
constante positive, c^{x) est convexe. Ces propositions sont également 
vraies pour les fonctions concaves. Exemples: 

i*^. a;' est une fonction convexe dans tout intervalle. Donc a'\~bX'\~cx^ 
est convexe ou concave suivant que c est j}Ositif ou négatif. 

2°. \x\ est »linéaire dans tout intervalle qui ne comprend pas le 

zéro, mais convexe dans le cas contraire. Donc XcJ^ — ^J, où les c 

sont des constantes positives, est convexe ou »linéaire» dans tout intervalle^ 
convexe si Tintervalle comprend une ou plusieurs des valeurs a;,,^;^, ...,ir^> 
>linéaire», si cela na pas lieu. 
3°. L'inégalité 

jja^-'ia — b) > a?' — b'>pb^-'\a - 6), 

qui a lieu pour a > ft > o, et pour toute valeur de p supérieure à i , est 
hien connue.* Si ;r et y sont positifs, et a? >y, on déduit de cette inégalité 

x-- c-i^y >.C4-'r' -7-' > C-^T - ^ 



ou 



Donc ic', pour des valeurs de x positives et une valeur de p supérieure à 
I , est une fonction convexe. De la dernière inégalité il résulte, en changeant 

ic et V en - et , 
^ X y 



—p 



* On peut facilement la déduire de l'identité 

"" "- z=. i + a + a" + ... + a"-' 
1 — a 

par une méthode tout à fait élémentaire. 

Acta mathematica. 8U. Imprimé le 20 décembre 19()ô 2.) 



178 J. L. W. V. Jensen. 

Done or'*, lorsque i>> ï, est une fonction convexe pour les valeurs posi- 

1 1 

tives de x. §i au contraire on met dans (a) x'* et y^ à la place de x et 
de y, on ol)tient 

- L 

iß) 2(^^^y > x'p + y' . 

af est donc une fonction concave, pour x positif, lorsque o<7)< i. De 
(ß) il résulte 



m 



_/_ 4 ^^^ +1" __L I _L 

xP + yp {xij)P xP yP 



qui est encore vraie pour p = i. Ainsi x"^ est aussi convexe lorsque 

En résumé, pour les valeurs positives de rc, on voit que x^ est con- 
vexe lorsque j) est plus jjrand que i, ou négatif, et concave lorsque 
o <^> < I. Si j) = I, la fonction est »linéaire^, comme on Ta vu plus haut. 

4^. I yja + bx* I est convexe pour a > o, 6 > o, concave pour ab < o, 
tant que le binôme sous le signe radical reste positif. 

5®. e'^ est une fonction convexe dans tout inteiTalle, tandis que 
logrc est concave dans Tintervalle (o, + co)- 

6°. Le calcul différentiel nous fournit un moyen général de décider 
si des fonctions qui peuvent être différentiées sont convexes ou concaves. 
Si en effet f(x) est réelle et uniforme dans un certain intervalle, et possède 
une deuxième dérivée déterminée, finie et continue, on aura, en vertu du 
théorème de Kolle 

y étant un nombre intermédiaire entre x et y. Donc f.'{x) sera convexe 
tant que f'^ix) sera positive, concave tant que f{x) sera négative. La 
signification géométrique de ce fait est évidente. En effet, si une fonc- 
tion convexe ^{x) est suscvptihh* d'une représentation géométrique en coor- 
données recttmgulaires Téquation y = (f(x) définit une courbe, tournant sa 
convexité vers les y négatifs. 



Sur les fonctions convexes et les inégulités entre les valeurs moyennes. 179 

Remarque. Les trois inégalités suivantes 

</'i^)'p{jf)>\</'{^)]\ î^(a^) positif; 

^(iT) + ^(y)> 2^fy^^), rr et y positifs; 

^{^)^{y)^[^i>J^'y)Vj a; et y positifs, ^{x) positif; 

peuvent être ramenées à (i) par des substitutions simples, savoir, respective- 
ment : 

\og<p{x) = ^{x), 

log</;{(f) = ^{x). 

» 

2. Généralisation de V inégalité (i). 

Supposons que ^{x) soit une fonction convexe quelconque dans un 
intervalle donné, et que x^yX^^x.y ... soient tous situés dans cet inter- 
valle ou à ses limites. De (i) il suit que 

et généralement, m étant un entier positif 



2«« / 2« 

V— l ■" \ v~\ 



comme on le voit facilement par l'induction complète. Si alors n est un 
entier positif, et si Ton choisit m tel que 2'">y/, on peut poser 

r — T — — r — '^t + Jg, + . . . -f- x„ 

n 

Et on trouve alors 



r^K) + i2--n)A'-Tx) > 2''<p(}^Tx.), 



ou 



(4) ^Cl.^')^7..5i^(*'). 



180 .T. L. W. V. Jensen. 

laquelle est une {généralisation de l'inégalité (i), qui qprt à définir les 
fonctions convexes. 

Il est clair qu'une inégalité semblable s'applique aux fonctions con- 
caves: il suffit de renverser le signe d 'inégalité. Pour les fonctions »li- 
néaires» rinégalité devient simplement une égalité. 

Supposons maintenant (jue jr(rc) est une fonction contimœ et convexe 
dans un certain intervalle. Nous savons qu'il existe de telles fonctions 
par les exemples précédents. Soit encore n == ^^i + «, + . . . + w«, où tous 
les w^ sont des entiers positifs. Il résulte de (41, en choisissimt les x d'une 
manière convenable, 

f'^K^i + ^'Ä + • • • + ^'m^j) >^^J^f?( ^) + '',{^(^3) + . . . + n^f{x^)\ 

Soit 0, , 0^, , . . . , ^m ^^^^"^ nombres positifs quelconques dont la somme 
est fl, et faisons croître les n indéfiniment, mais de telle sorte que 

lim -î^ = -1 hm * = , . . . , lim = , 

n a n a n a 

d'où il résultera 

lim - = 1 — = — , 

n a a 

et par suite, y{x) étant continue par hypothèse. 



' m 



ce qui démontre le théorème suivant: 

Lorsque f}{x) est une fonction continue et convexe dans nn intervalle 
donné, on aura Vinégaliti* 



n 



5) 




où x^ , .r, , ... représentent des nombres tous situés dans Vinterralle, et où 
«, , rt, , ... sont des nombres 2^ositifSy mais d*aiUeurs quekonqu^s. 



Snr les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 181 

Pour les fonctions concaves, le signe (Vinégalité doit être renversée. 

Cette proposition est d'une telle généralité, que peut-être toutes les 
inégalités connues entre les valeurs moyennes y sont comprises comme cas 
très particuliers. 

3. Applications de la formuU (5). 

Dans ce qui suit, les nombres représentés par a, ô, r, ..., a, y9, /-^ ... 
seront supposés positifs. Posons dans la formule (5) (p[x)^=x^^ P> ^y 
x>o, donc ç^{x) est convexe, comme on Ta vu. On aura 

M p fl 

^ a^ I Z^ a^ 

ou 

(6) (ZavicJ <( TaJ Za,.Tf, 

OÙ tous les X sont positifs. L'inégalité (6) se réduit à une simple identité 
pour x^ = a?3 = . . . = a;„ . Elle reste aussi valable pour i> < o, tandis 
quelle doit être renversée pour o<p < i. Pour a, := a, = . . . = i on 
retrouve un résultat donné auparavant par M. H. Simon. ^ 

En y faisant j[> = 2 , et en remplaçant a^ par al , x^ par — , on trouve 

' n ^. ' n n 

(7) [Ha^b,] KllalYhl, 

\vt=\ , y:. 1 y=:l 

formule due à Cauchy [loc, cit., p. 455), qui on donne d'ailleurs une dé- 
monstration toute différente. 

11 i_ _i 

Posons dans (7) alxl pour a„^alx^ ^ pour b^, nous avons 

ff 
n n 

52- ^«' 



* Übe)' einige Ungleichungen, Zeitschrift für Math, lu Physik, t. 33, p. 57, 1888. 



182 J. L. W. V. Jensen. 

d'où suit qne la moyenne harmonique entre plusieurs nombres positifs est 

plus petite que leur moyenne algébrique. 

Il est facile de généraliser la formule (7). 

1 

Semplaçons dans (6) x,, par ( — ) et extrayons la racine jp**^^ des deux 
membres, nous aurons 

qui peut être écrite sous la forme symétrique 

n ' n \ '» ' n * 



T a': b:^ < ( T a,) (Tb, 

;fj , r, étant des constantes positives avec la somme i . 

Élevons les deux membres de TinégJilité ci-dessus à la puissance x' '^ 

où / est positif et < i , et multiplions par ( S c^ ) , nous trouvons 



leino 



1— Jt '• \ Xix' , « N Xvx' • M V \—x' 



w=l / \v-l / \v -l /■ ^y-1 \v-l / 



ce qui démontre 1* inégalité suivante 

Tal'bl^c:'<{Ta) (ZO (ErJ , 

v=\ \y- l / \y=il / \y«»l / 

^1 » ^3 ) ^3 étant des constantes positives avec la somme i . En continuant 
de cette manière on démontre par l'induction complète 

(8) 2;<l«î?...<î< (Za,,) (ra,J ...(Zflr,J , 

v-»l \y«»l / \y«»l / \y—l / 

OÙ les ;f sont des constantes positives avec la somme i. 

Dans la foraiule (7), mettons al bl k la place de a^, et albl à la 
place de b^ , x et y étant des nombres réels quelconques, et posons, pour 



n 



simplifier l'écriture, S{x) = ^a^b'. On a: 

y l 



(s{^)J<S{x)i:i{y), 



Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 18*-^ 

et \ogS{x) est par suite une fonction convexe de x dans l'intervalle 
( — cx) , + cx)). La relation fondamentale (5) donne alors: 

\ r«, / Ta, 

ou 

m 

S« 




7* 

m 



(9) Ä ^^^i-i < n isix,))-'^ 



/i=i 



Pour w= 2 , on a 



('S(^^^;^^)J'^"'<(^(^,r(Ä(-^,))- 



En y faisant a?, = ir^ , et a, = , a^^ = — ^ , et supposant x^>x> .r„ 

on trouve 



S{x) <{S{x,))"-" {S{T,)y>-'; 



ou bien 



(.9(a;))"-'-<(-S'(a;,))'-"{.S'(-r.))"-'. 



l)*oîi il suit 



(10, /s»\— </s(î,)\ 



ou encore 



S(«o)\'»-" 



(.0') ('^-(f)v-" > f^n 



) n'est jamais décroissante 
l()rs(|ue rc croît, x^ restant invariable. Si dans (10') on permute.» x^ et x^, 



184 J. L W. V. Jensen. 

jT7-{ ) n 'est jamai s 
croissante lorsque x décroît. Ce qui démontre la proi)Osition suivante: 

Ijcs noml)res a^ , a^ , . . . y h^ , ft^ , . . . étant positifs, x étant une va- 
riable réelle quelconque, et x^ une constante réelle quelconque, la fonction 




est monotone et ne décroît jamais lorsque Ton fait croître x^ tant dans 
l'intervalle (— oo , o?^), que dans l'intervalle (x^ , + co)- On a d'ailleurs 
0{Xq — e) < 0{Xq + e)y s étant positif. 

lia dernière partie do la proposition résulte de ce que 

{'S'{^o))V<'^K + e)'*»'(-^o — s) 

comme on Ta vu plus haut. 

Cette proposition comprend comme cas particuliers quelques proposi- 
tions de SchlOmilch ^ dont voici Ténoncé: 

Soit H nombres positifs a , ^9, 7- . . . ^, et Sj, = a'' -\- ß^* + . , . + ?^^ . 
on aura 

^ < \/'' < s/â 

M y n V jt 



<... 



et 



•'^>ro'>P)'>... 

n \ n / \ n / 



Du reste uienaymé' a énoncé sans démonstration une proposition qui 
est très voisine de notre proposition ci-dessus. Plus tard M. H. Simon ^ 
a publié une démonstration d'un cas spécial. 

* Über Mittelgrösscn verschiedener Ordnungen, Zeitschrift für Mathematik und 
Physik, t. 3, p. 301, 1858. 

* Société philoinatique de Paris, Extraits des procès- verbaux des séances pendant 
l'année 1 840, p. 6j, Paris 1841. 

* A l'endroit cité. 



Sur les fonctions convexes et leu inégalités entre les valeurs moyennes. 185. 
ScHLÖMiLCH détermine aussi les valeurs limites 

1 / Si \ " 

liraf^'V et lim(-i 
p=„ \n / p_« \ n 

On trouve facilement po\ir notre fonction, que 



lim /'-^'■^V = (h"*!)'^ i,o.\<i,+a,+ ...+«. 



et 



;: y /S(«)\' , 



ofi b est le plus grand des nombres ftj , 6, , . . . , ft„ . 

Pour faire une autre application de la formule fondamentale (5), 
posons ^(o;) = loöf.r, ^{x) est concave et on aura parsuite 



)i 



Z^Oyb^ 2^ Q^^ log ly 

log \ -> ' 



1 I 



ou 



1 



(II) «l'^ + ^A H- . . . + <»»'>« > /j«, j«, j«»xä.+«,+.:.+«. 

«1 + or, + . . . + a« ^ * ' " ^ ' 

CO qui est une forme jarénéralisce, due à M. L. J. Kogers\ de la proposi- 
tion classique sur la moyenne géométrique. 

On trouve une autre inégalité d'un caractère semblable en remarquant 
que X logrc est convexe pour x positive. La voici 

«, + ^', H- . . . + a« 

Jje cas spécial où r/, = r/^ = . . . = ^„ = i a aussi été donné par M. Rogeks. 
Ces exemples doivent suffire i)0ur montrer combien la formule (5) 
est féconde. 

* Messenger of Mathematics, t. 17, 1888. 

Acta matlietnatiea. 3(). Imprimé 1» 2Ct dccembre 1005. 24 



186 J. L. W. V. Jensen. 

U ert évident que Ton peut, dans les formules précédentes, lorsque 
Za^ , Sa^x^ , etc. , sont des séries convergentes, faire croître n indéfiniment, 
et Ton obtient ainsi une suite d'inégalités entre certaines séries infinies. 

On peut employer autrement la formule ( 1 1 ) dans la théorie des séries. 
Soit Ib,^ , Sb^j , . . . , Ib^ des séries convergentes à termes positifs, et soit 
«j , a, , . . . , ^^ des constantes positives dont la somme est i , la série 

j:b:ibu...b:: 

.v) 

sera aussi convergente. 

La démonstration de cette proposition peut être déduite immédiate- 
ment de (il) en y faisant les b dépendants d'un indice nouveau u, posant 
a, + flf, + . . . + a, = I , et faisant la somme dans les deux membres 
pour i; = I , 2 , 

4. Applications sur le calcul intégrai 11 y a encore d'autres cas où 
Ton peut faire croître n indéfiniment. En se rappelant la définition d'une 
intégrale définie comme limite des valeurs d'une somme, ce qui précède 
nous donne toute une suite d'inégalités intéressantes entre des intégrales. 

Supposons que a{x) et f{x) sont des fonctions intégrables dans l'inter- 
valle (o, i), et que a{x) est constamment positive. L'inégalité (5) donne 



f 



toi r P^i 



où ^[x) est supposée continue et convexe dans l'intervalle {g^ , g^)y g^ et //, 
étant les limites inférieure et supérieure de la fonction f(x) dans l'inter- 
valle (o, i). Or on sait que le produit de deux fonctions intégrables est 
une fonction intégrable, et qu'une fonction intégrable, par sul)stitution dans 
une fonction continue, donne une fonction intégrable. On trouve alora, on 
faisant croître n indéfiniment 

J a{x)t\x)dx \ j a{x)<f(fyx))dx 

(5') H " , <- 



/ a(x)dx j j a(x)tix 

Ü / «» 



Sur les fonction» convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 187 

1 

Il va sans dire qu'on peut remplacer les intégrales J dans cette formule 



b 

par des intégrales correspondantes J . 

a 

Par analogie avec les formules précédentes, je citerai les exemples 
suivante d'application de la formule (5') 

(fa{x)f{x)dx\ <(fa{x)dx\ f a{x){f(x)Ydx, f{x) positif, p>i; 

(f a{x)b{x)dx\ <f{a{x))^dxf{b(x)ydx, b{x) intégrable et positif; 

J{a,{xT{a,(x))'^...{a,(x)rdx 



<(f {a,(x)dx)\ ' (f {a,{x)dx)\ \.. (f{aAx)dx)\ \ 



les a{x) étant positives et intégrables, et x, + x, + . . . + x^ = i ; 



\ 


faix) loa b{x)dx 


J a{x)b(x)dx 

~ ï 


• 

1 

faiz)dx 


/ a{x)dx 







I 

faix) log b{x)dx 




— n < 


1 

faix)b{x)dx 

e • 



De ces formules la deuxième et la quatrième sont des généralisations 
de formules connues. En posant dans la dernière a{x) = i on retrouve 
une formule de SghlOmilch qui est particulièrement intéressante parcequ'elle 
conduit à im résultat important dans la recherche des zéros d'une série 
de Taylor, comme je le montrerai ailleurs. 

5. Etude plus approfondie des fonctio7is convexes. 

Après avoir montré l'utilité de la notion de »fonction convexe», nous 
reviendrons à Tétude de ces fonctions en général. Dans le î^ 2, nous 
avons montré que la formule (4), a lieu pour toute fonction convexe 



188 J. L. W. V. Jensen. 



J^^y + *« ±_i- ;__+_*l\ < 



II 



Si Ton y fait, n étant > m , 

X'y^ = Ä/j == . . . = 2/ „J = X "Y" flO , *^w+l ^^^^ • • • ^^^^^ •^« ^^^ *^) 

on trouve 

(p(x -{- ma) < çU + nâ) H ç(x) 

ou 

^(x + no) — ç^{jc) (p(j' + mo) — (pi'J^) 



(«) 



n - m 



Mettant — (? à la place de (?, et supposant x -{- 7id et x — nd compris 
dans l'intervalle donné, on trouve 

, ^jx) — ^{x — 7nä ) ^ ^{x) — y:{x — nd) ^ 

^r) fil n 

Comme on a, par suite de la définition, 
les inégalités (a) et {ß) peuvent s'écrire 

. V <p(x + nâ) — (p(x) (p{x + mo) — <f( x) (p{x) — <p{x — mä) (p{x) — <p{x — nS ) 
^' ^ n ■-- m ^^ m n 

Supposons alors que ^[x) a une limite supérieure finie g dans Tinter- 
valle donné, on aura, en prenant w= i 

t^^^>y{^ + d)-^{x)>ip{x)-<p[x-d)>'£^^, 

d'où il résulte, si Ton fait décroître d jus(iu'à o, en même temps que n 
croît indéfiniment, mais assez lentement pour que x + ud ne sorte pas de 

l'intervalle , 

lim [(p{x + ô) — (f{x)) = o. 

|J|-0 

Ainsi est démontrée la proposition suivante: 



Sur les foDCtioDs couvexe.s et les inégalités entre les valeurs moyennes. 189 

lJ)ir tbnrtioii conrrxe, qui a une limite supérieure ßnie dans un certain 
interralley est ro)ftinue dans ret inter ralle,^ 

Jja formule (5) s'applique doue à toute fonetiou semblable. Ou pourrait 
eu déduire ce qui suit, mais il est plus simple de partir de la formule {]). 

Si Ton met dans celle-ci à la place de ^, on trouve, on supposant 

désormais â positif 

/; '- — m wt ^ - - o 

— o o 

n n 



ce qui devient, en faisant converjjfer — vers un nombre positif quelconque, 
a, plus petit que i 

^{x 4- f^) — fpj x) ^çix + ad) ■— ip{x) ^ (p{x) — f{^_—J^ ^ y)(a;) — ^(x — â) 
o =^ ad —^ ad = à 

Cett^ formule montre que \ - ne croît jamais lorsque (? décroît, 

et que ce quotient reste constamment plus grand que ^^ • - ;, • \ où 

à' est positif mais dailleurs (juelconciue. l)'où il suit que 

lîm ^^'^ + '^) — 9(*) -> ^(«) — î^(* — _^') 



Ùa4 



O — o 



' Cette proposition s'applique également à une fonction concave, en y remplaçant 
»limite supérieure» par »limite inférieure». De ce qu'une »fonction linéaire» peut ôtre 
considérée comme un cas particulier des deux classes de fonctions, il résulte: 

Une »fonction linéaire» qui a dans un certain intervalle soit une limite supérieure, 
soit une limite inférieure, est continue. 

De ce résultat on conclue aisément la proposition suivante: une »fonction linéaire» 
ayant ou une limite supérieure ou une limite inférieure dans un intervalle donné a 
toujours la forme a + bx dans cet intervalle, a et 6 étant des constantes. Par là est 
pleinement justifîée la dénomination que nous avons introduite. 



190 J. L. W. V. Jensen. 

existe, et Ton voit de même que 

lim ^^^^ "" ^^^ ~ '^^ <r ^.^^ + ^') — _^(*) 

est aussi détenninée. 

Ainsi est démontrée ce théorème: 

Une fonction convexe <p{x), qui a dans un certain into'valle une limite 
supérieure ßnie, a une fonction dérivée tant à droite, p'^ix), qu'à gauche 
f>-{x); la différence (p'^{x) — ^-{x) est positive on nulle. 

Aux fonctions concaves </^{x) s'applique une proposition ansilogue, qui 
résulte de ce qui précède, puisque — (p{x) est convexe. 

6. Quelques propositions de fmuiions de fonctions. 

Si, dans l'intervalle {g ^ g'), fix) est une fonction convexe qui ne décroît 
pas lorsque x croît, et si f{x) est convexe dans un intervalle, dans lequel 
trouve lieu l'inégalité g<^{x)<g\ f[(f(x)) est aussi convexe. 

En effet, de 



il suit que 



f 



(f C-^)) < /■(ï^:^^^»-^) s ■(/■(?(-» + Af(»))). 



ee qui démontre la proposition. 

On démontre de même le schéma suivant: 



f{x) ■ <p{x) ; f{<px) 

convexe, croissante convexe convexe 

concave, décroissante convexe concave 

convexe, décroissante concave convexe 

concave» croissante concave concave 



Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 191 

Si f>{x) et ^(ä?) sont des fonctions inverses on démontre de môme 
le schéma: 



convexe, croissante concave, croissante 

convexe, décroissante '■ convexe, décroissante 
I concave, décroissante concave, décroissante 

7. Sur U7ie rcrtaine fonctmi convexe. Nous avons vu plus haut que 

n 

SrJo^ — ^A est convexe dans tout intervalle qui comprend au moins un 

des points oîj , a;, , Ceci peut sendr à former une fonction convexe 

dont les dérivées à droite et à gauche sont différentes en tous les points 
d'un ensemble dénombrable réel, donné à Tavance. 

Soit en effet c, , ^, , . . . une suite infinie de nombres positifs, x^^x^^,., 
une suite infinie de nombres réels et bornés, et supposons la série Hc^ con- 
vergente. Il résulte des recherches sur le principe de Cantor concernant 
la condensation des singularités qui sont exposées dans Dini-Lüroth {TJieorie 
der Funktionen einer reränderlirhen reellen Grösse, % 108*) que la fonction 

f{x)= Tc,\x — x,\ 

qui est convexe comme nous avons vu plus haut a partout ime dérivée 

unique, sauf aux points x^^x^, x^, En ces points la fonction a une 

fonction dérivée à droite et une autre à gauche, et Ton a fl{x^) — fl{x^=^2c^. 
Si par exemple, pour l'ensemble (rc^), on choisit les nombres rationnels 
de l'intervalle (0,1) dans un ordre déterminé, f(x) sera convexe dans cet 
intervalle, et aura une dérivée finie en tous les points irrationnels, tandis 
qu'aux points rationnels les fonctions dérivées à droite et à gauche diffèrent 
par un nombre positif. 

En terminant je ne puis m'empêcher d'ajouter quelques remarques. 

Il me semble que la notion fonction convexe» est à peu près aussi 
fondamentale que celles-ci: »fonction positive», »fonction croissante». Si 
je ne me trompe pas en ceci la notion devra trouver sa place dans les 
expositions élémentaires de la théorie des fonctions réelles. 



192 J. L. W. V. Jensen. 

Quant à la définition dune fonction convexe de plusieurs variables 
la suivante est la plus naturelle. 

La fonction réelle f?(X) du point analytique réelle X = iXyp^z^ ..,) est 
xionvexe, si dans un domaine simplement connexe et convexe on a toujours 



eQ(Ä', +X,))<lîf(AVl+-f(A'A 



OU 

Il est évident qu'une telle fonction est toujours fonction convexe de 
chacune des variables. L'inverse n'a pas lieu comme on le voit par un 
exemple : 

•2 
/■(^,?/) = — k//|'- 

AddHïon. Après avoir faite la conférence ci-dessus j'ai remarqué que 
la formule fondamentale (5) n'était pas entièrement nouvelle comme je le 
croyais. Je viens de trouver, dans une mémoire de M. A. Fhingsheim,^ 
une citation d'une note de M. O. Höldek ^ dans laquelle se trouve dé- 
montrée la fonnule en question. A la vérité les hypothèses de M. Holder 
s<mt bien différentes des miennes en ce qu'il suppose que (p'\x) existe. 
]ja formule très importante (5') n'est pas mentionnée davantaiJfe que la 
plupart des applications que j'ai données plus haut. 

En même temps je veux démontrer une inéjy^alité d'un autre caractère 
que celles données plus haut. Dans une addition ^ à sa mémoire précitée 
]VI. PiUNGsiiEiM donne une démonstration éléji^ante, qu'il attril)ue à M. LO- 
lîOTH, de l'inégalité 



N 



(et) i:k<[i:k). 

V«= I V 1 . 

où les h sont positives et x > i . 

* Zur Theorie der ganzen transcrndcnfen Funktionen, Sitzuugsber. d. inatb. 
phys. Classe d. k. bayer. Akad. d. W., t. 32, p. 163 — 192. Nachtrag..., ibid. 
p. 295—303. 

* Über einen Mitfelweitsatz^ Nachr. v. d. k. Gesell seh. d. W. zu Göttingen, 
1889, p. 38—47. 



Sur lea fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. 193 

Il est facile de généraliser cette démonstration. Soit, en effet, x une 
variable positive et f{x) une fonction positive et o'oissante avec Xy et soit 
r?, , a, , . . . , ^1 , ^9 , • • . des constantes également positives, nous avons 
f{f>y) '^fib) pour y ■■ I , 2 , . . . , w, b étant la somme 6j + 6, + . . . + 6^. 
£!n multipliant par a^ les deux membres de l'inégalité ci-dessus, et en 
sommant pour y = i , 2 , . . . , w, on trouve 

iaj{b,)<f{b)i:a. 



»-I ' ' ' K..1 



on 






n 
y 1 



C'est l'inégalité que j'avais en vue. Pour a^ = b^ et f[x) = x^~^ ^ x> \, 
nous retrouvons l'inégalité (a). A l'aide de celle-ci il est aisé de généraliser 
les conditions sous lesquelles la formule (8) est valable. Posons en effet 
dans celle-ci a'^ pour a„j,, nous avons 



ce qui fait voir que la formule (8) reste encore valable pour 

^1 + ^, + . . . + ^* > I , 
seulement le signe d'égalité est à écarter. 



Acta maikmaiiea, 90. Imprimé le 21 déo«mbn 1905. 25 



195 



ÜBER EINEN SATZ VON HERRN PHRAGMÉN 

VON 

EDMUND LANDAU 

in BE;rLIN. 

Herr Phragmen hat in seiner Arbeit ^ Sur un théorème de Dirichlet 
einen Satz bewiesen, welchem folgende Voraussetzungen zu Grunde liegen: 

Es sei 

1 > t y • • • > ^« J • • • 

eine Folge verschiedener positiver, der Grösse nach geordneter Constarden, 
welche mit n tïber alle Grenzen wachsen; femer sei 

^1 ) ^t J • • • j ^n y • • • 

ehre Folge beliebiger reeller Grössen, und es werde eine Function f{t) durch 
die Gleichung 

definiett, wo die Summation sich auf aUe Werte von n bezieht, fur welcJie 
ln<t ist. Von dieser Function mrd angenommen, dass sie sich auf die Form 

r(t) = ct+t^ip{t) {o<r<i) 

bringen lässt, wo c und y Cœistanteti sind und </f{t) eine für alle t inner- 
halb endlicher Schranken gelegene Function von t bezeichnet.* 



* Öfversigt af Kongl. VeteDskaps-Akademieos Förhandlingar^ Stock- 
holm, Bd. 49, 1892, S.. 199— 206. 

' Mit einer hftufig angewendeten Abkürzung lässt sich die obige Annahme schreiben 

f{t) = et + 0{P). 

Acta utathetmUica. 90, Imprima Ib 21 décembre 1906. 



Cn 



196 Edmund Landau. 

BiHiCHLET ^ hatte unter diesen Voraussetzungen, zu denen er die 
weitere hinzunahm, dass alle c^ positive ganze Zahlen sind, bewiesen: 

Die unendlicJie Reihe 

convergiert für p> o, und, iverm p zu o ahnimmtj so existiert der Cfrenzwert 

und ist = c, 

Herr Phragmen hat in der erwähnten Arbeit aus den obigen Vor- 
aussetzungen (wobei die c„ beliebig sind) mehr erschlossen. Er hat be- 
wiesen: 



Die Differenz 



C« C 



p irr P-*' P 

lässt sich in eine mindestens für o <p <-{i — ;') convergente Potenzreihe 

(i) a^ + (iiP+ .+ amP"^ + . • 

erdwickeln. 

Er hat dadurch gezeigt, dass die in der Halbebene B(p)>o durch 
die Dirichlet'sche Eeihe 

n.l ^n 

definierte analytische Function ff{p) über ein Stück der Geraden R{p)=o 
fortsetzbar ist. Sein Satz besagt nämlich, dass die Function sich im Kreise 

mit dem Mittelpunkt o und dem Badins - ( i — y) regulär verhält, abgesehen 

vom Punkte /> = o, welcher für c^o ein Pol erster Ordnung mit dem 
Besiduum c ist. 



^ Recherches sur diverses applicaiiom de Vanalyse infinitésimale à la théorie des 
nombreSy Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 19, 1839, 
S. 326—328; Werke, Bd. I, 1889, 8. 415—417. 



über einen Satz von Herrn Phragmén. 197 

Ich behaupte nun. dass der Convergenzradius der Potenzreihe (i) nicht 

nur >-(i — y) ist, wie der Phragmén 'sehe Satz aussagt, sonders stets 

mindestens doppelt so gross, also > i — y.^ Dies ist in dem allgemeineren 
Satze ' enthalten : 

Die Function ^{p) ist über die Gerade B{p)=o fortsetzbar und verhält sich 
in der Halbebene R{p)>y — i regulär, abgesehen für c^o vom Punkte p = o. 

Dieser Satz wird im Folgenden bewiesen werden. 



Nach Voraussetzung giebt es eine Constante C, so dass in 

(2) f{t)=Tc^ = Ct+t^iP{t) 

für alle t 

(3) \m\<(^' 

ist. 



^ Dieser Werth i — y lässt sich nicht mehr vergrössem, wie das einfache Bei- 
spiel /„ = n, c„ = I H — r— ■ (O < ^ < l) zeigt. Hier ist 






andererseits ist der Convergenzradius der Potenzreihe (i) genau i — ;-, da ^ = ^ — l 
eine singulare Stelle der für ß(/o) > O durch die Dirichlet'sche Reihe 



I 



I + 



n>-r 



2mé n*+'' 
«=1 

definierten Function <p{fi) = C(l + />) + Z^ — T + /^) i®*'t *1^^ *^^^ ^^^ 9^P^ • 

P 

' In dem Spezialfälle {« = n habe ich diesen Satz schon auf S. ^^ — 79 der 
Arbeit bewiesen: Über dit zu einefn algebraischeti Zahlkörpei- géhih^e Zeiajunrüon und die 
Ausdehmuig der Tschehyschefschen Primzahl enthearie auf das Problem der Verteilung der Pnm- 
ideale, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 125, 1903. 



198 Edmund Landau. 

Daraus lässt sich im Falle c^o folgern: für jedes positive s ist von 
einer gewissen Stelle y==:j;(e) an (also für alle w>y) die Ungleichheits- 
bedingung 

(4) h<ln-l+lit\ 

erfüllt. 

In der That ist 

f{t 4- f*') — f{t) = c{t + t^*') + (< + t'^J<l>{t + <*'+•) — et — t^<l>{t) 

also 

(5) /■(< + t>-^') — fi.t) > et'*' — C{t + <>+')>-— CY'', 

(6) f{t + <>■+') —f{t)< et'*' + c{t + <''+')'' + er. 

Die rechte Seite von (5) bezw. (6) ist im Falle c> o bezw. c < o für 
alle hinreichend grossen t positiv bezw. negativ, also nicht Null; daher 
muss zwischen t (excl.) und t + t^** (incl.) mindestens ein l liegen. Wird 
t = ^._, genommen, so zeigt dies, dass wirklich von einer gewissen Stelle 
an das auf i,_, folgende nächste l, d. h. /,, höchstens gleich l,_,-\-lit't ist. 
Diese Thatsache wird in § 4 angewendet werden. 



^2. 
Es ergiebt sich aus (2), wenn unter /, und ^(^,) Null verstanden wird, 

also für It{p) > o 






l 



1+P 



irrï ^^' tri ^^» '»+'/ 



über einen Sate von Herrn Pbragmén. 



199 



§ 3. 

Es soll zunächst gezeigt werden, dass die zweite unendliche Beihe in 
(7) für eine gewisse Umgebung jeder Stelle der Halbebene R{p)>y — 1 
gleichmässig convergiert. Da (bei geradlinigem Integrationsweg) 



'«+1 



I 



iV' 






= + 



^'/ 



du 



u 



ist, genügt es für diesen Zweck, die gleichmässige Convergenz der un- 
endlichen K^ihe 



'•41 



(8) 






du 



Im 



in der Halbebene It{p) > j^ — i + ^ zu beweisen, wo s eine beliebige 
positive Grösse bezeichnet. 

Der absolute Betrag des allgemeinen Gliedes von (8) ist nach (3) 
für jene p 



eil 



«.41 



/ 



du 



u 



«+/► 



/. 



'•+1 



'-rl 



/«fi 



U U lu 



Da die Beihe 



Wi 



^'^ r du r du I 

«=1 /_ I. 



convergiert, ist die Beihe (8), wie behauptet, für R{p)>Y — i +5 gleich- 
massig convergent. Ihr Produkt mit i +/0, d. h. das zweite Glied der 
rechten Seite von (7) stellt also eine für R{p)>y — i reguläre analytische 
Function dar. 

§4. 

Für r = o ist hiermit der auf S. 197 ausgesprochene Satz schon be- 
wiesen. 



200 Edmund Landau. 

Für ^^o reduziert sich die Aufgabe darauf, nachzuweisen» dass die 
für R{p)>o durch den Ausdruck 



Cjln — ln- l) C 






Mal "« I 

definierte Function in der Halbebene B{p)>j' — i regulär ist. Dies 
braucht natürlich nur für c = i bewiesen zu werden. 

Es ist bei Integration auf geradlinigem Wege für B{p)>o 

du 






+/» 



folglich 



Die beiden ersten Glieder der rechten Seite - ( -r — i I und — stellen 

ganze transcendente Functionen von p dar; es braucht also nur bewiesen 
zu werden, dass die unendliche Beihe auf der rechten Seite eine für 
R{p)>j' — I reguläre analytische Function definiert. Da sich durch par- 
tielle Integration 



Im % l»-~l 

tu 



_ In — ^«-1 r du 



ergiebt^ ist für jenen Nachweis hinreichend, die gleichmässige Convergenz 
der Beihe 

für I{{p)>y — I + 2s festzustellen, wo e eine beliebige positive Grösse ist. 



über eÎDen Satz von Herrn Phragnién. 

Nach (4) ist von einer gewissen Stelle an 

7 7 < /)•+« 



201 



also 



/. 



/ 



n — Z„_, 



u 



2+/> 



(in 



u 1 



/. 









du 



/— I 



/— 1 






rfw 



/«~l 






/« I 



hieraus folget die öfleic^hniiissige Convergenz der Iteihe (9) für 

R{p)>r—^ + 2e 

und damit der auf S. 197 ausgesprochene Satz. 
Berlin, den 19**'" October 1904. 



Jeta tnathenuttim. ^i. Iinprlnii} le 2.^ Jauvifr \\»^\. 



20 



InhallsverzelGliniss. Table des inalières. 



BjimcsB«, v., Becborcbu aar lea champs da force lijdmdyutuiiique» 
nnr lionr, Uit^jiR, Imö Riétbode gémnäti^qnä élÔnienUim itoiir l'ûlnde 

de oertAJtiv» ijuueiiotui dv lu ttiûork' ûes courbée plaiti« 14S- 

JcsHDr, J. L. W. V , Siir tes fooctùias ciuivei&fl ell lu iuA|}tUit& 

eotr« lea VAloani otdyeunes _ _ 17'- 

liutoiJi, JEoHi'fiu, 'Cbvr oiueo ^(k vou-fiurru Flm^mtii.. 



«»—148 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT 



JOURNAL 



HBBAUflâRnJCIlKX 



G. MITTA(i-l,EPFI,Eß 



a0:3 



STOCKHOLM 

lietJXIlS ntfKrOKl«>U44VrtïBi>LAU 

»SRLIN IM». 



aAXBft » ■iri.ii**« 



,.« ow»«»vTii»oii«lt»T; *TW)ciiiiui* 



REDACTION 



svbhioî: 

A V. BitncLOKD. Uiiuü. 

A- LijiEWTian:, dtodittoJm, 

Kluro Hoj^p, CUristüiain , 
C. Bifïiuqut, 
L SvLow, 

Jl FvrKMUitt, KjnttsuliaviK 
H, O- ÄEwroBK, • 

I. liiKiiKlAir. Hdsiiigfiir*, 



2o:i 



ESSAIS SUR LE CALCUL DU NOMBRE DES CLASSES DE FORMES 
QUADRATIQUES BINAIRES AUX COEFFICIENTS ENTIERS 

PAR 

M. LERCH 

à FBI BOURG. 



CHAPITEE TFl. 



Nous alloos exposer les résultats de nature algébrique qui lient la 
théorie de Téquation binôme à la question qui nous occupe. Gauss, dans 
la septième section des Disquisitiones, a montré Texistence de la décompo- 
sition suivante 



X 



/) étant premier, et V et Z des polymWes aux coefficients entiers. JjE- 
jEUXE-DiRicuLET ^ et Jacobi ' Ont généralisé les résultats de (tAuss au cas 
d'un discriminant fondamental iK)sitif, et ont découvert le rôle que jouent 
les polynômes ï et Z dans la détermination du nombre des classes d*un 
discriminant |>ositit'. Cauchv ^ paraît le premier avoir reconnu nettement 
comment la décomposition de (Jaiîss généralisée dépende du discriminant 
(qui remplace alors le nombre jf) supposé fondamental, ])Ositif ou négatif, 



* Sur hi ithauih^ de résowlrt Féquatiou t^ — pu* = i an mot/en des fonctions cirât' 
laireu, (Journal de Crelle, t.. 17). 

' Über die Kreistheilnng und ihre Anwendung auf die Zafdentheorie (hionninh er \ cht q 
<lor kön. preussischon Akademie der Wisn. zu Berlin, 1837). 

'"^ Oeuvres de Cauchy, !• série, vol. 5, p. S4. 

A'^UiintthnuvtiM, W). Imprimé 1« 35 Jan vier 190<i. 



2a4 M. Lerch. 

pair ou impair. Parmi les continuateurs de ces grands inventeurs nous 
sont connus les travaux de J. Liouville/ 0. Schemmkl,' de MM. Alkx- 
ANÜEU Beugeu ^ et H. Weber.* Si Ton compare les résultats obtenus par 
ces eminents géomètres avec ce qu'on Uni dans ce chapitre, on remarquera 
qu'il nya pas grande chose qui nous soit personnelle; cette partie présente 
en effet un caractiîre de compilation. Cependant certains détails que nous 
croyons neufs et notre manière d'exposition me paraissent mériter l'at- 
tention. D'ailleurs, nous aidant par les l)esoins de la théorie de Ki<o- 
NECKEH, nous avons retrouvé tout ce qui est exposé ici avant de connaître 
les mémoires originaux ({ui sont venus après le travail de Dikichlet. 

1. Soit 1) un discriminant fondamental, positif ou négatif, A sa 
valeur absolue et observons que l'expression suivante 

a pour valeur l'unité, si ( ] = i, et s annule dans tous les autres cas. 
L'expression 

(i*) Ä{x, I>) =i\U --<■'' ) 



^ajzi 



est donc le produit des facteui's x — e -^ qu'on obtient en prenant pour 
a tous les nombres de la suite 1,2, 3,..., A — i qui satisfont à la 
condition 



donc 



A{x,])) = Y[[x — o'^^) 



* Journal de Liouville, 2« série, t. 2; 1857. 

* De mtiltiiudinc fonnarum secutidi grculus disquisitwties : Vratislaviae, 1863. 

' Sur nue apjdicatioh de la théorie des éfiuoHons binùtPies à la sommation de quelques 
sé'ies (Nova Acta reg. Societatis scient. Upsaliensis, t. 13, 1886). 

* Nachrichten der kön. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen, 1893. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques biuaires à coefficients entiers. 205 

Itepréscntoiis de lautre côté par b tous los entiers de la dite suite qui 
satisfont à la condition 

alors la fonction 

d") B{x,I)) = ïï\x — e"^)- 



V^\ 



n'est autre chose que le produit 



liix,I)) = Il{x — J'^). 



L'identité 



o = I (?) = I (?) + X (?) 



prouve que le nombre des éléments a est égal à celui des éléments ft, et 
la valeur commune de ces nombres est, en employant l'écriture de Q-auss, 

évidemment jp ( A ) . 

Les polynômes A{^x) et li{x) sont donc du degré -fp(A). 

Ijcs l'acines des équations A{x) = o et ii{jc) = o constituent la to- 
talité des racines primitives d'ordre A de Tunité, et par conséquent, on aura 

(2) Ä{x)li{x) = F(x), 

F(X') désignant le polynôme irréductible aux coefficients rationnels qui 

9irt 

s'annule pour a? = e^. J'écrirai Fix^A) lorsqu'il faudra indiquer la 
valeur de A. On sait que 



(3) 



F{x,A) = Jl{x^-iy"\ 

\ a 



le produit se rapportant à tous les diviseurs d du nombre A et /lijl) dé- 
signant les nombres de Moebius. Pär exemple 



r 



I. 



.* t 



:| 



306 . M. Lerch, 

pen définition^ (i*) et (i**) ou tire l'équation fonnellement plus simplo 



mML-.-f 



d'où en prenant les dérivées logarithmiques, 

^^' Ä(x) B{x) ^W; 



X — 6 



J 



Posant, pour abréger, 



*(a;) = log^^, 



l'équation (5) »écrira 



j-i 



"J" 



n^) - ç (f ) - 

J y suppose |a?|<i et j'emploie le développement en série géométrique 

-J- /*-! 

e — X 

d'où 






e -> 



Or, D étant un discriminant fondamental, on a 



S(?)~=(?V^*"^. 



de sorte qu'en substituant, il vient 






;4 = l ^''^ '^ 



ou bien 



(6) 



^!-llï-h-^""«°''| (?>'-' (i^i<')- 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 207 
Quant à la fonction 0{x) elle-même, Tintégration donne 



(ï>(aj) = log ^ - v/i) sgn 7) 21 (^) J\ 



où il faut encore déterminer la constante c. On a évidemment 



loge = log Ile ^ 






et puîs(|ue 



?(?) 



1/ 



J 



O pour 7) > o, 
^ Cl{D) pour 7) < o, 



on aura 



2ri 
8 






" pour 7) = — 3, 
I pour T> = — 4, 
I dans d'autres cas. 



Avec cett^ valeur de t?, on a par conséquent la formule 



(7) 



'<« liî^ =><«'- n's »^ '' i (?)?■ iM<') 



Quant tt la fonction F{t\ il suffit de se rappeler la formule 



j-i 



F{a:) = nU — «" ) 



!>(f) 



y-1 



pour en tirer 









En observant que Ton a c' = i, puisque 



^(o)-i, 



et que la somme 






m 



208 M. Lerch. 

a pour valeur rexpression 

ù 

oh A^ représent« le plus cfrand commun diviseur des nombres m et A, 
puis A' signifie le quotient - et ^ parcourt tous les diviseura du nombre 
A„., on aura une série 



1 



dont les coefficients sont des nombres rationnels, et en particulier les nu- 
mérateurs r^ sont des nombres entiei's. 

Si A est impair, il n'admet aucun diviseur can'é et il s'ensuit que 
/i{A'â) = /i{A')fi{d), et la formule 



o 



fait voir que Ton a 

r«--/i(A')F(A„). 

Si, au contraire, A est pair, on anra c^"^ o poor ni ihipair. 
Des formules 

\ogA{x) = l[0{x) + \ogF{x)] 



= 1 



'>^^^+èf^«-(f>'>»^"^>):i. 



lofrß{x)^'-[-0{x) + \ogF{x)] 



m«» I \ / 



on tire 






2m 



n{x) = \/lf 






Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 209 

Cela étant, observons qu'une expression exponentielle 

se développe en une série 

i + a^x + a^x^ + a^x* + . . . 

dont les coefficients a^ s'expriment en fonction rationnelle des éléments 
«j , «2 » • • • ) 0^« dont le rang ne dépasse pas celui de «^ . 

Les développements suivant les puissances de x des fonctions Ä{x) 
et B{x) seront alors de la forme 

A{x) = ^ë[i 4- K + 6, ^lj).t + (a, + \ y/D)x' + ...], 

les a^ ainsi que les b^ étant des nombres rationnels. Mais ces fonctions-là 
étant des fonctions entières, les séries se réduiront à un nombre fini de 

A(z) 
termes, et il s'ensuit que les coefficients dans les polynômes — ^ et B(x)^c 

sont des nombres algébriques de la forme a-\-byJÜ, Cela a 4ieu pour les 
coefficients de Ä[x) et B{x) elles-mêmes, si A>4, car alors on a ^= i. 
Si A = 4, on a B = — 4, y/Z> = 2i, c = — i , ^ë = + i, et les coeffi- 
cients - — ■—- , [a + byjD)yfc seront alors ± (2ft — \>J^\ i ( — ^^ + ~ v'^) 

et il est clair que la forme a -{- b^D reste conservée. 

La même chose a lieu dans le cas de A = 3, D = — A, puisque 
yjc est ici aussi de la forme a -|- ßi yJD . 

Donc, dans tous les cas, les coefficients des polynômes A{x) et B{x) 
appartiennent au domaine de rationalité (i , yJD). Mais ils sont des sommes 



ÎV«"I 



de produits des nombres algébriques entiers tels que e ^ , et il faut qu'ils 
soient eux-mêmes des nombres algébriques entiers. 
Deux nombres algébriques entiers de la forme 

a + byJD et a — b^D 
ont pour somme et pour différences 20 et 2byJIJ qui doivent aussi être 

Acta mathnnatica. 30. Imprimé le 10 mai 1906. 27 



210 M. Lerch. 

entières. Si D est impair, il faut donc que 2a = m et 2b ^^n soient des 
entiers, et on aura la forme 

a + byJD = ^-5^, 

m et n étant deux entiers ordinaires. 

En cas de D pair, on peut rendre {2b ^ßy = 4Ô'D entier en supposant 

16Ô' entier, c'est à dire en prenant b = -n^ 7i étant un entier. Si celui-ci 

est impair, on aura en faisant 2a = m 



V^ _ „.-nv/> 



ra '\' n 

a + bslD = ^-^—^ a — by/D = /-^ 

le produit de ces expressions devant être un entier ordinaire 



- (m — n —], 

4\ 4/ 



on a la congruence {n étant impair) 

m^ ^ — (mod 4) 

chose impossible pour un discriminant fondamental. Donc toujours les 
deux nombres 2 a et 26 sont entiers. 

Les coefficients des polynômes 2Ä{x) et 2B{x) étant de la forme 
m + n yjD où m et w sont des entiers ordinaires, on peut séparer les parties 
contenant le radical yjl) et il vient 

2A{x)='-Y{x)±yJüZ{x\ 
2B{x) = Y{x) + yJüZ{x), 

Y et Z signifiant deux polynômes aux coefficients entiers. Le double signe 
qui figure aux seconds membres devient déterminé, si Ton choisit le signe 
du terme le plus élevé dans le polynôme Z{x), On convient de prendre 
le coefficient de la puissance de x la plus élevée dans le polynôme Z{x) 
positif. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 211 
Des équations (i*) et (i^) résulte que Ton a 



.(.)=>'-fi[(f)+(^-)>-.^-+..., 






^(^)-^'"'-gi[-(?) + (?)]»-^= 



l" • • • > 



d'où 



A{x) + B{:r)^ 2x 



^v(J) 



j-i 









~i • • • > 









La dernière expression commençant par le terme en ic' dont le coeffi- 

cient est 



j-i 



7vjci 



réquation 



Vsal 



A(z) — B{x) = ±,JDZ{x) 



fait voir que le signe + est — . On a donc en définitif 



(8) 



( 2 A {x,D)= Y{x , D) — y/DZ{x , D), 
l 2B{x , D) = Y{x , D) + y/DZ(x , D). 



Les fonctions Y ai Z sont de la forme 



(9) 



Y{X) = 2X^ + «iiC + «ï^ +•••. 

-«{Jl— 1 -r(J)-i 

Z{x)= x' +b,x' +...; 



remarquons que le coefficient «, est 






îvffi 



c'est il (lire qu'il ost itlentique au coefficient do .r^^'^^"' dans la {onction 

F{x,A). 



212 M. Lerch. 

L'équation 

Ä{x)B{x) = F{x) 
s'écrira ' 

( I o) Y\x,I)) — DZ\x , D) = 4 F{x , A). 

Cette identité caractérise complètement les fonctions Y et Z, si Ton ajoute 
que leurs coefficients soient rationnels, celui de la plus haute puissance en 
Z étant supposé positif. 

Car si Von avait une autre décomposition analogue 

la fonction F^ — Zj y/T) s'évanouirait pour certaines racines de Tune des 

deux équations 

Y±ZyjD = o. 

Le plus grand commun diviseur des premiers membres 

Y^—Z^yjD, Y±Z^D 

serait un polynôme de la forme F, — Z^ y'D , Y^ et Z, étant deux poly- 
nômes aux coefficients rationnels des degrés inférieurs à - ^(A). Le po- 
lynôme aux coefficients rationnels 

(F, - z, VÖ)(r, + z, VÖ) = Y\ - DZ\ 



'2 



et du degré inférieur à fp(A) s annulant pour une racine primitive de 
Tunité, la fonction F{x) devrait être réductible, chose impossible. Donc 
les polynômes Y et Z sont complètement définis par l'identité (lo). 

2. Les équations (8) donnent tout de suite 

Ä{x) B{x) V^-^ Y\x)—DZ\x) 



* Le procédé le plus rapide pour le calcul des coefficients des polynômes Y et Z 
a été donné par Leoendre (Mémoire sur la détermination des fonctions Y et Z etc., Mé- 
moires de l'acad., t. II, 1830); il repose sur ce que les sommes de puissances sem- 
blables des racines de A{x) = O et B(x) = O sont données immédiatement; les coeffi- 
cients sobtiennent à l'aide des formules de Newton. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 213 

OU en faisant usage de (lo), 

AXx) B\x)_ ^- Z{x)Y\x)^ Y(x)Z\x ) 

On parvient à une autre représentation du premier membre, si Ton emploie 
le développement (6). 

La série qui y figure 






peut se transformer en faisant n = p'\' Ai^ (/o = i , 2 , . . . , A ; p = o , i , 2, 
. . . , 00) ; on a 



(?) = (7 



) 



et par conséquent 



S 






Nous sommes ainsi amenés à introduire la fonction entière 

(12) Q{x)=^Y^[^)x''=^Q{x,D). 

Nous aurons alors 

(,3) dïî.) gî.) = <^^ ew. 

A{x) B{x) x{x^ — l)^"^ ' 
En comparant avec (11) nous aurons 

(14) Q{x)^D = [x'-^{Z{x)T{x)-Y{x)Z\x)l 

Beprcsentons maintenant par A^ tous les diviseurs du nombre A plus pe- 
tits que A , y compris l'unité, et formons le produit ^ 

n F{x , A,) 



* Remarquons qu'il faut prendre, p. ex. 

F{x , i) = « — I, F{x , 2) = « + I, F(x , 4) = «' + 1, etc. 



214 M. Lerch. 

de tous les poh'nômes F(x , A,) correspondants. Alors le quotient 



x^ 



F{x) 
aura pour valeur nF{x , A^) et l'équation ( 1 4) s'écrira comme il suit 

('4*) Q{x)&crnl) = -x[Z{x)Y'{x)— Y{x)Z'{x)-\ViF{x , A,). 

Étant connues les fonctions F[x) et Ç(x), on pourra caractériser les po- 
lynômes Y et Z d'une manière purement algébrique par une congruence 
que nous allons établir. 

2v7rt 



J*observe d*abord que pour les valeurs x = e ^ où i; est premier 
avec A, la quantité Q^{x) se réduit à Z>, de sorte que le polynôme 
Q\x) — D est divisible par F{x). Le quotient ayant de même les coeffi- 
cients entiers, on aura la congruence 

(15) Q\x) = D [moàF{x)l 

Cela étant, j 'observe que pour x = e^ on a 

Q{x) = siD, Y{x) — yJDZ{x) = o, 

de sorte que la fonction entière aux coefficients rationnels 

Y{x) — Q{x)Z{x) 

S annule pour x = e "^ ] elle doit donc admettre le diviseur irréductible 
F{x), d'où la congruence 

(16) * Y{x) = Q{x)Z{x) [moåF{x)l 

Pour prouver que cette congruence à deux inconnues algébriques Y et Z 
n'admet qu'une seule solution dont les développements soient de lä forme 
(9), élevons au carré les deux membres et faisons usage de (15); on aura 

Y' = DZ' [modF(rr)]. 

La fonction entière 

Y* — I)Z ' 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 215 

étant, d'après (9), du degré zéro, ello est une constante qui n'est autre 
chose que le nombre 4; on a donc 

y — J)Z' = 4F, 
identité dont on sait qu'elle est caractéristique pour les fonctions Y et Z, 

3. Kevenons sur l'équation (14*). Le produit qui y figure 

contient le facteur F{x, i) = .t — i, et le quotient que j'appelle G{x) ne 
s'annule plus pour x = i. On aura 

x-^ — I 



(a) G{x) 



U— i)F(«)' 



(b) Q{x)agïi D = - x{x— \)G{x)[Z{x)Y'{x)— Y{x)Z'{x)]. 

En différentiant et prenant rr = i , il vient 

en mettant pour un moment F^"^ et Z^"' au lieu de r<'"^(i) et Z<">(i). 
L'équation (a) donne ensuite 

A 



ö(0-...^. 



et nous savons que jP( i ) = i pour A composé, mais que -P^ i ) = A pour 
A premier ou puissance d'un nombre premier. Observant que A sgnD = D, 
nous aurons donc 



j-i 



2)\ ^ZT — YZ' 



I(7> = ^ 32.(0 • 

Dans le cas de D > o le premier membre s'évanouit et nous aurons 

Nous verrons pins tard que, pour 7) positif, les deux quantités Y{\) et 
Z(i) sont différentes de zéro, de sorte qu'il vient 

■ '' ZCi) Z'(i) ' ^ ' 



216 M. Lerch. 

Soit en second lieu D = — A un discriminant négatif; on a comme 
on sait 

ensuite la relation 



r(^> = -^«(-^). 



fait connaître Tune des deux quantités Y et Z. 

Si le nombre A est composé et plus grand que huit on a i^= i, 
et par conséquent Z = o. On a donc 

(c) Z(i , — A) = o, 3^1 , — A) = ± 2 (A composé > 8). 
et il s'ensuit que 

(d) — y(ï , — A)Z'(i , — A) = 2Cl{— A), (A composé > 8). 

Cette équation se simplifiera plus tard, lorsque nous aurons déterminé le 
signe de la quantité Y{\). Dans le cas de A == 8 on a 

F(i)=2, r(i) = o, Z(i)=i, F'(i) = 4, 

d'où il suit 

Pour A = 4 on a de même 

i^(i) = 2, mais Z'{x) = o, Y'[x) = 2, 



et il vient 



Z{i)Y'{x)^a\cI{-^)=2. 



Si en second lieu A est premier, on a i^(i) = A et nous aurons, pour 

a? = I, 

y' + AZ' = 4A; 

cela exige que Y admet le facteur A, de sorte qu'on aura y= Ay; 
il vient 

Z»+Ay' = 4, 

de sorte que pour A > 3, on aura y = o, Z = + 2. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques biuaires à coefficients entiers. 217 

Par conséquent, ces formules 

(c') r(i , — A) = o, Z(i , — A) = ± 2, (A premier > 3) 

donnent 

(d') Z(i , — A) Y 'il . — A) = 2 A 67 (—A). 

Nous parviendrons plus tard à la détennination du signe de Z{i), 

4. Quant aux propriétés des fonctions A{X') et B{x) remarquons 
d abord que les définitions donnent 

A{o) = (- 1)''' n^ ' > ^(^) = (- 'y U' ' 

a 

f « , ô = I , 2 , 3 , . . . , A — 1 ; (^^ = I , (-^ =-■= — I Y 

tl'où l'on tire aisément, pour 7) > o, les résultats ^ (o) = i^(o) = i , ou bien 
(i8*) r(o) = 2, Z(o) = o, pour D>o. 

Dans le cas de discriminant négatif on trouve d'abord 

on aura donc, pour A > 4, D = — A : 

^(o) = fi(o)=(-ir-^\ 

mais si A = 3 ou 4 on aura respectivement t=6 et r=4, de sorte qu'il 
vient comme cela se voit d'ailleurs directement: 



m jn 



118^) 



pour I) = — 3: ^(o) = P " , B(o) •= e^ y 

pour D = — 4: A{o) = — i, B(o) = i. 

Il s'ensuit, en résumé, les formules suivantes: 

r(o) = 2 (— I )^'''-^', Z(o) = o pour Z> =- — A , A > 4, 
J'(o) = Z(o) = 1 pour JJ = — 3, 

1^(0) = o, Z(o) ^ I pour D == — 4. 

Acta niathematica, 3U. Imprimé le 10 mni 190^). -" 



(i8^) Y{o) = 



218 M. Lerch. 

En observant que, pour A > 8, le nombre Cl[ — A) est impair ou pair 
selon que A est premier ou composé, ce dernier résultat peut s'énoncer 
comme il suit: 

— 2, pour A premier et pour A = 8, 

2 , pour A composé > 8 ; 

Z(o) = o pour A > 4 ; D =^ — A . 

Dans la formule (i*) changeons a? en -; nous aurons 

^ ' ^ ' a a 

Dans le cas de D positif, on a comme nous venons de le remarquer 
puis les quantités 



2a ni 



reconstituent, dans leur ensemble, les quantités e ^ ; le second membre de 

notre formule sera donc 

I 






A{x), 



ce qui donne 



X 



ce qui donne, pour un discriminant fondamental positif D, les relations 
connues 

(I9-) x^""" rQ , l) = Y{x,D), ^'""''Z^l , d) = Z{x, D). 

Dans le cas d'un discriminant nép^atif /)== — A où A>4, nous savons que 

1 iairi 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coe£Picients entiers. 219 



Saxi irn{à—a) 

puis les quantités e ^ = e ^ 



reproduisent, dans leur ensemble, les 



ttfrjri 



quantités é» ^ , et on aura donc 



X 



^¥ià) 



a{^= {-ir-''B{x\ 



d'où il suit 






OU bien 



(19^) 



X 



s-fK^) 



X 



y<J) 



yQ,-A)= eY{x,-A\ 
z(i,-A) = -sZ(a;,- 



A), A > 4, 



où 6 = I, si A est un nombre composé supérieur à 8, et e = — i, si A 
est un nombre premier ou si A = 8. 

Dans les équations (19*) et ( 1 9**) je pose x = iy en excluant les cas 
particuliers D = — 3, — 4, — 8. 

Si le discriminant D = — A est négatif et composé, on a alors 

^fp(A) = o (mod 4), 

le discriminant étant fondamental, bien entendu. 

Si, en second lieu, le discriminant D est positif et composé, on a, 
en général, 

-^^{D) = o (mod 4), 

deux exceptions étant à signaler. D'abord pour D = 4P, P étant premier, 
naturellement de la forme 4^+3) p^ si D = p^p,^^ les deux nombres pre- 
miers p^ et p^ ayant la forme 4Ä: + 3 • Dans ces cas exceptionnels on a 



^(D) = 2 (mod 4). 



220 M. Lerch. 

On a par conséquent les faits suivants à remarquer: 

Si I) est un discriminant fondamental positif qui n'est ni premier ni 

le quadruple d'un nombre premier, ni le produit de deux nombres premiers 

de la forme 4A: + 3 , on aura 

Y{- i , '!)) = Y[i , D), Z{- i,D) = Z(i , D). 

Les quantités Y{i) et Z{i) seront donc rvelles. 

Dans les cas de D = ^p^ D =j)^2h{P = Ih^Pi = 3(^od 4)) on a, 
au contraire, 

Y{-i) = -Y{i), Z{-i) = -Z{i), 

d*où il suit que les quantités Y{i) et Z{i) sont ou purement imaginaires 
ou nulles, en partie. 

Pour un discriminant négatif composé différent de — 4 et — 8, on a, 
d'après (19^) 

Y{-i)=Y{i), Z(-i)=^-Z{i), 

donc Y(i) est réel et Z{i) purement imaginaire ou nul. 
Passons aux discriminants premiers. 
Si D > o est premier, on aura 

D-\ D—\ 



Y{- i) = (- • ) ^ Y{i), Z{- /) = ( - I) ^ Z{i), 

d'où il suit que Y{t) et Z{i) seront réelles ou purement imaginaires selon 
que D =. I (mod 8) ou J^ = 5 (mod 8) ; les cas des valeurs égales à zéro 
étant sous-entendus comme des valeurs réelles ou imaginaires. 
Si le discriminant est négatif et premier — A , le nombre 

ijf(A) = ^(A-i) 

est impair, et les quantités Y{i) et Z{i) seront essentiellement complexes; 
mais on trouve aisément 



Y{i) 



= (i + (- ly i}M, Z[i) = (.-(- 1)'^'' i)N, 



M et N étant des entiers réels. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 221 

5. Passons à la détermination des quantités Y{i) et Z{i) pour un 
discriminant négatif; nous savons que, si A ost composé et plus grand que 
8, on a Z(i) = o, y(i)= + 2; il ne reste qu'à déterminer le signe de 
cette dernière quantité qui est égale à 2^(1). La définition (i') donne 
immédiatement 



^(i)=n(i-e" j, 



2iin-( ajti 

an 



et si l'on remplace la quantité i — e '^ par sa valeur — 2ie "^ ®^^"Â" » ^^^^ 
aurons 



La quantité réelle et positive 



ri(^«-'f) 



représente la valeur absolue de A{i) et sera, par conséquent, égale à un, 
si A est composé. 11 s'ensuit 



Or nous savons que (puisque ici r = 2 ) 

^2'«=lj.(A)-;c/(-A), 
donc 



A{i) = [—iY e' » 



ou bien, ^ Cl{ — A) étant un entier pour le discriminant composé. 
Supposons en second lieu A premier. Dans ce cas on a 

r(i) = o, z(i)= + 2, ^(i) = _i^z(i). 



222 M. Lerch. 

La valeur absolue de la quantité Ä{i) sera alors ^^ et la formule (a) 
donne 

cette quantité étant égale à iZ{\), on conclut 

OU bien 



Z(i) = 2(— t)^ e* » 



ce qui se simplifie comme il suit 

C/(— J)— 1 

Z(I) = 2(-.) ' . 

On a donc les résultats suivants: 

(20-) Z(i , - A) = 2(- ,)>'-''-'' , r(i , - A) = o, 

(A premier > 3), 

(20") r(i,-A) = 2(-i)5-"'"'\ Z(i,-A) = o, 

(A composé > 8). 

En substituant ces valeurs dans les formules (d) et (d') du n° 3, nous 
aurons ces formes définitives des résultats y indiqués 

(2i») Y\i)=-- (— ly^""'^'^^"'^ ACl{— A); (A premier > 3), 

(ai»») Z'(i) = — (— i)''"^"''^CZ(— A); (A composé > 8). 

En représentant par H le nombre impair Cl{ — A) dans le cas de A 
premier, nous aurons 

A = — I, {—iy^''''^H=i (mod 4), 
et par conséquent 
(21^) i"(i) = — ^ (mod 4), (A premier > 3). 



Calcnl du nombre des classer de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 22H 

Si A n'est aucune des valeurs exceptés, 3,4,8, on aura toujours 
F{ — I ) = I , ce qui donne des résultats plus simples pour la valeur par- 
ticulière X = — I . L*équation 

r»(-i) + A^'(-i) = 4 

donne 

Z{— i) == o, Y{— i) = + 2 = 2A(— 1). 

La formule immédiate 

A{—l)==Jl\—l—€^) 

donne d*abord 

la valeur absolue de cette quantité devant être un, on conclut, en sub- 
stituant la valeur connue de Sa y 

^(— = (— ^' ' (—0', 

iS' désignant le nombre des éléments a plus grands que - A . Évidemment 



p parcourant des nombres premiers avec A; il s'ensait 

.-[11*. 

ou d'après une formule connue, 
On a donc 



224 M. Lereb. 

et la formule obtenue plus haut deArient 

Si A est premier et plus ^and que 3, on a r= 2 et il vient 

r (-0) 



^(-,) = -(_,r''-w(^_(n 



Si A est composé et supérieur à 8, le nombre des classes est pair 
et nous aurons 

^(-0=1; 

une exception pourra se présenter pour les discriminants pairs, car alors 
( "- j =0, et la formule (b) donnera 

A{- i) = (— iy"^''^\ (A pair > 8). 

Or de la théorie de la repartition des classes en genres on sait que le 

nombre - Cl{ — A) ne sera impair que si le discriminant a la forme — 4W1 

OU — 8w, m étant un nombre premier. Dans le cas de A = 4w, le nombre 
premier impair m est un discriminant positif, et la formule (45) du cha- 
pitre II donne 

(ï-i 

i«(-4«.)-r(=); 



a»1 



fth — — I 

le second membre se compose de unités, positives ou négatives, et 

par conséquent 

i67(— 4w) = '^^ (mod 2), 

pourvu que m soit premier. On vérifie aisément que 

m— 1 . 

(- ■) " - (=)■ 

et le résultat obtenu plus haut devient 



^(— ' , — 4»«) "= (^). (»» premier) 



Calcul da nombre dos classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 225 

Soit maintenant A = 8wi, les deux cas we^ i et w^3 (mod 4) sont 
possibles et il faut les distinguer. 

Pour m ^ I (mod 4) la formule (47) du chap. II donne 

1 ^ ^ 1'» 1 , 



et par conséquent 



w i «(-8.„)=[|i] + [|]-p;-'| (.»).). 

Dans le deuxième cas où w =e 3 (mod 4) la formule (42) du même 
chapitre donne 

IM 

lr((-8„,)= £ {-.-) 






1 C7(- 8m) = 



d'où il suit 

(d) \ ('l{- 8m) = \f\ - II] (mod 2). 

All moyen de ces résultats (c) et (d) on trouve le tableau suivant {m étant 
toujours supposé ])remier) des congruences au module deux, 

0, pour m = 8Ä* + i, 

1, pour m = 8/* + 5, 
I, pour m = 8Â' + 3, 
o, pour m = 8/r + 7. 

ce qui se résume par Téquation 

Nous avons par conséquent le résultat suivant: 

Pour le discriminant fondamental négatif — A, différent de — 3, 
— 4 , — 8, ont lieu des formules 

Acta mathtmatica. HO. îiiiprinié le 10 mai 19CÜ. 29 



226 



M. Lerch. 



(2 2) 



Z{. 



A) = o, 



1 Y{.~ . , - A) = 



— (-r)j A premier, 

f— j, A = 4m ou 8m, m premier, 
I , A composé, des autres formes. 



6. Une question des plus intéressantes serait d'obtenir des relations 
entre les fonctions I' et Z provenant des discriminants différents. Nous 
allons montrer comment ces fonctions peuvent s'obtenir pour un discri- 
minant produit, si on les connaît pour les discriminants facteurs. 

Soient à cet effet Z), et D^ deux discriminants fondamentaux premiers 
entre eux, A, et A2 leur valeurs absolues; le produit I\I)^ sera, lui aussi, 
un discriminant fondamental et Ton aura 



Ai 



.T,7),D,) = JJ\.r — t"'"''j 



y«l 



Le nombre a = Ai + A, est premier avec A, A,, et on pourra donc 
remplacer i; par av] il vient de la sorte 



v~l 



L'un des deux discriminants, p. ex. Dj, sera toujours impair; on aura 
alors 



(I) = m = (t)' 



et lexpression 



\ « / \A. + A,/\A, + A,/ \A,/\A,/ 



sera égale à la suivant« 



m={m)-i^'^)'i'^y 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefiPicieuts entiers. 227 
ce qu'on peut mettre sous la forme suivante, symétrique en 7)j et D^, 

1 — Hgn D\ 1 — Rgn D<i 



(^■)='-) 



'i 



A cause de l'identité 



a ' I ^ 



Al A, Al A, 
la dernière expression de A(XyD^D^) devient 

^(-,A^,) = ll(— ^'^^ ^0 ^-^ ^"^- 

Posons v=p +/iA, (/>= I , 2 , . . . , A, ; /i = o , i , 2 , . . . , A.^ — 1), il vient 

^(x,j).D,)=nn(^-^^ ^' ) 

où Ton a posé, pour abréger, 

Laissant p constant, effectuons la multiplication relative à /£; la quantité 
p-{-fiA^ parcourt le système complet de restes pour le module A,, et 
nous aurons 



^n^^DM^fifiÇr-î 



> ^1 ^2 j 

Mettant la différence qui figure au facteur sous la forme 

îp.TÏ 2wr» 'Jpri / ipjri 5vri 



X — e ^' 



on obtient 

p V 

OÙ 



2<r 



■=K^)r7) +(?)(?)• 



228 M. Lerch. 

J'observe que la somme 

^1 



SK?) 



a pour valeur -Ajj^(A,), puis je change /> en A, — f}\ la quantité a 
change en o'\ où 



-=K-^)(^)--.+(?)(?). 



P 

et nous aurons 

Dans le deuxième membre, les facteurs où f — ^ ) = o peuvent être 

supprimés; les autres peuvent être rangés en deux groupes, celui des nombres 
/? = a et le groupe des nombres ^ = yî; on désigne par a et yî les nombres 
de la suite i , 2, ..., Ai — i qui satisfont aux conditions respectives 



(23) 



©— ■■ (t)=— -A, (::;::;). 



à ces nombres a et /î correspondent respectivement les valeurs suivantes x 
du symbole 0" 

En posant /? = a, le produit partiel correspondant 



û(.-r_.ï)^[(^)*(-?" 



v-l 



n est autre chose que la fonction 

2ant 



A 



I ?^ \ 



il serait égal à 






Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 229 

si Ton prenait p=^ß^ Cela permet d'écrire notre résulfcit sous la forme 
suivante 

(23*) Ä{x,B,D,) = Y[Ä[xe'^^ J),)j[B{xe'^ , i>J, 

a ß 

Oll les indices a et /9 sont définis par les conditions (23), e désignant Tunité 

(23') £ = (-!)""" " ". 

On trouve de la même manière 



a 



Ces deux formules (23*) et (23*) résolvent le problème proposé; on peut 
s*en servir pour ramener tous les cas à celui des discriminants impaii's. 

Prenons /J, = — A, i\ = — 4, — A éfaint un discriminant fonda- 
mental négatif impair; ici s = — i, sgii />^j = — i, et les conditions (23) 
donnent a = i, /9 = 3. On aura 

\A{x, 4A) = A{ix, — A)B{—'ix,~ A), 

(24) 

{B{x,4A) = A{—ix, — A)7y(/rc, — A). 

Soit ensuite D un discriminant fondamental positif impair, posons J)j=D, 
D, = — 4; on a £ = I, et les conditions (26) 



(7) = --. ( 



-"•^i 



donnent a = 3, y9 = i ; nous aurons 

\A{x,—4l))-^A(—ix, D) B{ix , D), 

(25) 

[n{x,—4D) = A {ix , D) B{— ix , D). 

Soit maintenant, Z), = D dtant toujours positif impair, Dj = 8; on a 
e = 1 , puis 

("0 = '. (f.!— . 



230 M. Lerch. 

d'où a = ï , y et(9^j,5; en employant l'écriture 

on a les relations 

jA{x,bI)) = A{jx,D)A{r'x,D)B{fx, D)B{r'x,D), 
\b{x, 8D) = B{jx , D)B{j-'x , D)Å{fx , B)A[j-'x , D), 

et puis, en prenant jD, ^ — 8, on trouve 

- 8Z>) = A{j-'x, D)AU-'x , B)BUx , D)B{fx, B), 



iAix,~ 
\b{x,~ 



(27) , 

' "' -8D) = D{j-'x,D)B{r^x,B)AUx,B)A{fx,B). 

Si l'on fait B, = — A, D^ = — 8, on a e= — i , sgn i), = — i , ( — j = 1 , 
( -^ 1 = — i; a= 1,3; ^=5,7; les résultats sont 

p(a;, 8A) = A(ix, — Ùi)A{fx, — A)B(r'x, — Ùi)B{}-'x,~- A), 
\b{x, 8 A) = B{jx, — Ùi.)B{fx,^ù,)A{j-'x, — Ù^)A{j-*x,-~-à.), 

enfin on trouve 

{26') A{x, — ZA) = A{jx,~A)A{j-'x,—£i)B{fx,—A)BU-*x,—£s) 

et une expression analogue pour B{x , — 8 A). 

Cette formule (26') se trouve contenue dans (26} si l'on y écrit 
B = — A ; cette formule-là subsiste donc pour tous les discriminants im- 
pairs B, positifs ou négatifs. 

Nous verrons que la détermination du nombre des classes d'un discri- 
minant positif exige le calcul du quotient B(\):A(i). La formule (23*) 
ramène le calcul de cette quantité à la détermination des quantités de 
la forme 

A{è'S, D,). 

sans avoir besoin de l'expression explicite des polynômes Y{x,BB^) et 
Z(x,Z>,i>j); le calcul des dites quantités est relativement facile. Maison 



Calcul da nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 231 

peut mettre le problème qui nous occupe en relation avec la théorie de 
Télimination. 

Posons, pour abréger 

A^ = A{x, Dj), A^ = A{x, Dj), etc., 

et représentons par Ii{A^ , A^) le résultant des polynômes A^ et A^, Cela 
étant, supposons D^ > o, D^ > o, de sorte que les conditions (23) de- 
viennent 



(!■)-■■ (f)" 



- 1; 

les quantités e ^' sont racines de l'équation A^{x) ■= o, les e ^' celles de 
B^{x) = o; or on a 

a 
/ Vît» \ 

fi 
et réquation (23*) permet de conclure 

(29*) Ad , D.D,) = R{A^ , .l,)B(ß, , 7AJ. 

On trouverait de même 

(29") B{i , DM = Ä(^. » B,)R{A, . 5.), 

et les mêmes formules s'obtiendraient en supposant T)^ = — A,, B^ = — A,. 
Ces formules, intéressantes en théorie, ne contribuent rien à simplifier 
la pratique. 

7. Reprenons l'équation {7) pour D positif, en supprimant le terme 
nul loge: 

En passant à la limite pour a; = i , le second membre devient 



N/^è(f)7. = <^'^(^^)^«^^(^): 



232 M. Lerch. 

donc nous aurons la formule connue 

(30) CT(7))log^(D) = log^. 

OU bien 

(30*) ■ Cl{D) log E{n) = log ^^'^ Pl+^^ËJ'lL'J^J . 

Ce résultat ramène le calcul du nombre des classes à la détermination de 
l'exposant II dans l'équation 



Y + >JDZ _ fT + 

T — yjD Z ~ 



JblR.]" l^= Y{x,D) et\ 
2 / ' \Z=Z{i,D) )' 



c'est donc un résultat d'une très haute importance théorique; car il n'y 
reste aucune trace de l'origine transcendante qui la fait naître, tous les 
nombres qui y figurent pouvant s'obtenir par des procédés purement algé- 
briques. 

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème connu que le nombre 
des classes, aussi pour les discriminants fondamentaux positifs, est impair, 
si le discriminant est un nombre premier, et qu'il est pair, si le discri- 
minant est un nombre composé plus grand que 8. 

Si le discriminant est un nombre premier, on a JP(i) = 7), et puis 
Y^ — DZ^^=4D, en posant pour abréger, F= Y{\)y Z = Z{i). On voit 
que Y est nécessairement divisible par JD, et en faisant Y=Dj^, Z — y, 
il vient Téquation 

ces nombres y et z ne sati&font pas à l'équation de Feiîmat, d'où il suit 
que le quotient 

logllLi_lib^:log^V^ 

n'est pas un entier. Or on a 

CI(l))\o^E(T)) =r= 2I00;'— ^^-^^ y r= 2 log' " -^ 



I 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefiFicîents entiers. 233 
d'où il suit que Y et Z sont du même signe et que 

-; CliD) = log 1^-^^ I : log ^±^ ; 



le second membre n'étant pas entier, il faut que Cl{D) soit impair. 

Si au contraire D est composé et plus grand que 8, on a jP(i) 
et par conséquent 



= I 



d'où il suit que le quotient 



log 



Y + ZyjD 



:\ogE{D)=,jL 



est un entier; par conséquent le nombre des classes 



Cl{I))= 2 log 



Y + Zy/D 



:\ogE{D)== 2/i 



sera pair. 

Pour 7) = 8 on trouve aisément que le nombre des classes est égal à un. 



8. Dans l'équation (7) pour D =^ J)^ qui s'écrit 

x/Z)iSgnJ)i> (-1) — = log— ^^^^^^ — \— ' - + logg, 
où l'on emploie la notation 



Y,{x)=Y{x,I)^), Z,{x) = Zix , D,), 



posons 



^hrri 



xe "^^ au lieu de x 



A3 désignant la valeur absolue d'un discriminant fondamental D^ ; mul- 
tiplions les deux membres de l'équation ainsi obtenue par ( -r^ J et ajoutons 
les résultats pour A = i , 2 , 3 , . . . , A, — i ; il vient 



(3 



(2Affi\ / • 2Affi> 






Ada inntheviaiica. 30. Imprimé le 11 mai 1906. 



30 



234 M. Lerch. 

Cette formule donnerait à peine quelque chose d'utile, si le produit D^D^ 
était négatif, à cause de Tindétermination du logarithme; mais si ce pro- 
duit-là est positif, le premier membre est réel en même temps que x et 
on pourra se l)orncr aux valeurs réelles des logarithmes qui figurent au 
second membre. 

Le produit yJlTiyjU^^g^I^i étant positif toutes les fois que D^D^ le 
soit, le premier membre aura, pour x = ly la valeur 

et il s'ensuit: 

(JDj et D^ étant deux discriminants fondamentaux du même signe, Aj = |7),|, 

Aj = \T>^Y puis Y^{x) et Z^{x) désignant les quantités Z(rr,7)) et Z[x,]))). 

On pourra rendre à la moitié le nombre des termes du second membre, 

— ( Jj— Ä) — h 

si Ton observe que la quantité e^* est l'inverse de e^ de sorte qu'en 

employant les relations (19*) ou (19^), la quantité 



( 2krn \ / 2tRt 



7kni\ 



en V faisant Ä; = A„ — A, devient 



Y, [e "' ) + 8gn D, y/D, Z. [e "' ) 






îAïT» \ 



9. Considérons l'équation 



(a) ï {-i^) — 4? = ^f ■ Ol(- A). 



*.i I — e ^ 



conséquence immédiate de la formule 

■' cot^=4>'^(7/(-A) 



i;(^) 



A T 

qui a lieu poui* tous les discriminants négatifs. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefiFicieuts entiers. 235 

La fonction entière irréductible F{z) pouvant s'écrire 

on aura 

et aussi, pour un entier h premier avec A, 

J— 1 / UpKi {—] 

F{i) = Jl{i-e-^r. 
On tire ensuite de (a) 

% (ir^) ;27T ^ -'- (^•^■) '■'<- ^'- 

Il s'ensuit que la fonction entière 

[ne -^)*^' % (-/-) jéj] + '-^m'ci{- AY 

s'évanouit toutes les fois que x devient racine de l'équation irréductible 
F{x) = o. On a donc la confluence 

= -\^ F(l . A)'a(- A)> (mod i?(ï, A». 

Ce résultat est susceptible d'une forme plus simple, si le discriminant — A 
est fondamental. Dans ce cas on a en effet, pour le memo module, la 
congruence 

et il vient 

]][(,--x''/7)£(z_A\_i_^ + ?j,(,)e7{-:A)(;>(:r.-A). 



Pour déterminer le signe, posons x = e'' , ce qui change la congruence en 
égalité; le premier membre ayant alors pour valeur l'expression 

qui est égale à la suivante 

?F(,)CT(_A)e(e'^), 
il faudra prendre le signe supérieur et par conséquent 

(33) n('-^')''\ç(^)i^ 

= - J'( 1 , A) Ct{— A) Qix , — A) (mod F{x , A)), 

— A étant un discriminant fondamental. 

Il y a un résultat analogue pour des discriminants fondamentaux 
positifs. Soit en effet, pour abréger l'écriture, 

Cl{D} = K. 

on a la formule 

\ 2 j A{\) F(I)' 

puis 

Posant donc 

/ a<t<D 

eW = n(i-A ((5) = -, 

on aura en vertu de la relation 



Calcul du nombre des olanses de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 237 
la congruence suivante: 

(34) [î±imj'^?M i^oiFM). 

lo. L'équation suivante qui résulte de (5) et (11) 

(35) r (^) -^- i M Sîii-<^' ->'«''■<" 



'-'^ x—e^ 



2F{x) 



permet d'établir plusieurs formules dans lesquelles intervient le nombre 
des classes d'un discriminant négatif fondamental; on les obtient en posant 

a; = I , — I , ± i , "^ ; pour ces valeurs de x la transformation du 

premier membre n'a aucune difficulté, je me borne donc à signaler le résultat. 

En prenant rr = e ' , le premier membre devient 



Iriti J— l 



ce qui donne l'équation 



^'^i(^)~t(i-9. 



(35 ) ^ p(I) = VÄ? W ) VÂ-J'^' 



%Tjti 



où 0? = e ' , et — A désignant un discriminant fondamental. Le cas de 
r = o ou bien a? = i a été établi au n*' 3, et je me borne donc aux autres 

cas. Pour - = - ou rr = — i on est conduit à la fonction 

s 2 

cot(^— i);r = -tg^ 
pour laquelle on trouve la formule suivante 

(36) |:(^)tg*^=i>;Ä(._,(^))«(._A) 

qui a lieu pour tous les discriminants impairs et aussi pour des discrimi- 
nants pairs fondamentaux. 



238 M. Lerch. 

Il s'ensuit 

Z(- !)¥'(- 1)-F(-1)Z'(-I) , ' ~ \ä) ,,,. .y 

FÎ^T) = 4 - ^ - Cl{-A), 

or, comme nous avons vu plus haut, on a à Texception des cas peu in- 
téressants A = 3 , 4 , 8, les formules 

F{-i)=i, z{-i) = o, r(-i) = ±2, 

ce qui permet d'écrire 

(37) Z'{- i,-A)^--s{i-2( : ) ]ri{- A). 



{'-iL)}'' 



OÙ £ = Y{ — I , — A) est l'unité positive ou négative qui se trouve 

déterminée par les formules (22). 

Il peut présenter quelque intérêt de posséder la valeur de la somme 
qui figure au premier membre de la formule (36) aussi dans le cas où 
— A est un discriminant pair, pas nécessairement fondamental. On y 
répond par les deux formules aisées à obtenir 

(36") r (^) tg ^ = + ^ Gl\- A), (A ^ ± 4 (mod . 6)), 

(36") % (^) tg^" = (- I)«'"' ^^Cl{- A). (A ^ o (mod 8)). 



(38) 



On a ensuite pour les discriminants fondamentaux 



où r= I ou r = 2, puis, pour les discriminants fondamentaux impairs 

où r= I ou r=3. Pour les discriminants fondamentaux pairs le premier 
membre est nul. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 239 

II. En désignant par ^(w , m) le nombre des solutions de la congruence 

quadratique 

x^ ^n (mod w), 

je suppose que le module m soit la valeur absolue d'un discriminant fonda- 
mental, dont les facteurs premiers impairs j) sont pris avec un signe dé- 
terminé, tel que Ton ait toujours j) ^ i (mod 4), de sorte qu'ils auront la 
forme des discriminants. 

Une discussion bien connue donne les résultats suivants: 

1. m impair, n quelconque; m= + npy 



i^(«,^») = Tl(^ + (■))• 



II. m pair, n impair. 



. . m = ± 4'*, iK« , «0 - (■ + (— ')) n (■ + (';))• 



III. m pair 



i^(4«.m) = U(' + ©) 



p parcourant les facteurs premiers impairs de m. 

Ces résultats se résument d'une manière plus simple comme il suit, 
en introduisant une sommation relative à tous les diviseurs d positifs ou 
négatifs du nombre m qui ont la forme d'un discriminant fondamental, en 
prenant parmi eux aussi la valeur d= i, et les deux diviseurs 8k et — 8 A:, 
lorequ'ils sont possibles, devant être considérés comme différents. Sous 
ces conventions, on a: 

(A) ^i^>ri)='£(l), 



m:d 



si un au moins des deux entiers m et n est impair, puis 
si m est pair. 



240 M. Lerch. 

Ces préliminaires posés, il sera aisé d'évaluer les sommes telles que 

OÙ f{x) signifie une fonction admettant la période i. 

Supposons d'abord que m soit impair, on aura, grâce à la périodicité 
de fiz) 

et la quantité f[—) figure exactement au nombre de ^{n^m) de fois dans 



la suite ^rf—). On a donc 



m— 1 ,,„. m— 1 



k=l ^ ^ w-l ^ ^ 



en employant la formule (A), cette quantité s'exprime sous la forme 

m— -1 , „ . , m— 1 



Ezeve)=rz(K£)- 

n=l m:d ^ ^ ^ ^ tn:d n«! ^ ^ 



Par conséquent, on a le théorème 

(Q |V© = Çf(;>(i) 

{m étant un produit de nombres premiers impairs différents, puis 

f{x+i) = f{x) 

et d parcourant tous les diviseurs de m pris avec le signe convenable pour 
que rfE^ I (mod 4)). 

Si m est pair (divisible par 4 et non plus par 16), on aura de même 

ik-O ^ ^ fi-0 ^ ^ 

OÙ Ton avait admis aussi la valeur Ä = o, sans quoi on serait obligé de 
supprimer aussi le terme A; = — ; mais la formule qui donne (p[n^m) varie 
avec la parité de ??, puis on a <p{ii^m) = o pour n^2 (mod 4), et on 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 241 

peut se borner aux valeurs impaires de 72 et à celles qui sont des multiples 
de 4. Puisque 

^(w, w) = 2 ^-j pour n impair, 



et 



^(w , w) = 2^ Q pour n pair. 



nous aurons 

(K) "fK^)=ic(3M^)+'5:r(M)' 

*-0 ^ ^ m:d k ^ ^ ^ ^ mul ir-O ^^ ^ ^ ' 

OÙ il faut prendre f- j = i, puis A = i , 3 , 5 , . . . , A < m. (m est la valeur 

absolue d'un discriminant fondamental pair, d parcourt les diviseurs de m, 
positifs où négatifs, qui ont la forme de discriminant, et aussi la valeur 
d=i; nx+i) = f{xl) 

Comme application, prenons f{x) = 91 (rx), où le symbole 9i(^) a la 
même signification que plus haut z — E{z)j et r signifie un entier. En 
supposant l'entier positif m premier avec r, puis impair et sans diviseurs 
carrés, la formule (C) sera applicable et donnera 



m— 1 , a. m— 1 



iO=çi(>e)- 



Grâce à Thypothèse que r et w soient premiers enire eux, on peut écrire 



m—\ . ,. , ,. w— 1 



Ti^m-mx)' 



et la dernière quantité sera identique avec la suivante 

m — 1 , ,. 

m 



m(^m={f)tß 



Si d est un discriminant positif, la dernière somme est nulle, elle se 
réduit à 



1 

Acta /Mthrnnatiea. 30. Imprimé le 11 mai 19ÜG. l]\ 



242 M. Lerch. 

ptiîs à 

— (—^\ — Cl{ — ô), si rf= — ô 

est un discriminaot négatif. H vient par conséquent 

{m étant un produit de nombres premiers impairs différents, et à parcourant 
tous les diviseurs positifs de m qui ont la forme 4Ä+ 3; r signifie un 
entier premier avec m). 

Le symbole r^ a naturellement la même signification pour la discri- 
minant — ô que r avait pour le discriminant A . 

Si en particulier le nombre m est le produit de nomlires premiers 
(positifs) da la forme 4^:+ i, on aura 

"f«(ï) = ^- 

Cette formule (40) permet d'évaluer les sommes 

d'une manière assez commode; si en particulier m= A est an nombre 
premier de la forme 4Ä: + 3, on aura 

et on pourra faire usage d'un raisonnement habituel depuis Eisenstein, 
pour transformer le premier membre. Des résultats de cette espèce pour- 
ront cependant à peine avoir quelque importance. 
Passons au cas de m pair qui donne 



'M-^)-'£m<^)+''^'zi 



Calcul du nombre de^ classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 243 

Les restes des entiers rX suivant le module m reproduisant Tensemblc des 
A, on a comme plus haut 

(a) Ç(0O = (;')I(->(é) = e)Ç© = ' 

r devant toujours rester premier avec m. On a aussi 

Si d est un discriminant positif, les expressions (a) et (b) s'évanouiront, 
et il ne reste que les cas où ^ = i et où rf = — à est un discriminant 
négatif. 

Posons 



-m-l 



la somme S' ne peut différer de zéro que lorsque d est impair, on trouve 
aisément comme plus haut 



r-' 



«■-ir/)«--"!«*-»')' 



et il ne reste que la somme S, Si â est pair, elle est identique avec la 
suivante 

■-"fco- 

dont la valeur est 

— m-Cl(~d), 

et il faut étudier le seul cas, où d est impair. Je pose 

A = ^+ 2(?/i, (/o= 1 , 3, ..., 2d— i; /i = o, I , ..., ^ — ij, 



244 M. Lerch. 

nous aurons 



2.Î 



OÙ Ton a désigné par A un entier indépendant de p et dont la valeur 
est inutile à signaler, puisque 

£ {-y) = o (/ö=i,3,5,..., 2(?— I). 

La somme suivante qui seule reste à obtenir 

contient des termes où /0=i,3,...,^ — 2, puis les termes /> = £?+<'', 
<T=2,4,6,...,(? — I, de sorte que 

et en observant que la quantité 



S(7>+?(-.0 



se compose des mêmes termes que la suivante 

«5-1 



? (^0" = - < "(- '')■ 



il vient: 



—1 

3 



S.=,_*|«(-^+*£(-^^-^ 



ou bien 



«•-^''sfG)- ■]"(-">• 



ce qui donne pour la somme considérée 



«-•"^-[(1) -■>''(-*)■ 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 245 

lorsque d est impair; cette formule reproduit celle qu'on a établie pour â 
pair et est donc générale. 

Cela étant, les formules qu'on vient de prouver 



? (>© = 



o pour d> if 
- m pour rf = I , 



(^X-©)^7«(-»- 



•) pour d= — d. 



-m— l 



i {i>m - 



o pour rf> I ou pour d pair, 
— ( j — Cl{ — â) pour rf= — det impair 



permettent de conclure 



ï;0=->— i:(-0(-a))l''"-^' 



-i(^)i«(-.-, 



OÙ â parcourt tous les diviseurs de m qui rendent — rf un discriminant 
fondamental, tandis que â' ne parcourt que des diviseurs impairs. On 
peut écrire d'une manière plus simple 



m— l 



(4.) 2:0=->— ç(^0[-a)+K^)]^«(-'^ 

(m étant la valeur absolue d'un discriminant fondamental pair, r un entier 
premier avec m, et d parcourant tous les diviseurs de m qui rendent — â 
un discriminant fondamental). 

Nous avons établi la formule (40), avec d'autres analogues, d'une 
autre manière et sous des hypothèses plus générales, dans un mémoire qui 
a paru dans les écrits de l'académie de Prague. ^ Ainsi, en supposant dans 

* soîictu celych v lomené arxthmetické posloupnosti druhého stupne^ efc, (Rozpravy 
ceské Akademie, VII® année, n^ 7; 1898). V. aussi Annali di Matematica, 3® 
série, t. II. 



246 M. Lerch. 

la formule (40) m impair et d ailleurs quelconque, il faudra introduire le 
plus grand diviseur carré q^ de w; le premier terme au second membre 

sera alors au lieu de . 

2 2 

Le deuxième exemple que je veux traiter de la formule (C) consiste 

à prendre f{x) = sgn.R*{rx). En me bornant au cas de m impair, j'aurai 

d'abord 

Les sommes 

"fo^-^e)=(;rço-^(=) 



sont nulles pour rf >^ i , puis on a 



sgn.ü'(^) = 



I 

I pour y < -m. 



I 
-— I pour if>- m, 



donc pour d = — à 

-(m— 1) m— l 

en prenant, dans la seconde somme, if = m — /i, il vient comme valeur du 
deuxième membre 

i-(m-l) 



? i^y 



• T ^' 1 /î 1 

faisant m = (?'(?, on aura -(m — i) = à-] et par conséquent, 

notre quantité sera 



^ç"(=rV<^-6))^«(-'') 



Calcul da nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 247 
et il vient 

(4.) "fs^. iî-c;) - » r (^ - (i))(^o ^ «(- ^ 

{m étant le produit de nombres premiers impairs différents, r premier avec 
w, à parcourant les diviseurs positifs de m qui ont la forme 4^ + 3). 

Les formules qu'on vient d'établir peuvent être considérées comme 
des analogies arithmétiques des sommes de GrAUSS. Nous en allons donner 
une analogie algébrique, en prenant, dans la formule (C), pour f{x) la fonc- 
tion cota:;r; des termes infinis ne se présenteront pas, puisque la congruence 
u^^o (mod w) exige v^o (mod m). On aura d'abord 



m — 1 , • m— l 






m 



d parcourant les diviseurs de w, affectés des signes convenables. 
Pour d positif, la somme partielle 

m— 1 



V— 1 



est identiquement nulle, et il ne reste à considérer que des valeurs né- 
gatives d=—d, La somme à laquelle nous sommes ainsi amenés 



— o 



K- 



V / m 



se transforme en faisant if = p + âpty (/O = i , 2 , 3 , . . . , £? — i ; /i = o , i , . . . , 



m 



m' — I ), où m' = -r , Il > ient 



â 

S—y. ^ m'—\ 



*-I(^TI-'(f+5). 



ou en faisant usage de la relation 

m'-X 



^cotfa; 4- —/)7t = m' coi m' XTT , 



;*-0 

J-1 



«.•=9I(^V'?' 



24S 

d'où ea substituant la valeur 



I(^0™*t'-4'«(-^) 



S„=.^CT(-Ä), 

Tay) O 

et on a la formule cherchée 

(43) Z-'otS'^ 4»» £ -'^.Cî{-d) 

(m désignant la valeur absolue d'un discriminant fondamental impair, et 
â parcourant les diviseurs de m qui ont la forme 4k + 3). 
Dans le cas de m pair (m ^ o (mod 4)), dans la somme 

se trouve un terme infini, celui où A = — . Nou sconvenons donc de prendre 
f(x) = cota;« pour x fractionnaire, mais f{x) = o pour x entier. La 
formule (D) nous donnera alors 

où l'astérisque indique la suppression du terme k=-m qui est infini; on 
pent écrire d'une manière plus commode 

Pour d'>_\. les sommes 

^ \ w / m ' ^ \4w/ m 

sont nulles, et il ne reste que des sommes où d ■= — d est négatif. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers 249 
Considérons d'abord la quantité 



^=r("r^)««t^'' (.nmpair); 

w— 1 



en faisant v = /? + ^dfi , f»' = — ^^ , nous aurons 



A,'i-\ . ^. m'-l 



OU bien 

4a- 1 



*-r(-T)i~*(w+s) 



et en faisant usage de la valeur 



«— ■rm-'g. 



£(^)»oteî-2V^CT(-4*), 



La formule qu'on vient d'obtenir 

m— 1 



simplifie la première partie de l'expression qui nous occupe, mais seule 
ment pour des d impairs. Si d est pair, on a identiquement 



m — 1 , ^^ m — l 



V (niA eot i:? = V (- ^ cot -"5=^1 C7(- «?), 

et ce résultat est d'accord avec le précédent, puisque le symbole de ]jR- 
(iENDHE l-jij est nul pour d pair. 
Il reste encore les sommes 



U-. 






elles sont nulles pour d pair, et il s'agit donc du cas de d impair. 

Acta inathematiea. 30. Imprimé le 11 mai 1906 32 



250 M. Lerch. 

En y faisant v=yO + (î/£, -^ = m', nous aurons 

OU bien 



4 



irr \ 4v / m Tjv/'? ^ 

Ces résultats (o) et (/9) permettent d'écrire 

où (?' ne parcourt que des diviseurs impairs. En séparant, dans la pre- 
mière partie, les diviseurs pairs ff' des diviseurs impairs S ^ on aura., après 
réduction, la formule suivante 



m— 1 



ce qu'on peut écrire d'une manière plus simple 

(m étant la valeur absolue d'un discriminant fondamental pair, et d par- 
courant les diviseurs de m tels que — d soit un discriminant; dans la 

somme au premier membre on supprime le terme infini Ä = — ). 

1 2. Soient i>, , i>3 , JP3 . ... des nombres premiers impairs, différents 
entre eux, et positifs, puis ^1 , Sj , Sj , . . . des signes donnés i)ar la formule 
générale 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques bin ai res à coefficients entiers. 251 
et considérons la quantité 



(45') ® 



(_ ,)«. + (bJb.) (_ ,)a, + (hh) 



(_ ,)a, + ( !^-\ 



dans laquelle Oj , o, , . . . , «, signifie un système donné d'entiers qui peuvent 
être remplacés par o ou par i . Cette quantité B, est égale à un, si l'on 
a en même temps 

tandis qu'elle est nulle dans tout autre cas. 
Cela étant, considérons le produit 



(45) 4r^'- ^■)=ri(x-;-?) . 

où à^ =Pi2^i ' Pi, est évidemment la valeur absolue d*un discriminant 
fondamental impair. 

Soit N le nombre effectif des facteurs du produit 8{x)y on a évidemment 

^-t«.=itft')(?)-(f) 

où p^p^'-' signifient toutes les combinaisons véritables des entiers 1,2, 
3 , . . . , V, et 0", , {Tj , . . . les combinaisons de ces nombres, autres que les 
nombres p , Pour une combinaison fixe />, ^^ . . . ^, (t, . . . , posons 

D' étant un discriminant, on vérifie aisément que la somme 

t (fcs^^-^) C^-t-) - 1 (t) (f ) 



252 M. Lerch. 



est nulle; parmi les sommes dont se compose N la première seule étant 
différente de zéro, il s'ensuit 



ce qui n'est autre chose que 



.V=ljr(A), 



en employant l'écriture habituelle de Gauss. 

Prenons maintenant les logarithmes dans (45); il vient, en supposant 
\x\> I, 

log e{x I a) = N\ogx- £ -^ £ ß.e~ . 



2m$7n 



nz' 



Pour obtenir les coefficients de cette série, c'est à dire les quantités 



«»1 



SOUS une forme plus simple, observons que l'on a, en développant le produit 
(45'), l'aggrégat suivant 

G, = H, + TH^ia) + TH,{a', a") +..., 



a .a 



OÙ l'on a posé, pour abréger 



-.=tm 






puis, p. ex. 

7ns7H 



^.(«.)=(-o-i:c-f)(^^^) 



e " 



A . \ î «V 2**^* 



etc. Dans les sommes dont se compose (r„, il faut remplacer successive- 
ment a par tous les nombres de la suite a^ , a^ , . . . , a^, puis a^ , a^ par 
toutes les combinaisons du second ordre a^a^ , a^ag , ..., a^_ia^ des mêmes 
nombres, et ainsi de suite. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefiTîcients entiers. 253 

Nous allons évaluer la quantité 
en posant pour abréger 

^iPl • ^îi>2 • • • ^Ai-P/i = ^0^ PiP2 '"Pfi= \j 

JPa»+i JPa»+2 ' ' 'P¥ "^^ Q i 
on aura 



*=i 



Cette expression s'évalue à l'aide de l'identité (2) 
où d parcourt les diviseurs de (>, et il vient 






où Ton a posé, pour abréger, 



«-!■ 



Pour simplifier la somme intérieure, posons m = s + ÄA^, (s = i , 2 , . . . , A^ ; 
Ä = o , I , . . . , ^rf — I ), elle devient 

elle est donc nulle toutes les fois que tt- = w' ne soit pas un entier, et il 

ne reste qu'à considérer les termes où n' est entier, pour lesquels elle 
est égale à 

J« / T-k V knifft 






ou bien 



« = «^ E (^) »~ = ft /«; (&; 



254 M. Lerch. 

Pour obtenir le signe de Legendue qui figure au second membre, ob- 
servons que 



m^=m 



d'où il suit, D^ étant premier avec Ç4, 



Ensuite 






d'où 

en substituant cette valeur, il vient 

et par conséquent 

«=(^-)l(å)^- 

Les entiers d sont assujettis à la condition que les quotients -5" ^t -j soient 

entiers. En représentant par ß le plus grand commun diviseur des deux 
nombres n et Q, on aura 

et les quotients en question seront 

Le premier ne sera entier que si tj- = ^ est un entier, et le second 

d 8 
exige que ê soit un multiple de d. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 255 

Le nombre i9 étant fixé, on fera parcourir à d les diviseurs de d, 
et on posera d = Q^d, c'est à dire rf = -y . La valeur obtenue de la somme 

ou bien 

Il faut encore évaluer le signe fi{d). Les équations 

d=Q,d, Q=Q,» 
donnent tout de suite 

d'où 

et substituant, il vient 

OU bien 

ce qui donne le résultat voulu 

On peut remarquer encore que fi{Q) = ( — i)*'"'*, ©t il vient 

i9 désignant le plus grand commun diviseur. des nombres n et Q. 

Il s'agit encore d'exprimer la quantité y/W^ au moyen des racines 

On a évidemment 



256 M. Lerch. 

puis 

ou bien 

et d'une manière générale 



Grâce à la loi de réciprocité, on a 



(SA = (^i«_) = (ï«) (î«) . . . ( 



nQ\ 
Pß/' 



de sorte que le produit 

{£o\ / PfP,'"P Ä {Pi Ps'" Pß \ {P tPt'"Pf ^-Ä 

\nQ)\ V. )\ P. )'"\ P, ) 
s'écrira 



/n|?, p3...p, \ /ny , y>, . . . pA /ny , y, . . . ?V-i Pa^-i . . «M 



et il vient 



• ..(-ir''-'(^)N/^/»WFW 

en posant 

X 1 = , -£rt == ■ - , etc.. 
Pi Pt 

et f^ désignant le produit des nombres jo^^., , jp^^.2 , . . . , l>y qui divisent le 
nombre n. 

Si en particulier w est premier avec A, on aura l'expression plus 
simple 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 267 

Dans ce qui précède on a supposé /i > o ; pour obtenir la quantité 



"^^ 






le même procédé donne d'abord 

^4 Inmtci 



^o = £Mrf)£^'- , A, = -f 



A 

et Ton aura 

H, = /.(A) = (- I)', 



si n est premier avec A; le cas plus général s'établit d'une manière ana- 
logue. 

En posant pour abréger 



<«>K)=(-ir'-'(f^)>/^.. 



Pp 
l'équation 

a ai, a, 

s'eérira 

{-iYG,= i+T0{a)+i:0{a,)0ia,)+ Z 0{a,) (P{a,) 0M 

«Il «S «i»«ai«» 

+ ... 

OU bien 

{—zyG, = {i + 0{a,)){i + 0(«,))(i + 0(a,))...(i + -^(M 

pourvu que, bien entendu, n soit premier avec A. 

En substituant l'expression primitive de G^^ on aura la relation 
cherchée 

(46) £ffi,e^ =(-^)^TT T^^^"^^ ' 

où ^ =Pi2h' "Pv} -^ ~ — > ^^ l'expression 0, est définie par (45*); le 

Pp 

nombre n est supposé positif et premier avec A. 

Acta uMtheinatira. 30. Imprimé le 11 mai 190C. 33 



258 



M. Lerch. 



Le premier membre de cette équation n'est autre chose que la somme 



I 



intiri 



dans laquelle Tindice sommatoire s satisfait aux conditions o < s < A ; 

(?;)-(-"••■ C^) =<-■)- (7.)= (-■)•■ 

et qui se compose donc de — ^(A) termes. Si en particulier on fait 

«1 = «5 = . . . = a^ = o, les s seront les résidus quadratiques de A , pre- 
miers avec A. 

Je vais considérer maintenant la quantité (46) dans le cas où l'entier 
n a un facteur commun avec A; soit w = wA", A = A'A", les deux 
nombres w et A' étant premiers entre eux. La somme 



s^^m. 



2ntn\ 



devient 



*=\ 



â'ù" IWUKi 



5=^S.e ^'", 



«-1 



et on peut la transformer en faisant s = > -|-^^'; il vient 

à' J"~l 2mrat 



ù' 



•+*J' 



r-l * = 



Cela étant, représentons par jPi , 2?2 , ^ > ^ Py les facteurs de A', et posons 
pour abréger 

'hPp\ 



p=\ 



-lïm— ;^ 



&: 



= n m 



(- !)"/> + (^''-p) 



/»=r+i 



On a, par définition, 



tô, = tô',(ûW 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 259 

puis comme cela se voit aisément 

d'où 

et notre somme prend la forme 

A' imriti J"— 1 



S=^G}'re ^' 51 ^r\kà'' 



r-1 *=0 

Les deux entiers A' et A" étant premiers entre eux, les nombres r + *^A' 
(A = o, I , . . . , A" — i) parcourent un système complet de restes du mo- 
dule A", et il vient 

flA") 

2» 



Donc enfin 



2v-r ^ ^r ^ 






OU en faisant usage de (46), 



Pp 



(47) £fi,.e^ = (_,)''i^n 

{^' =P\P2"*Pry ^" =Pr-^\" -P^} A'A" = A, A^ = — ; m positif et 

Pp 

premier avec A'). 

Les formules (46) et (47) prouvent que les sommes 

sont des quantités de la forme 



e ^ 



I ± )Je}) I ± yjey I ± ^/e'y 



-^— • • • 



et il s'ensuit que les coefficients du polynôme 



\ I ttj,«, . . . aj 



260 M. Lerch. 

sont des nombres algébriques entiers du domaine de rationalité 

En appelant type de la fonction entière 






le système des signes 



il y aura 2^ types distinctes. 
Le produit de polynômes 



(a) "^ '' 



étendu à tous les 2" types différents, donne l'équation irréductible d*ordre 



iiei 



^(A) à laquelle satisfait la quantité e^ . En effectuant le produit 

(«) ^ 

étendu aux polynômes dont les types satisfont à la condition 

( — i)«i+««+-+s = I (types pairs), 

on reçoit l'expression de Gauss 

2 

Il parait que cette formation des polynômes de Gauss puisse donner 
l'occasion à des conclusions intéressantes. 

13. Nous allons considérer un nombre quelconque {m) des discrimi" 
nants fondamentaux premiers entre eux, soient D^ ^ D^ , . . . , D^, dont les 
valeurs absolues respectives soient désignées par Aj, A,, ..., A^. Posons 
pour abréger D = D^D, . . .!>„, A =|D|, puis formons tous les produit« 
possibles 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 261 

'^i ) ^2 ) • • • ) ^a désignant une combinaison quelconque des indices i , 2 , . . . , w . 
En désignant par r^^i . . . r„ la combinaison complémentaire, le produit 

Ç = Ar.^, ... A,. 

sera tel que |D'Ç'| = A'Ç' = A; les produits 1)' sont évidemment des 
discriminants fondamentaux; je conviens d'écrire 

F(D')==~C/(D'), si D' est négatif, et 

F{D') = o, si D' est positif. 
En introduisant encore le symbole 



p., <,, = Ji (, _ (£)) 



OÙ le produit se rattache à tous les diviseurs premiers différents q du 
nombre Q', et en convenant d'écrire 

j'aurai la formule suivante qui sera démontrée tout à l'heure 
(48) ^î.(A)-g2:% = i:(D', Q^)Fin'); 

dans le premier membre le symbole 2^*s signifie la somme de ceux des 
nombres 5=1,2,3,..., A qui satisfont à des conditions simultanées 



(^)-(f)= -(t-)"'^ 



dans le second membre, D' parcourt tous les produits D- . . . D^, dont il a 

* 

été question plus haut. 

Afin de démontrer la formule (48), j'observe que l'on a 

«-1 



d'où 



,m 



=l;(?)('M^)X-(^))(-(")>- 



262 M. Lerch. 

Or le produit 



(?)(>+C^))('+(^))-(- + (-. 



m 
8 




est égal à la somme 



(?) + ? (f )(!-). 



7)' parcourt tous les discriminants formés de la manière indiquée plus haut. 
Il vient donc d'abord 



2»» 



la première somme 






est la somme des entiers premiers avec A et plus petits que A , et a pour 
valeur Texpression -Afr(A). 

Ensuite, si D' = D^ (^ = i^ la somme 

to 



\s 



a pour valeur la quantité — Ai^(D), et il ne s*agit que des expressions 



^= t (?)(?>• 



où (^ > I . On les obtient au moyen de Tidentité 






(J' 

OÙ d parcourt les diviseurs de ^. Il vient, en posant 4fd = T' 



/v ^'Q- 



«-ï.w©lO- 



Calcul dn nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 263 
Or, on a la formule générale 



«=1 ^ r— 1 ' 



qui donne 



La somme 

étendue à tous les diviseurs d du nombre Ç', est égale au produit 

n(-(f)). 

(/ parcourant les différents facteurs premiers de Ç'; ce produit étant dé- 
signée par (1)', Q')j nous avons 

ce qui vérifie Téquation (48) dont nous allons signaler quelques cas par- 
ticuliers 

I. w=2; I)^=—p, D^ = —q, 

p et q étant deux nombres premiers de la forme 4Ä + 3 • Parmi les pro- 
duits D' qu*ont peut former des facteurs Dj et D,, Tun est positif; les 
autres sont Dj et D, eux-mêmes, et il vient 

(49) ^^^^r^'-^f'«=(-©)^''(-*) 



+ 



(,_(^))l«(-,); 



nous y avons remplacé le symbole ( — -j par son équivalent ( -V Les 



deux signes (-] et i-| étant opposés, d'après la loi de réciprocité, l'une 
des deux différences 

sera nulle et le second membre se réduit toujours à un seul terme 
II. m = 2, A = — P> A = 1< 

p et q étant deux nombres premiers, ^ = 3, q^ i (mod 4). 

Il y a deux produits négatifs, D' ^ — p et D' ^ — pq. Informulé 
(48] devient 

(50) 'j--^î^--'-,^ r » = «(-«) + (. - (i))i on-,). 

les entiers s parcourent, comme dans (4g), les résidus quadratiques du 
module pq, premiers avec le module. En observant que l'on a 

^-{p—ï){q—i) = o (mod 4), 

Cl{—p) = i (mod 2), 
il vient, pour p> 3, 

(5 C'/(-p5)=i-(|) (mod 4). 

Pour p= Zi multiplions les deux membres par 3, et il vient d'abord 

3C;(-m) =■-(!) (mod 4) 

d'où immédiatement la congraence précédente. La congruence (51) est 
donc générale, lorsque p et q sont deux nombres premiers, l'un de la 
forme 4&+ i, l'autre de la forme 4A + 3. 

m. m =3, D, =— iJ,, D, = —p,, D, = ~p^, 

les p étant des nombres premiers de la forme 4k -\- 3. Dans ce cas on 
a les valeurs suivantes des discriminants négatifs D' : — p^ , — p^^ — p^, 
— i>,i',i', ; le résultat (48) devient alors 



Calcul dn nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 265 

, Q PlPtP» 

= «(-,,..,., + _£/, -(g)(, -(g)) A «,_,., 

OÙ s parcourt les résidus quadratiques du module p^p^p^, et les indices 
ayßjj si^ifient les chiffres 1,2,3 P^s dans un ordre quelconque. 

Si les nombres p^y p^y p^ sont différents de 3 , le quotient — sera 

l'unité, et il vient la congruence suivante 



(-(S))(' -©) + -<""<«'«*• 



+ I 



qui peut encore se simplifier considérablement. Elle a lieu encore si 
^j = 3^ car il suffit, dans ce cas, de multiplier les deux membres par 9 
et on parvient au même résultat. 

Les trois membres p ayant la forme 4^+3, on a, d'après la loi de 
réciprocité 

et cette égalité n'a lieu que sous Tune ou l'autre des deux hypothèses 
suivantes : 

OÙ nous avons admis que dans le second cas les nombres p soient pris 
dans un ordre convenable. 
Le cas de a) exige que 

©—o- ©-(r;)' fe)=-(.^)- 

Acta .vathfmatica. HO. Imprimé lo 12 mai 1906. ;)4 



266 M. Lerch. 



Tordre des p étant ici arbitraire, je le fixerai par la condition, (— ) = i; 
on aura alors 

0=0=©= ■• 0=0=0=- 

L'une des deux différences i — ()) ^ — () s^ra donc toujours nulle et 
la congruence (a) devient 

Gl{—PiP,Pz) ^ 4 (mod 8). 
Passons au second cas; les égalités b) donnent 

0=-0' 0=0- 0=0' 

et le second membre de la congruence (a) sera alors 



(-o)'+(-oy 



+ 4, 



I, 



et puisque 

oo=-oo=-e)=- 

l'une des deux différences i — ( — ) et i — ( — j sera nulle, l'autre étant 

\Pi/ VPs/ 

égale à deux, il vient, dans ce cas, la congruence 

Cl{—p^p^p^) = o (mod 8). 
Les deux cas se résument par la congruence générale 

(53) Cl{-p, p,p,) ^ (?'^') + (P;,?') + (^^-p) - I (mod 8), 

OÙ j)^ y P^y Ps signifient trois nombres premiers différents de la forme 4A:+3 

IV. w = 3; T)^=p, Da = qy D^=—r, 

P y q y r étant des nombres premiers, les deux premiers de la forme 4Ä; + i , 
le dernier de la forme 4Ä: + 3- On a ici les valeurs suivantes des discri- 
minants D' négatifs 

I) = —pqr , —pr ,—qr, — r, 



Calcul du uoinbre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 267 
et la formule (48) devient 

(54) I(^_x)(g_,)(,_,)_-L2:*, 

= Cl{-pqr) + (i - {^yi[-pr) + (i - {f))ci{- qr) 



+ 



(-©X'-('))r,«<-)- 



On en tire une congruence pour le module 8, en faisant usage du résultat 
(51). On aura 

«<-«')-(-©)(-a))+(-©)(-(å)) 

+(-0))(- ('))<--*)• 

Pour simplifier, distinguons deux cas: 

Dans le premier cas le second membre prend la forme 

2{i—e){i—Be') + {i—ey 

et ce nombre est toujours congru à (i — c)'= 2(1 — s), suivîint le module 8. 
Dans le cas b) le second membre de la congruence en question s'écrira 

(I — €)(i + es') + (I + s)(i —es') + {i—s){i + s); 

le dernier terme est nul et les deux premiers donnent 

2(l-£'). 

Le résultat est donc le suivant: 

»Soient i> , J , /' trois nombres premiers tels que 

p^q^ — r ^ I (mod 4), 



268 

alors on a, pour le module 8, 



M. Lerch. 



(55) 



Cl{-pq:r) = 






I, 



V. m = 4, D^ = —p^, D^=—p,y I>z=—Pzy ^4=?- 

Les nombres j; sont premiers de la forme 4Ä; + 3, (/est également premier 
mais de la forme 4Ä + ' • H y ^^ huit discriminants D' négatifs, à savoir 
— PiPiPsQy — PiPiP»} P^îs trois discriminants de la forme — ^^^g et trois 
discriminants — p^- La formule (48) devient alors 

2-(i>. - iKi», - i)(i>. - i)(g- i)-^^^ 2:*s 



+ 



+ 






On en déduit une congruence pour le module 16; si Ton fait usage des 
formules (51) et (53), elle prend la forme suivante 



(a) 



+ 



?...(-©)[(-(f:)X-(f:))+(-C^.))(-(,^ 




On en tire plusieurs conséquences: 



Si (I') = (^) = (1^) = I, on a a(-Ai>,i>.2) £^ o (mod i6). 



Calcnl du nombre des classes de formes qnadratiqnes binaires à coefficients entiers. 209 

2° Si (^\ = (J'A =(t^\ = — i, la parenthèse [ ] dans la seconde 
somme devient 

(-©)(-©)+('+(^0)0+©)=-^^ 

il est clair que Ä = o, si les deux signes (~j , (~j sont opposés; un des 

deux termes dont A se compose, sera différent de zéro et aura pour valeur 
4, si les deux signes en question sont égaux. Donc on a, en résumé, 

^ - im + ■]• 

et nous aurons le résultat 



OU bien 



Cl{-Pa>,m) = ^[^(^^)-^] (»od ï6), 



Dans le cas où 



©=©=■■ (t)--. 



la deuxième partie du second membre dans la formule (a) se réduit à un 
seul terme, celui où a = 3 ; la parenthèse [ ] se compose alors de deux 
termes égaux, et le total sera toujours divisible par i6; donc ici il vient 



Enfin, rhypothèse 






270 



M. Lerch. 



ramène le second membre de (a) à deux termes, ceux qui résultent de la 
somme en y faisant a = 2eta = 3;ona alors l'expression 




+= I 




(S))(-©)+(-(^:)X- +(?:))• 



L'un des deux termes dont se compose Tune ou Tautre parenthèse, est nul, 
puisque y figurent les facteurs tels que i + f— ); l'expression se réduit 
donc à la quantité 



et il vient 



-P^P.P.a) = 4(1 - (^)) (mod 16). 



En résumé, on a le théorème suivant: 

Soient Pi , p^ y P^ y Q lös nombres premiers différents qui satisfont à la 
congruence p^ ^2)^^p^^ — q^ — i (mod 4), on a pour le module serze 
la congruence 



(56) 



(^K—P^PiPzl) 






SI 



(ï) = Ci) = (?) = 



I. 



Considérons enfin le cas 



VI. w = 4; I)^=p^, ^a=i>2. ^z=Pz^ ^4 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 271 
les nombres premiers p et q satisfaisant aux conditions 

Pi=Pi=Pt = — Q^^ (mod 4). 
On trouve (V abord la congruence pour le module seize 



+ 



ç(-fë)X-(A)>'-«'+n(-(?)> 



on en faisant usage du résultat (51) et posant, pour abréger, 



Gl{—P, P, P» q) = C, {^\ = tj^ , M,r-i.i,») 



(b) C= Ç (i - {f)m)<^li-PßPrq) 



+ 



ç(-©)(-(?)-X'-(7')-)-n(.-(?)). 

Pour distinguer, considérons le cas 

(^■)=(^') =(?)=- 

les produits l^^-^j étant positifs, on tire de (55) 

GK-PßPA) = 2(1 - (^^)) = 2(1 -e) (mod 8), 

et il vient, pour le module seize, 

6'= 4(1 — s) + 2(1 — e) L (i — ejy^jy,) + (i — e) 2:(i — £î7,,)(i — ejy,). 

OL OL 

Pour e = I on a évidemment C^o (mod 1 6), et il ne reste que le cas 
de 6 = — I , où on aura 

6' = 8 + 4 2 ( I + ,7^ 7,) + 2 Z ( I + î7^) ( I + ,7,) . 

a, CL 

On peut changer le signe de la troisième partie puisqu'elle est divisible 
par 8 et il s'ensuit 

C= 8 + 2 2;(i —57,0(1 -ly,) (mod 8), 



a 



272 M. Lerch. 

Si maintenant 7i = ^, = 73=^) il vient 

C= 8+ 6(1 _,)« = 8 - 4(1 +rj) = 4(1 + rj). 
Dans le cas où ^1 = ^j = ^ , ^3 = — ^ > il vient le même résultat 

(7=4(1+7); 
donc on a d'une manière générale 

Tj désignant le signe de la somme ^7i + 7, + ^3 • 
11 nous resté encore le second cas, où 

on aura, d'après (55), 

Cl{—P, i>, g) = 2( I — e), 6V(— i», p, g) = 2( i — ly. ), 
Cl{—P,p,q) = 2(1 — jy,) (mod 8), 
et la congruence (b) devient 

C= 2(1 — £)(i + £iy,5y,) + 2(1 _5yJ(i —Êîy.oy,) + 2(1 — 37i)(i — SJy.J?,) 

+ (i— £)(ï +e7»)(ï— «'?») + (!—«)(' +e'7i)(i— 65?») 
+ (i +e)(i— e37,)(i— ejy,). 

Si l'on a :y, = ^y» = ^s = 17 , cette expression se simplifie comme il suit 

4(1 —V)i'—e) + (I + e)(i —e7jy=2{i + s){i —yj). 
Si Ton a ly^ = îy^ = — ly^ = ly, il vient 

C'= 4(1 _,)(i + e) + 2(1 -e)(i + sTjY + (i + e)(i — £37)' 
= 2(1 +£)(i— £7)=2(i 4.e)(i— :y). 

Si enfin 7i = 7, = 7 , ^a = — 7 > ^^ trouve pour le module 1 6 
C= 2(1 — e)[2 + (I + ^) + (, _£^)] + 2(1 + e)(i —7). 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 273 

On n'altère pas la congruence en remplaçant la parenthèse [ ] par 

— 2 + {l + r^) + {l + 7j) = 27J, 

OU simplement par le nombre deux. Il vient ainsi 

C= 8 + 2(1 + £)(i + 7j) (mod 16), 

ce qu'on peut écrire, en vertu de la circonstance ^1^3 = — i , 

C= 2(1 + £)(i —yjyj.r]^) + 4(1 — ^ïi^y,). 

Cette dernière formule reproduit les deux éventualités précédentes et reste 
déhnitive pour le cas B. On a ainsi le théorème suivant: 

»Les quatre nombres premiers Pi , p^ , Pz , Q satisfaisant à la condition 
p^'^p^^p^ ^ — g ^ I (mod 4), posons 

on aura alors, pour le module seize 



(57) (^'i{—p,p,P,q) = 



2(1 + e)(i —J}7j,7j,) + 4(1 —57,7,). 



s: 



14. La formule de Dirichlet (chap. II, (45)) 



Ç(£) = i«(-4fl) 



permet d'étudier les restes, suivant les modules 4,8,16,..., des nombres 
de classes des discriminants pairs négatifs. Soient d'abord p , q deux 
nombres premiers qui satisfont à la condition pq^^ i (mod 4), et con- 
sidérons la somme 



^« 



I + 



,^^^-j)(. 



Acta malhematica. 90. Imprimé le 22 mai 1906. 



35 



274 M. Lercli. 

# 

qui évidemment est un entier. On a 

11 1 1 

^Pl jP7 -pq -pq 

4^ = ç (s) + 1 m + ç (i)(?) + ç (?•?)■ 

et la première somme a pour valeur 

1 

pour évaluer les autres, on doit distinguer les deux formes des nombres 
jp, g, à savoir 4Ä + i öt 4k + 3- 

a) Soit d'abord p^q^i (mod 4), on trouve aisément 

et par conséquent 

I - (?) 

4^ = 3- «(- 4M) + — ^ [C;(- 4i>) + Cl{- 4g)] + - ^-'Xg-0 . 

en prenant les restes suivant le module 4, et faisant usage de la con- 
gruence connue 

(58) . Cl{- 4P) ^ '-7- = I - (^) (»"«d 4), 

on aura le théorème 

(l? et ç deux nombres premiers de la forme 4Ä'+ 1). 

b) Soit maintenant p^^q^^ s (mod 4). On a d'abord 



r(')(^)=(-(l))i:(f.). 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 275 

et la formule suivante (chap. II, (31*)) 



donne, pour A =^;, 



•' / X ■ + (-) 

I (;) r'- «(-/-). 



formule exacte aussi pour ^; = 3. Donc 



ç©(?)="-^(-(f))«<--) 



Enfin 



pq 



çG-»='-^ 



^2^'+., 



et nous aurons 



<6o, i «(- 4,,) - ^ [. - (i)] + i^ [. - ©] 

(i> , q premiers de la forme 4k + 3). 

Passons maintenant aux discriminants divisibles par huit. On a pour 
ce but la formule (42) du chap. H, 

lorsque — A est un discriminant fondamental, puis une formule équivalente 
à la formule (47) du même chapitre 



276 M Lordi. 



pourvu que D soit un discriminant fondamental positif. On peut remplacer 
les deux formules par une seule 



!, S 



(A) r(-;)+(T)r(;)=î«(-«^. 

P désiî^nant un produit de nombre premiers impairs différents et positifs, 
llappelons encore le théorème établi à la fin de § 5 

Cl{- Zp) = , _ g ) (mod 4), 

p étant un nombre premier impair. 
Cela étant, considérons la somme 



» . . 1 



A = 



Z^ 2 2 \iq) '^ \pq ) Z^ 2 2 V;;^/' 



ji et g étant deux nombres premiers impairs; cette somme se simplifie 
comme plus haut, et on a en particulier, faisant usage d'une écriture 
symbolique. 



3^^ ^PH 



le signe + étant celui de ( j. Je désigne par B{p^q) le deuxième 

membre, puis j'emploie la formule 



1 A 



^P<i gpç 



ç+(ï;)ç;u-)=m-[f]-[fl 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à cœffieients entiers. 277 

pour obtenir la formule 

4A =^ICI{-Spq) + B{p,q)-^ B{q,p) + C, 

et nous allons déterminer les restes suivant le module quatre, des différents 
termes dont se compose le deuxième membre. 

Soit d'abord q^i (mod 8), on aura, en écrivant simplement S{x) 
au lieu de S{x , ± i>), évidemment 

/*(.,,)-(. -(l))-;«(-8,)^'[,-(i)][.-(i)](.«d4). 

Dans le cas, où g ^ 3 (mod 8), il vient 

«(P,,)=-[(-Vœ]N;-(>->iO]^ 

or, ^(0) étant un entier, on n'altère pas la congruence en changeant son 
signe et on a 



OU bien 



^(i'.g)— ;['-(|)][i + (^)](-od4). 



Si Ton a q^ 5 (mod 8), il vient d'abord 

^<- ^) - KO + (^Xl) - (f,)KI) + (^>'a)]' 

et si Ton fait usage de la relation (29) chap. II, à savoir 

S{x) = - S{i—x)sgnD, 

nous aurons dans notre cas 

S(x) = -(=-^)s{i-x), 



278 

de sorte que 



M. Lerch. 



*(.,,)=-(.+e))K0+(fMO] 



d'où 



B{p,q) = -[.+ {;i)]l0li-Sp)^ll-{^]\. + (-J)] (mod 4) 



Soit enfin q^ 7 (mod 8), nous aurons 



B(,,,)=«a)-(-^).a)-(^)[<i)-(-^)«a)] 

=-[(^)+e)]Ki)-(7>Ö)} 



d*où il suit 






En résumé, on a la congruence 



^(i>,g)---[i-(;)]['+s,(f)J(mod4), 



OÙ 



£^ = — I pour q^ 1 (mod 8), et ^ç = i dans d'autres cas. 

Quant au nombre C, Texamen des différents cas vérifie les congruences 
suivantes, relatives au module quatre 



<^r.2= ' 



I — \~)y si p^q + 4 (mod 8) 



( - j, si ou p :^ q (mod 8), ou ^ ^e — q^2 i (mod 4). 



Si Ton a 2^^^ Pi q^a (mod 8), soit 

lCl{~Spq)^J,,„ (mod 4); 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires k coefiFicients entiers. 270 
on aura alors lo tableau suivant des J: 



J;» = o. 









«M. 7 



= O. 



Notons comme résultats particulièrement simples, relatifs au module huit, 



Cl{- Spq) 



(i-(?)), si;,.Hg+4. © = .; 



Ces résultats, ainsi que ceux qu*on tire des formules (51), (59) et (60), 
ont été donnés par M. Huuwitz. ' On pourrait continuer cette voie pour 
parvenir à des restes des nombres Cl{ — 4pqr) et Cl{ — Spgr) pour le mo- 
dule seize, mais je me réserve d*y revenir à une autre occasion. 



CHAPITRE IV. 



I . Soient ç , ^y , fo > 7o ^^^ quantités réelles et fractionnaires, qu'on 
peut supposer entre zéro et Tunité, aloi-s les séries à double entrée qui 
figurent dans l'identité suivante 



(0 



g2»ri[(i5+ii)^-(f+m)ij.] 






g2iri[(i5 + '»)f.-(^+m)iy.] 



'^ '*'„^. .ér. (f ^-'»XCf + ♦»)" + (7 + '0«"] 






m E - OD 









■» 



7) + n 



Acta, t. 19. 



280 M. Lerch. 

seront convergentes, si v et w sont des quantités complexes dont le rapport 
ne soit pas réel. 

La formule élémentaire 

permet de transformer les dites séries à double entrée en séries simples et 
à convergence rapide, en admettant toutefois que Ton peut, dans les séries 
doubles, intervertir Tordre de sommation. Des considérations élémentaires 
que je me dispense de développer vérifient que cette dernière opération 
est légitime, et en remplaçant la formule (2) par la formule équivalente 



WW 

(2') £ 



g2<rrt(«+*) 2m 



u + k I — e-'«'" ' 

k ao 



nous concluons 



o f]^4 9 If ft 



, ^ ^ I e ' ^ i^_ e ' 



(e2f;ri-. i^^'2rj7H __ j) 



Pour l'exactitude de cette relation les conditions o < f ^ < i , o < ly^ < i 
sont encore nécessaires, mais les quantités ^ et rj peuvent être quelconques. 

Cette relation (3) n*est qu'un cas très particulier d'une formule de 
transformation de la transcendante qui figure au premier membre et dont 
la théorie a été ébauchée par Kkonecker. Avant d avoir eu l'occasion 
d'étudier le mémoire du grand géomètre, nous avons établi la formule (3) 
d'une manière différente ^ que je me permets de reproduire ici. 

Soient i\ , v^ deux quantités complexes dont le rapport ne soit pas 
réel, puis w, et u^ deux quantités réelles contenues entre zéro et l'unité, 
enfin w^ , n\^ a des quantités complexes quelconques, et considérons l'in- 
tégrale 

C 

* Rozpravy ceské Akademie, II® année, n° 23, p. 22 (1893). 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 281 

prise le long d'une ligne fermée C ne passant par aucun des pôles de la 
fonction sous le signe somme. Ces pôles sont 

a? = — a, ^, ^, (n = o, ±i , ±2 , ...) 

et on peut admettre qu'ils sont différents entre eux et simples, par con- 
séquent. Une digression tout-à-fait simple permet de voir que Ton peut 
faire s'éloigner à Tinfini la ligne C de la sorte que la fonction sous le 
signe somme devient infiniment petite le long de cette ligne-là, et que 
par conséquent, l'intégrale tend vers zéro. D'après le théorème de Cauchy, 
la somme des résidus de la fonction intégrée tendra vers zéro et Ton a 
ainsi 

(»1+»») • ——(«'«+'•) 



V ; 'Ji + y 



Im 

_ _ _ I 

e "1 — I " ' e •«'■'' " — I 



,=r« ^« + ay, -h n i;?(«,,r,-«,»r,+„ro 



OÙ l'on a posé, pour abréger, s = îfj7;, +Wai;3. 

Les lettres îi, et w, n'entrent pas directement en cette relation, d'où 
il suit que s est une variable indépendante assujettie à la condition que 
le point s soit à l'intérieur du parallélogramme (o , \\ , \\ + 1\ , v^. Faisant 
a = o, changeons w^ en — w^ et, dans la seconde série, tî en — w; il vient 

I e •» . ^-^ I e •« 



(a) y _i___i:^ + y 



2;rt 



(e2i»i« — i)(i — e-2«i«)* 

Or l'équation (3), si l'on y fait ^^v -\- rj^w = s y s'écrira 



27«i+ — (»- *Xf + m) 00 ('J^- ») 



y -J—' ! + y _L 



2 rie''?'* 



.4r/a moMema/ùsa. 'M. Imprimé le 22 mti 1906. S6 



282 M. Lerch. 

et elle devient identique avec l'équation (a), en faisant 

w^ = Ç, w^=y], ^'1=^?', v^-^w. 

J'introduirai maintenant les variables 

W 8 

û> = — , - = w , 

V V 

en supposant que la partie imaginaire de œ soit positive: la quantité u est 
supposée telle que le point qui la représente soit à l'intérieur du parallélo- 
gramme aux sommets (o , i , i + cw , û>). On aura, sous la forme définitive, 
la relation 

g2«jrt(ij+ii) ^ ^ î /> « 






;ri e'** e~^^ 



m^—to g « ' I 



2 sÎD 3;;r sin f;r 

Nous allons nous en servir dans les cas où f et ly sont réelles et contenues 
entre zéro et l'unité; sous cette hypothèse on pourra décomposer la seconde 
série qui figure au premier membre de (3*), 



«« 

I 



I e «» 



m • g« j 

en séparant les termes in>^ö des termes w<o; en écrivant — m au lieu 
de ^n dans ces derniers, nous aurons les deux séries 



V^ I « " j^ ir^ I e 



(m— ^+2ij« 

I — ô "* "•"' I — e '" 



Nous allons les remplacer par des séries à double entrée qui résultent en 

remplaçant la quantité 

I 



I — e • 



par la série géométrique, convergente dans les conditions admises. 



Z 

n-O 



(m t ç)" '^ 2»ii;ni 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 283 

Si, dans la seconde série ainsi obtenue, on met n au lieu de w + i , 
le résultat s'écrira 

^ ïij«+— (i-iixe+»») 

Y^ I e **» 

m-o n-0 ' * »«-1 » = 1 ^ 

C'est sous la forme suivante ainsi vérifiée que nous allons eipployer la 
formule (3*): 



(4) I 



QluKU?ifn) 



Usa — «0 / 



2;rî <p w 3}r% 
— 2nijffi ^(m + ç)(n + M) ^— s ^-^ \ iny^m (m— ^ii— ii) 



m«-0 11 = ' * «1 = 1 « = 1 ^ 



2 sin 



^(cotîy;r+0- 



h. 

Jy pose 7 = -7-) 611 désignant par A la valeur absolue d'un discri- 
minant fondamental négatif, je multiplie de part et d'autre par le signe 
de Legendke ( — 7 — j et j'ajoute les résultats pour A = i , 2 , . . . , A — i . 

Les sommations relatives à h dans les deux séries à double entrées 
s'effectuent directement au moyen des sommes de Gauss 

J— 1 . . . 2«A;ri 



g (^K "" = ± (^)'^ 



et pour obtenir sous forme simple la somme engendrée par 4a première 
série qui est à simple entrée, j'effectue la substitution A + nA = w; on 
aura ainsi 



h y \ m 



)^« 4'où (^) i = (=A) |±^ , 



284 M. Lerch. 

et le résultat suivant 



... J-i 



ni e-^^^ ^p> / — ^ \ hir 



E n" ~t 



2 sin $7: ^ \ k / ^ 



2wMrt 



6 i 



— ("+e)(»+«) 






3;rt 



En faisant usage de la formule de Lebesgue 

hn 4v/A .n 



s m ~' i- = -f «(- ^). 



nous aurons donc la relation suivante 

(I) -?^CT(-A)-^- 

^ / r ^ ' sin f r 

imujri 

_ — V / — A \ I '"'^ . ys -^ / — A \ 1 -^('» + fX"+«) 



e ^ — I 



+ *ti{=;^)^^^ 



(m— O(n-tt) 



m ■■ 1 »< — l 



dont nous allons tirer plusieurs conséquences. 

Je remplace A par A,, z par r^ en introduisant un nouveau discri- 
minant fondamental négatif — Aj avec l'indice correspondant r^. Mais 
avant de commencer les calculs, nous devons transformer la première série 
qui figure au second membre. En récrivant d abord 

J — /— A\ i e ^ ^ 



V (ziA\ 1 L_i + V /^ - 4l \ 1 



2m<u7ri ^-, . 



I — e ^ '""^ I — e ^ 

on la transforme en des séries à double entrée, au moyen de l'identité 



I ^— V 2mn-— - ±2nfjn 

e ^ 






= Z 



— P J " « = o 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 285 
On aura ainsi au lieu de (I) 



(1°) 



•• «0 



= - va: Z r (^■) ie -^ 



|-2ii^«t+ ; 



m=\ n»0 



Ji Ji 



m=- 1 »»l 



*— ' ^-^ \ n J m + t 

», = 1 « = 1 N / "• 



«) 






Je pose maintenant f = — , et après avoir multiplié les deux membres 

par le signe de Lrgendke ( i,~*)) j'ajoute les résultats pour 

Ä = I , 2 , . . . , Aj — I. 
En effectuant la sommation dans les deux dernières séries au moyen 

ft' 

de la substitution h + wA, = A, resp. — h + m A, = A, nous aurons la 
relation 






ItnnuKi 



2mujri 



j— e •" +e 



3m Mir» 



«0 «B 



«-l i: -l ^ ^ ^ ^ 



2m 

2k um JkuTri 

intiri J to . J.W 

e • + C 



J]» 



2^ 



OU en mettant A^o) et Aj<^ au lieu de œ et Uj 



(II) 



+ \/"A 



^C7(-A.)C7(-A,) 

2m 

SiiHffi knufft 

2/i 






Smnnt 

JlJfOt 



286 M. Lerch. 



Ici on peut passer à la limite pour w = o, je pose ensuite A, = A, ; la 
formule se simplifie comme il suit 



? 6V(- A, . = ,-^ z r -^ : i'-'- + '•"""-") 

OÙ nous avons mis — au lieu de lo. En grouppant les termes suivant 

les valeurs du produit m.n = k^ la somme S^— devient 7X72 = —^-, 

si Ton convient de représenter par 0^{k) la somme des diviseurs du nombre k. 
On aura alors, en faisant pour abréger œ = ix, la relation 

(III) cii- Ay = ^y'^ t (:^) ^-A-) (c-^' + e-^, 



lt»l 



d'où pour a; = I la formule encore plus simple 

(IIP) Cl{- A)' = '^^^^ £ ("A) ^ e"^' . 

n=l ' 

L*importance pratique de cette relation n'est point considérable, puisque 
pour de grandes valeurs de A la convergence devient lente; mais cela ne 
veut pas dire qu'elle ne mérite pas d'intérêt. 

Revenons sur la formule (II) en remettant les valeurs primitives w 
et u des variables, à savoir 



AIL 



C7(-AJC7(-AJ 



Ht "I J 



+^^.ri;(^)(=.^) 



2mu7n 
7mnmin — - — 

1 e ^» 


+ e 


2miiiri 


\y — 


2m 






9mnn 




+ 


inurri 
e '^^ 






on peut effectuer l'une des deux sommations en faisant usage de la formule 



Calcal da nombre des classes de formes quadratiques binaires à coe£Eicients entiers. 287 

Q{x) étant le polynôme dont il a été question dans le chapitre III; il 
vient ainsi 



4ff 



flV) 



^C/(-A,)67(-A,) 



Smuri immni , Smvxri 



^ ^» -^ \ m / 2m 



' e(fl ^' , — A.) 



3wtt7rt 



I — e 



Suri 









A,\ e ^^ + e 



2ii 



^»^ q(«~^, — A,) 



I — e ^«* 



où Ton peut prendre «f = o. Posant par exemple A = A,, w 
aurons 



I, nous 



Smff-, 



rif \\^ _ f Va V z'- A,\ I Q(e " ) 

m = l ' 



2ä 



Mais on parvient à des formules plus importantes, si Ton effectue les 
sommations au moyen des relations 

irr^ " /" »Va, \ ^-B(*. — A,)/ 

où lof]^r est une constante numérique connue. Or 



1 1 fl^ — 1 1 K^ziiAl 



— 2 arcl^ — ^ 



et on aura 



n - I ^ ^ 



v^A.Z(^. — A.) 
rCa-, - A,) 



288 



M. Lerch. 



en faisant ilogc^y. La formule (II) donne alors pour w = o, œ = ix 



(V) 



4T 



^a(-A,)67(-A,) 






+im 



- A,\ I Q\e 



QmxK 
J 



(e "^' .-A.) 



m 



imà^XTT 

I — e *^i 



fN- 1 



. v/A.^(^ ^*', — A») 

2 arctg ^-^i^i^ -^ > 

rie ^«',-aJ j 



oïl la constante y doit évidemment avoir la valeur 



1'= 2 arctg 



V^A, ^(o,-- A«) 
r(o , - A,) " ' 



c*est à dire 



o pour Aj > 4, 



2;: 



pour A, = 3, 



TT pour A, = 4. 

En spécialisant A, on aura autant de formules pour le calcul de 
Cl{ — Aj) que Ton voudra. Pour A, = 4 on a 



Q{^) = z — z\ Y=2Z, Z=i 



de sorte que 



1 — 2;^« I + a 



t ) 



;- — 2 arctg "^ ' =7: — 2 arctg - = 2 arctg^, 



et par conséquent, la formule (V) donne en changeant .r en — , 



(V°) 



n 
2r 



Cl(- A) = t (—4) ,^ 



tn cos hyp 



«ITT 



.r 



j: désignant une quantité positive arbitraire. 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires å coefficients entiers. 28^ 

Si Ton fait A, = 3, on aura Q{z) = z — ^', Y = 2z + i, Z= i, de 
sorte que 



r— 2arctg^^^=y--2arctg^^^ 2arctg^ 



et la formule (V) donne 



ou bien 



(V) 



.2n 



«f-A) = Ä£(^-)l 



3mxff- AmXK 



+ 2 



t {=è) -"« 



e 




^ e 


J 






SmxK 






I 


— e ^ 

2mjr 




1 


e 


"y/3 








ImK 





2 + e 



Sx 



2z 



(7/(- A) = 



1 ni 



sin hyp 



mxz 



sin hyp 



^fnxn 



+ 2 Ê (-^) ^'^^^ 



N/â 



imx 



I + 2« •' 



Prenons encore A, = 8, où Ton a 



Ç = ^ + ^»_;j 



8 .0 ^7 



r=2(^'— i), z = ^, 



et 



Q z + z* 



i —z' I + «* 



n s'ensuit 



? c((- A) = ./Ä r (^) i 






HfMXJT 



I + e 



+ 2 È (-m-) "^^ 



mn* 



v/2e ^' 



I — e 



mir 
2* 



^r/a mo/A^moitca. 30. Imprimé le 28 mai 1906. 



37 



290 M. Lerch. 



OU bien, en changeant a; en - , 



(V) 



V"«(-A) = ı(^)i 



- mxT: 
cos hyp —T— 
__A_ 

2mx7: 
cos nyp 



+ = è (^) '^'•«*s ^ 



A 

Vi 



3x /, " 27 



e 



2. Revenons sur Téquation (4). En représentant par D une discri- 
minant fondamental positif, posons-y ^ = 77 > multiplions de part et d'autre 

par (y) ®^ ajoutons les résultats pour A— i,2,...,2) — i. Il vient 



3mMri 

2rr 



c ^~" I 

m B 1 n s 1 

Séparons, dans la première somme, les termes à m positif, et faisons usage 
de ridentité 



2mu7n 7miri . , . . ^» . 

— .7— Irnurei ^r (»f«) + 2ç;r» 

e " —pr— e " 



e ^ — I I — e ^ 

cette transformation permettra de mettre la relation obtenue sous la forme 
suivante 

Z>\ I 



(VI) 



^ Lm^ \mj m 



2«"*, . ^. . . • • .^. 2fft" _, 

(m-0(«-«) 

- — f* » 






2mfft , V . „. . 2iMfft* . „^ . 



^ /D\ i e ^ i—S^(R\L±l 



-2^7ri 



Calcul du Dombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 291 

{D un discrimiiiant positif fondamental, (o ayant sa partie imaginaire po- 
sitive, puis o < f < I , et enfin u désignant une quantité de la forme 
a+a'cDy où o<a<iy o<^'<i). 

En passant à la limite pour w = o, cette équation devient 

m = \ 
m-O « = l ^ ^ ' * m = l n = l ^ ' 



(VP) 



9ni , ^ 






+ 



ß-iCni 



9m» jr» 



I 6 



-Uni 



La première série à double entrée qui figure au second membre contient 
des termes qui pour f = o deviennent infinis; ce sont les termes où m = o 
et leur somme est 



(a) 



D\ - 



&) 



înfjT» 



ïc>rt 



e " = T 



îQ{e • .Z>) 



iDM 



I — e 



On peut passer à la limite pour f = o dans les termes qui restent, et il 
ne s'agit que de la limite de la quantité (a). Nous savons que pour les 
discriminants positifs la fonction Q{x) a cette propriété que Ç(i) = o, 
Q'{i) = o, et il s'ensuit que Ton aura 



lim< 






A cause de la relation 



ç(^>- 



cette quantité s'écrira 









292 M. Leroh. 

et notre conséquence de Téquation (VP), relative au cas de f = o, prend 
la forme 



2mat7n 

.^^ /D\ I e 

2 



V iw \m/ n 



e ^ 



t^ 2mtuni 



Le premier membre a pour valeur la quantité Cl{D)\ogE{I)), et au 
second membre la série à double entrée devient une série simple, si Ton 
effectue la sommation relative à w, en faisant usage de la série loga- 
rithmique. Posant enfin co = ix, on aura la relation 

(VD CliD)logEiD) = ^X{jy-'t{^y^Å'-'~'^l 

""^ e ^ — I 

X désignant une quantité positive arbitraire. 

L'équation (VI°) fournit une formule plus commode pour le calcul 

numérique, si Ton y prend f=-; écrivant 2m+i=^7 resp. 2m — i=A, 

elle devient d'abord 



m«»l n — 1 À ' 



Annt 

e • 






3ma»fri 



Smoiri ' 



I + Ô ^ 



OÙ A = I , 3 , 5 , 7 , En faisant usage de la formule 



=r^-'o.B 



I + X 

X 



le second membre se simplifie et on aura, en posant comme précédemment 
CD = ix, la formule cherchée 



Calcul du nombre des classes de formes quadratiques binaires à coefficients entiers. 293 



6V(D)log^(D) = 2£(^)log' 



1»«" 



nr 



I — e 



n— 1 ' 



n '*^*' 



e ^ — I 



Le mémoire présenté à l'Académie contient encore quelques applications de 
certains développements demiconvergents. Si je les supprime ici, c'est puis- 
que j*ai en vue d'y revenir bientôt en leur ajoutant d'autres détails que 
î'ai dû supprimer dans le mémoire primitif. 



ERRATA T. 29. 



P^e 344 et 345. Remplacer dans les symboles 

\ax^ + hzy + cyv ^ \a , 6 , c/ 
le numérateur — A P^^r — Ai» 

Page 403, formule (31), mettre le signe t moins» devant (-r-j 



295 



LETTRE 

A Monsieur le rédacteur de la Revue Générale des Sciences. 

PAR 

I. RICHARD 

k DIJON. 



Dans son numéro du 30 mars 1905, la Bévue signale certaines contra- 
dictions qu'on rencontre dans la théorie générale des ensembles. 

11 n'est pas nécessaire d'aller jusqu'à la théorie des nombres ordinaux 
pour trouver de telles contradictions. En voici une qui s'offre dès l'étude 
du continu, et à laquelle plusieurs autres se ramèneraient probablement: 

Je vais définir un certain ensemble de nombres, que je nommerai 
l'ensemble E, à Taide des considérations suivantes: 

Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de 
l'alphabet français, en rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, 
puis, à la suite tous les arrangements trois à trois, rangés par ordre alpha- 
bétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces arrangements 
peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrange- 
ments avec répétition. 

Quel que soit l'entier p , tout arrangement des vingt-six lettres php. 
se trouvera dans ce tableau, et comme tout ce qui peut s'écrire avec un 
nombre fini de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut 
s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le mode 
de formation. 

La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec 
des lettres, certains de ces arrangements seront des définitions de nombres. 
Biffons de nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des définitions de 
nombres. 

Acta matkematiea. 80. Imprimé le 23 mai 1906. 



296 I. Richard. 

Soit w, le premier nombre défini par nn arrangement, w, le second, 
W3 le troisième, etc. 

On a ainsi, rangés dans un ordre déterminé, tous les nombres définis 
à Vaide d'un nombre fini de mots. 

Donc: Tous les nombres quon peut définir à Taide d'un nombre fini 
de mots forment un ensemble dénombrable. 

Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre 
n'appartenant pas à cet ensemble. 

cSoit p la n^^^^ décimale du w**™^ nombre de l'ensemble E\ formons 
un nombre ayant zéro pour partie entière, et pour w**""® décimale i>+ i» 
si p n'est égal ni à huit, ni à neuf, et l'unité dans le cas contraire.» ' 
Ce nombre N n'appartient pas à l'ensemble E. S'il était le ?2**™® nombre 
de l'ensemble E^ son n**™* chiffre serait le w**"® chiffre décimal de ce 
nombre, ce qui n'est pas.» 

Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets. 

Le nombre N est défini par les mots du groupe G y c'est à dire par 
un nombre fini de mots; il devrait donc appartenir à l'ensemble E, Or, 
on a vu qu'il n'y appartient pas. 

Telle est la contradiction. 

Montrons que cette contradiction n'est qu'apparente. Revenons à nos 
arrangements. Le groupe de lettres G est un de ces arrangements; il 
existera dans mon tableau. Mais, à la place qu'il occupe, il n'a pas de 
sens. Il y est question de l'ensemble JEJ, et celui-ci n'est pas encore 
défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n'a de sens que si l'en- 
semble E est totalement défini, et celui-ci ne peut l'être que par un 
nombre infini de mots. Il n'y a donc pas contradiction. 

On peut encore remarquer ceci: L'ensemble de l'ensemble E et du 
nombre N forme un autre ensemble. Ce second ensemble est dénombrable. 
Le nombre N peut être intercalé à un certain rang k dans l'ensemble E^ 
en reculant d'un rang tous les autres nombres de rang supérieur à k. 
Continuons à appeler E l'ensemble ainsi modifié. Alors le groupe de mots 
G définira un nombre N' difféi'ent de N, puisque le nombre N occupe 
maintenant le rang A, et que le A:**""® chiffre de N' n'est pas égal au 
A:***"" chiffre du A**"" nombre de l'ensemble E. 



ON THE ROOTS OF THE CHARACTERISTIC EQUATION 

OF A LINEAR SUBSTITUTION 



BY 



T. J. Ta bromwich 

in G AL WAT, Ireland. 



297 



I. The equation in A 



^1.1 ^ } ^1,2 J ^1,1 ) 



• ) 



• ) 



a 



n,l 



a 



11,2 



a 



a 



I,« 



a 



2.11 



a 



8,11 



= O 



«,8 



) • • • ) ^n, n A 



has been discussed by many writers; the following results are well known. 

The roots are real in case aU the numbers a are real and such that 
a^, = a,,.; that is, if the matrix of a's is symmetric* 

The roots have the absolute value unity, if the matrix of as belongs 
to a real orthogonal substitution.' 

The roots are pure imaginaries or zero, in case the a's are 7'eal and 
a^^ = o, a^,, = — a^/, that is, if the matrix of a*s is alternate.* 

However, in spite of these results relating to special types of the 
matrix a, nothing was known of the nature of the roots for a general 



* Cauchy, 1829. 

• BRioscHf, 1854. 

' Weierstrass, Ï879. 

Acta mathmnatiea. 30. Imprimé le 28 mai 1906. 



38 



298 T. J. l'a Bromwich. 

matrix, until the problem was attacked by Bendixson * in 1 900 ; he ob- 
tained upper and lower limits for the magnitude of the real and imaginary 
parts of the roots, taking all the numbers a to be real. The extension 
to the case of complex numbers a was made by Hirsch' in 1902. 

In what follows, we shall obtain narrower limits for the imaginary 
parts of the roots; incidentally, we also obtain Bendixson's and Hirsch's 
limits for the real parts of the roots. 

2. Take, in the first instance, all the a's to be real; and then write 

A = Ia,^,x,y,, B = IK^.x^y, , C= Ic,^,x,y,. 

It is now obvious that -4 = 5 + C', and that the bilinear forms B , C\ 
are, respectively, symmetric and alternate. Following Frobenius, let us 
also write E for the unit form Ix^Pr and let \Ä — XE\ denote the de- 
terminant written out at the beginning of § i, while \B — A^|, \C — ÅE\, 
stand for similar determinants with ô*s, c's in place of as. 

Suppose that Aj , ^^ , . . . , A« , are the (real) roots of\B — AJ5 1, it is then 
known from a theorem due to Weierstrass ^ that a real linear substitution 
can be found w^hich, when applied to the x's and y's, reduces B to the 
form B I = IX^x^y^y while it leaves E unchanged. This substitution will 
change C into (7j, another alternate form with real coefficients; but it 
will not alter the roots of the fundamental equation. Thus the equation 
1^, + (^\ — ^E\ = o has the same roots as \A — XE\ = o. 

Suppose now that A = a -f- iy5 is one of these roots ; then the bilinear 
form Jîj + C'j — {a-^-ißjE has the rank* {n — 1) at most. Consequently 
values of ^r, , a:, , . . . , a;„ can be chosen wliich make the form zero, whatever 



* Öfversigt af K. Vet. Akad. Förh. Stockholm, 1900, Bd. 57, p. IO99; 
Acta Mathematica, t. 2$, 1902, p. 359. 

' Acta Mathematica, 1. c, p. 367. 

' Berliner Monatsberichte, 1858; Gea. Werke, Bd. I, p. 243. 

* Rang, according to Frobenius. 



On the roots of the charactenstic equation of a linear substitution. 299 

values may be taken for y, , y, , . . . , y»; naturally, the values for the re's 
will usually be complex, and some of them must be complex, unless ß is 
zero. Write for these special values 

and let us choose for the y's the conjugate complex numbers 

it being understood that p^ and q^ are real. With these values forrr,, //^, 
we .find 

further 

^ry. — x.Vr = — 2i(i),g.— i).g.), 

so that C, becomes a pure imaginary. But, according to what we have 
ah-eady explained, 

^K{i^ + <?î) + (?.-(« + iß) 2{p} + g?.) = o ; 
thus, since C^ is imaginary only, we have 

Hence 

I'ipl + ql) ' 

and conseqiientlij a lies beUveen the greatest and least of the numbers A,, 
A, , . ., /„, which is one of Bendixson's results (I. c. Theorem II). 

We proceed next to obtain a corresponding theorem for ß. Let us 
suppose that the non-zero roots of the equation \C — ÅJE\ = o are given 
by Å= +i/i^ J + i/i, , • . . , ± i/J^vy where 2v < w; so that there are {n — 2]i) 
zero roots of this equation. By a theorem of Wbierstkass,^ stated in 
§ 1 , the numbers ;ij , //, , . . . , /iy are all real ; and they may be supposed 
positive without loss of generality. Further the invariant-factors of the 
determinant \C — XE\ = o are all linear.^ It is then possible to find a 



* Weierstrass, Berliner Monatsberichte, 187O; Ges. Werke, Bd. 3, p. 139. 



300 T. J. Ta Bromwioh. 

real linear substitution, which, when applied to the x's and y*s, reduces 
C to the form 

but leaves E unchanged.' Owing to the nature of this substitution, B 
is changed to B^ another bilinear form which is symmetric and has real 
coefficients. Then, just as in the last case, values of the x'& can be chosen 
so that 5, + C, — (a + i/9)J5 = o, for all values of the ?/'s. Let these 
values of the x's be given by 



and take 



yr =Pr ^?r- (»•=>»« •) 



Then 

and consequently B^ is real; but 

so that 

c^ = — ^ilMiiPiq^—p^qô + . . . +/i.(i>2.-ig»v— jPav32.-i)]. 

Hence, from the equation B^ + C^ — {a-\- iß)E = o we deduce 

ß^pl + ql) = — 2 [fii {2h q^ —p^qi) + . . . + /i.(i>2.-i g«v —p7.q7.-1)]' 

But, in absolute value 2{p^q^ — i^aîi) is not greater than (i^î + î') + (i>a+?î), 
and consequently 

\ß\^{pl + q':)<[ßx{p\ + q\+p\ + (ZÎ) + . • . +/^(K-i + îîv-i +K + î?iv)]. 

From which it is clear that the absolute value of ß camiot exceed the greatest 
of tlie numbers /jl^ , /jl^ y . . . , /i^; which is obviously analogous to Bendixson's 
Theorem 11. We shall now see that this theorem usually gives narrower 
limits for ß than Bendixsons Theorem I, and cannot give wider limits. 



^ That such a redaction is possible is contained implicitly in Kroneckek's work 
on the reduction of a single bilinear form. For an explicit treatment, see my papers, 
Proc. Lond. Math. Soc, vol. 32, 19OO, p. 321, § 4; vol. 33, 1901, p. 197, § 3; 
American Journal of Mathematics, vol. 23, 19OT, p. 235. 



Od the roots of the characteristic equation of a linear substitution. 



301 



For, since + //ij , ± i/ij , . . . , ± ifij, are the non-zero roots of \XE — C| =o, 
it follows that 

/^î + a4 + • . • + ;iî 

is equal to the coefficient of A*""' in the expanded form of the determinant; 
thus 



(r, *=-!,«, ...,«) 



;^î + A4 + ... + /i' = 2^^'''- 

Hence, if g is the greatest coefficient in C, we have * 

fA+ t^t+ '-'+ [ît<\n{n—\)g\ 

Thus it will usually happen that the greatest of /x^ , /i^ , . . . , /A, is less 

than g\ n[n — i) ; and the greatest /x can never exceed this value, which 
is the limit given in Bendixson's Theorem I. 

3. Suppose now that the numbers a are complex: and write a' to 
denote the complex number conjugate to a. Then write 



Wîr., = - (ö^r., — <r), Wî,,r = ' Kr " <.), 



(r,««l,î, ...,n) 



SO that, 
Further, put 



^r,« ^t,r^ ^r,$ — ^«,r 



(r,«- 1,2, ...,») 



Then it is obvious that -4 = JB + i(7, and that the bilinear forms B , C 
are forms of Hermite's type. 

Suppose now that A, , A^ , ..-, A« are the roots of \B — A^| = o; it 
is known that these roots are all real and that the invariant-factors of the 
determinant are linear.' It is then possible to find a linear substitution 



* There are only n{n — l) non-zero coefficients in (7, because Cr^r = O. 

* Chbistoffel, Crelle's Journal, Bd. 63, 1864, p. 252. 



302 T. J. l'a Bromwich. 

S (usually complex) such that when S is applied to the x*8, and the 
conjugate substitution to the y's, the form B is reduced to 5, «» iSl^oj^y^, 
while E remains unchanged.* Further C is changed to C, , another bi- 
linear form of Hebmite's type, (in consequence of the relation between 
the substitutions on the x's and on the y 's). 

The determinantal equation then becomes \B^ + i(7, — XE\ = o\ thus, 
if a root is A = a + iy9, we can choose the a;'s so as to make 

B,+iC,—{a + iß)E = o, 

whatever values we give to the y's. Suppose that these values for the 
x's are given by 

Xr=Pr-{' iÇrj (r-l,2,...,ii) 

and then take 

Thus 

B, = IKipl + gî), E = lipl + ql); 

also, if Ci=^ S^Tr^i^rVty ^0 have that Tr,»^ry, ^^^ 7»,r^$yr are conjugate 
complex numbers, because ^,,r = ^r,*» ^*==y«> Vr^^K'y further Xr.r^rVr îs 
real; hence B^ ^ C^^ E are all three real. Consequently the relation 

^1 +iC,—{a + iß)E=o 

gives JBj = a-B, so that 

i\rl + ql) * 

Thus, just as in § 2, a lies between the greatest and least o/ Aj, A,, ...,^^. 
This is Hiksch's Theorem II. 

But it is now clear that, if A = /Xj , /i, , . . . , /i« are the roots of 
\C — XE\ = Oy we can similarly transform C into the form C^ = I'/ir^rVrj 
leaving E unchanged, while B becomes B^ another Hermite's form. Thus, 
by an exactly similar argument, we find that ß lies between the greatest 
and least of fi^ y fx^^ . . . , /x« ; which is the extension to complex coefficients 
of the theorem proved in § 2 for real coefficients. 

We proceed now to show the connection between these theorems and 



* See for example § 6 of the first, or § 5 of the last, of my papers quoted above. 



On the roots of the characteristic eqaation of a linear snbstitutioD. 3dS 

Hirsch's Theorem I. Since Aj , A, , . . . , A„ are the roots of the equation 
\B — }sE\ = Oy by comparing coefficients of A'*"'\ A""*, we find 

Thus 

Hence, if g^ is the greatest absolute value of any coefficient in 5, we have 

2Xl<ng\ + n[n—\)g[, 
or 

Now we have seen that a* is not greater than the greatest of AJ,AJ, ...,AJ; 
and consequently a' is usually less than (w^^J*, while it can never be 
greater than this limit. That is, a is not greater^ numerically, than ng^. 
Similarly, if g^ is the greatest absolut« value of any coefficient in (7, it 
can be proved that ^ ß is not greater^ numerically ^ than ng^ . 
From the inequality proved above 

and the corresponding one 

we find 

a' + ß'<m,r + cl,.) + S[K,Xr + C^^.Cj. 

Now 



and 



^r, r I ^r, r — ^r, r ^r, r j 



K»Kr + C,,,C,,, = ; {a,,a\r + «,.r<,)j 



so that 



Thus, if g^ is the greatest absolute value of any coefficient in Ä, we have 

a' + ß'<ng\^n{n-i)gl 

^ If it happens that the coefficients in C are pure imaginaries, so that r^.r = O, 
Cr,$ = — <^*,r. it can be proved (as in § 3) that 



|y5|;:i/.ß»(»-o]'. 



304 



T. J. l'a Bromwich. 



or 



\oi + iß\<ng^' 



That is, the absolute value of [a + iß) is not greater than ng^ . 
The results 



constitute Hirsch 's Theorem I, which is therefore included in the general 
theorem obtained previously. 

4. I have also attempted to obtain some relation between the indices 
of the invariant-factors of \A — AJ?|, and those of * |AB + /£C|; but hitherto 
I have not succeeded in finding any general theorem in this connection. 
The two following examples show that the relation (if there is one) is 
not very obvious. 

If 

I— A, 2 , 



|^_;iJ5;| = 



then 



\XB + fiC\ = 



X 
A — fi 



, i—X 
o 

X + fi 
X 



4 
6 



[One invariant-factor 



2 (A— /a) , 3(^ — /*) . 



H^ + fi) 

3^+/*) 

X 



[Three invariant- 
factors X{X*—2;i*)] 



Again if \A — XE\ = 



a — X , — I 



, then \XB + /iC\ = 



aX , —IX 



In this case both determinants have a squared invariant-factor if a' = 4; 
but if a has any other value, the first has two different invariant-factors 
(A* — öfA+i), while the second has always a squared invariant-factor (/x'). 

Dublin, iith October, 1904. 



^ It is obviooaly hopeless to use the invariant-factors of | £ — kE\ and | — XE\y 
because these are always linear; while \ A — XE\ may have invariant* factors of any 
degree np to n. In this paragraph the a's are supposed real, so that B and C are 
deduced from A according to § 2 (not § 3). 



Inhallsverzeiclinlss. Table îles matières. 

Salta, raftt. 

ItBNdll, JU9 KWfti« -»ur )« aûçvi du nombro d« oIomcs de foroiue 

qnadratiqaea hioaim aax ooednpots ention - - , _ . SOU— 208 

RlcaiM). i., Iiettre «k Monsieur le rédsctiMir dn |a Kertu Oi^iÂrnlc , 

dw Sci«n<!« ,,, 205—2,06 

filtOMvics, T. J. Ia. Oa tbo iudU uI' Chi* üliavactui-utii' ei|attÜ»ii of 

It linen» an.batftut)Dt) ... iU7—Sa4 



f. >1 



.CTA MATHEMATICA 



ZKirSOHUlKI 



.lOURNAL 



lA l'Ai) HM KUH» 



i.i. MITTAG-LEFFLEB 



30: 






:nt<«»IIIKl. «fll(lBnitt.M 



sv El:" 

A. LrsDerrfUiT, ätucbliuüu 

MrrT«ii-tfBVTt«ir, • 

C. StAicue«, 
L, Stiow, 



DANMAKK- 
J, PiEVKnsitK. KJtUitinbiivii. 
fl, ij-. ZrvruKH. 

FINLAMV 



805 



SUR LÀ RÉSOLUTION QUALITATIVE DU PROBLÈME RESTREINT 

DES TROIS CORPS 

PAS 

T. LEVI-CIVITA 

à PADOUR. 



Dans le problème des trois corps (points matériels, qui s'attirent 
suivant la loi de Nbwton) les forces et par conséquent les équations diffé- 
rentielles du mouvement se comportent d'une façon analytique régulière 
tant que les positions des trois points restent distinctes. 

D'après cela il est presque évident qu'il ne peut y avoir autre raison 
de singularité pour le mouvement en dehors de la circonstance que deux 
des trois corps (ou tous les trois) se rapprochent indéfiniment. 

Plus précisément M. Painlevé ^ a démontré qu'à partir de conditions 
initiales données des singularités peuvent se présenter alors seulement 
qu'une au moins des distances mutuelles tend vers zéro pour t convergent 
vers une valeur finie t^. 

Quoi qu'il en soit, les résultats récents de M. Mittag -Leffler sur 
les représentations des branches monogènes des fonctions analytiques per- 
mettent d'affirmer que: 

Dans le problème des trois corps les coordonnées sont exprimables en 
tout cas et pendant toute la durée du mouvement par des séries jouissant 
des propriétés fondamentales des séries de Taylor. 

Soit en effet x une quelconque de ces coordonnées. D'après la con- 
clusion de M. Painlevé, rappelée tout à l'heure, la fonction x{t) reste 

^ Voir ses »Leçons etc., professées à Stockholm», chez A. Hermann, Paris 1897^ 
p. 583. 

Aeia matkmatiea. 30. Imprimé le 17 février 1906. 39 



306 T. Levi-Civita. 

régulière pour toutes les valeurs de ^, qu'il y a lieu de considérer: savoir 
de rinstant initial t^ jusqu'à Tinfini dans le cas général où il n'y a pas 
de choc au bout d'un temps fini; de t^ à t^ (ce dernier instant exclu) 
lorsque le choc intervient. 

Dans les deux cas les intervalles de l'axe réel {t^ , cx)) , [t^ , t^) sont 
intérieurs à l'étoile de M. Mittag-Leffler se rapportant au point t^. Les 
équations du mouvement fournissent d'ailleurs, en fonction des données 
initiales, les dérivées successives de la fonction x{t) au centre t^ de l'étoile. 
Il suffit donc de construire, en se servant de ces valeurs, un des dé- 
veloppements indiqués par M. Mittag-Leffler pour en tirer une ex- 
pression de x{t)j embrassant toute la durée du mouvement. 

On peut dire que le problème est résolu. Mais (tout en restant dans 
le terrain théorique, où l'on fait abstraction de la complexité des moyens 
employés) ce n'est pas une résolution complète. Elle est, pour ainsi dire, 
aridement quantitative et ne nous laisse pas apercevoir la nature du mouve- 
ment. 

A ce point de vue se pose d'abord la question de la prévision des 
chocs: conditions à être remplies par les circonstances initiales pour que 
deux des trois corps, ou tous les trois, se choquent au bout d'un temps fini. 

La première partie de cette question, dont je m'étais occupé pour le 
cas particulier du problème restreint \ vient d'être brillament discutée par 

M. BiSCONCINI.' 

La seconde attend encore une réponse. Mais, lors même qu'on en 
posséderait une, il ne serait pas encore permis de tirer des conséquences 
astronomiques. En effet les corps célestes ne sont pas des points matériels 
et il est loisible de les tmter ainsi pourvu seulement que leurs dimensions 
soient négligeables par rapport aux distances, c'est-à-dire (dimensions et 
degré d'approximation étant donnés) pourvu que leurs distances ne descen- 
dent pas au dessous d'une certaine limite e. A cette condition seulement 
les résultats mathématiques seront acceptables. 

En l'espèce, pour pouvoir affirmer qu'à partir d'un état initial donné, 
le mouvement se poursuivra régulièrement, il faudra être certain que les 
distances restent supérieures à Ve susdit. 

* Traiettorie singolari ed urti nel prohletna ristretto dei tre cor pi. Add al i di Ma- 
tern atica, Ser. III, T. 9, 1903. 

* Sur le problème des trois corps etc, dans ce même vohime des Acta. 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 307 

Reconnaître d'avance sur les données initiales quand il en est ainsi, 
voilà le but essentiel de l'analyse qualitatif de notre problème. 

J'ai réussi à faire un petit pas pour le cas particulier du problème 
restreint. Voici d'une façon précise le contenu de ma recherche. 

Bappelons d'abord qu'il s'agit dans le problème restreint du mouve- 
ment plan d'un corps P (de masse négligeable) attiré par deux autres S^ J 
tournant uniformément autour de leur centre de gravité. 

La distance is7 restant constante, on doit se préoccuper seulement 
de P8 , p7, et il suffit d'en envisager une, PS par exemple, puisque les 
mêmes considérations s'appliquent évidemment à l'autre. 

Cela étant, je me suis proposé l'étude des trajectoires du système 
(courbes décrites par le point P) dans une région suffisamment petite J) 
entourant le cei^tre S. 

Les équations différentielles du mouvement présentent, comme il est 
évident d'après la nature newtonienne de la force, des singularités au point 
S. Mais on peut les régulariser (le sens de ce mot n'a pas besoin d'ex- 
plications) par une transformation convenable. On peut notamment, en 
ayant recours à l'équation de Hamilton-Jacobi, caractériser d'une f^çou 
très nette les trajectoires de la région D. On en tire sans peine une re- 
présentation sous forme holomorphe de tous les arcs de trajectoire -4, pos- 
sibles à l'intérieur de D. Aucun de ces arcs ne peut se rapprocher in- 
définiment de 8 sans le rejoindre jamais, c'est-à-dire tout arc ^, ne passant 
pas exactement au point S, en reste à une distance finie. La moindre 
distance â du point S à l'arc A peut être exprimée en fonction (uniforme 
à l'intérieur de D) d'un quelconque des états de mouvement de P sur A. 

Ou bien d=0] c'est la condition du choc. Ou bien â> o. On peut 
affirmer que sur l'arc A le mouvement se poursuit régulièrement. Si au 
surplus â> 6, il sera permis d^attribuer un sens physique au résultat ma- 
thématique. 

Kien n'autorise toutefois des prévisions à longue échéance (<^>s, ni 
même d>o quel que soit t). 

C'est là une remarque essentielle, que je dois à l'obligeance de M. 
Phragmén. 

On conçoit en effet qu'on puisse, en suivant une trajectoire déterminée, 
sortir de D le long d'un arc -4, et y rentrer le long d'un arc différent 



308 T. Levi-Civita. 

Ä', et ainsi de suite, avec des nouveaux d, ayant même zéro pour limite 
inférieure. 

H arrive sans doute — l'exemple étant offert (§ 8) déjà par le cas 
élémentaire, où la masse de J serait nulle — qu'une trajectoire pénètre 
dans D une infinité de fois par une série d'arcs -4, qui, tout en étant 
en continuation analytique, se présentent à l'intérieur de D comme des 
éléments distincts. 

Sur la limite inférieure des â je ne puis rien dire: tous mes efforts 
dans cette direction ont complètement échoué. 

L'analyse de ce qui se passe au voisinage de S ne suffit donc pas à 
épuiser la question tout en fournissant des renseignements dignes d'intérêt. 

Pour résumer sous forme expressive on peut énoncer la conclusion 
suivante : 

Si d> e il n'y a rien à craindre pour le moment du voisinage de 
S, Seuls des rapprochements nouveaux (c'est-à-dire précédés par des sorties 
de D) pourraient devenir dangereux. 

Qu'il me soit permis de saisir l'occasion pour adresser tous mes re- 
merciements à MM. Mittag-Leffler et Phragmbn, qui ont honoré ma 
recherche de leur intérêt bienveillant. 



S !• Equations du fnouvement. — Forme canonique uatielle. 

Soit P celui des trois corps, dont la masse est négligeable et n'exerce 
par conséquent aucune influence sur le mouvement des deux autres S ^ J, 
Ce mouvement est alors képlérien. On suppose qu'il soit le plus simple 
possible, c'est-à-dire que les deux corps S et J tournent uniformément 
autour de leur centre de gravité commun 0. On suppose encore que le 
corps P se meut dans le plan, qui contient les deux orbites circulaires de 
8 et de J, 

On est ramené de la sorte à un problème avec deux degrés de liberté: 
Mouvement plan d'un point P, sollicité par l'attraction newtonienne de 
deux centres variables 8 et J. 

Convenons de prendre comme unité de masse la somme des masses 
des deux corps 8 et J\ si fx désigne la masse de J, v = i — fx sera alors 
celle de 8, 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 



309 



Cîonvenoiis encore de prendre la distance constante 's! pour unité de 
distance et de fixer l'unité de temps de façon que la vitesse angulaire de 
la droite SJ soit égale à l'unité. Dès lors la constante de la gravitation 
universelle résulte, elle aussi, égale à l'unité, et le potentiel des forces 
agissantes sur l'unité de masse de P est 

en * désignant par r et A les distances PS et p7. 



r,- 



kll 



\ A 



S y O '->• 



XX, 



Rapportons-nous pour un moment à deux axes mobiles Ox^ , Ot/^ ayant 
OJ comme direction positive de l'axe rCj, et, comme direction positive de 

l'axe y,, celle qu'on obtient de OJ en tournant de - dans le sens de la 

rotation de la droite 8J . 

Comme est le centre de gravité de iS et de «7 et 5/ = i , les coor- 
données de S sont: — /i,o; celles de </: i — /i,o. 

Ceci posé, d'après le théorème de Coriolis, les composantes de l'accé- 
lération absolue d'un point mobile quelconque P (ayant %^[t) j y^{t) pour 
coordonnées par rapport à nos axes) seront 



a;;-— 2y, — iTi, 
y\' + 2x\—y,, 

les accents indiquant des dérivations par rapport au temps t. 

Les équations du mouvement s'obtiennent en égalant l'accélération à 
la force, qui agit sur l'unité de masse. 



310 



T. Levi-Civita. 



Elles sont donc ici 






Vx 



Passons maintenant de ajj , y, à un système d'axes parallèles 05, y, ayant 
pour origine le point 8, 

Les formules de transformation 



X. = X 



yi=y 



donnent 



(0 



X 



M 



2r 



a; = 



y" + 2x'—y 






d 



ayant posé pour abréger 



Je pose encore 

(2) 



A 



y'^q — x, 



et jo puis alors écrire les équations (i) sous la forme: 



(3) 



dp 
di 






Les deux équations du second ordre (i) se trouvent ainsi remplacées par 
le système équivalent d'équations du premier ordre (2), (3) aux quatre 
fonctions inconnues x , y , p , q. 

C'est un système canonique, dont la fonction caractéristique est 



(4) 



j^=-2((i'+yr+(î~^n-{;+-V'+/.FJ. 



et les variables conjuguées a; , jp; y ^ q. 



Sur la résoIntioD qualitative du problème restreint des trois corps. 311 

On constate en effet immédiatement qne les équations (2) et (3) sont 
bien identiques aux suivantes: 



(I) 



dz 


dF 


dy dF 


dt 


ap' 


dt "" dq 


dp 
dt 


dF 

dx ' 


dq _ dF 

dt dy 



Il convient de remarquer: 

i^ que les auxiliaires jp et g, définies par (2), ne sont que les com- 
posantes de la vitesse absolue du mobile (plus précisément de la 
vitesse de P par rapport à un système de direction invariable 
ayant T origine en S)\ 

2° que les équations (I) admettent Tintégrale (dite de Jacobi) 

En désignant par v la grandeur de la vitesse relative (aux com- 
posantes x\ y')y la dite intégrale s écrit, d'après (4) et (2), 

(5) Iv^-ll + ir-'-hßV^^-C. 



S 2. Autre forme canonique. — JSégularisation au point S. 

Une transformation du système (I), qui donne Heu à des consequences 
remarquables, s'obtient en posant 

(6) x + iy = {Ç + irj)\ 

(7) P-i2 = ^^^ {i = yJ-=^. 

où il est sous-entendu qu'on doit séparément égaler dans les deux membres 

les coefficients de i et les termes qui en sont indépendants. 

Les deux séries conjuguées x , y ; p y q sont de la sorte liées aux deux 

nouvelles séries S y yj ] S^ y X P^ ^^® transformation de contact. Il suit en 

effet de (6) 

dx + idy = 2(f -f iij){dÇ + idrj), 



312 



T. Levi-Civita. 



d'où, en multipliant membre à membre avec Téquation (7), 

(p — n)iß^ + i^y) = (fi> — ix)i^^ + ^?)» 

ce qui donne en particulier 



En posant 



(8) 



pdx + qdy = (ôdÇ + X^^ 



p' = ^' + yj' 



et en tenant compt« que r n'est autre que \\Jx* + y*\, on obtient aisément 
de (6) et (7) 



(9) 



r^p\ 



Ap 

^p + yq = l (fö> + Tjx), 
yp—xq=l{7jts — Çxy 



Appliquons maintenant le changement de variables (6) et (7) au système 
différentiel (I). 

D'après Tidentité 

pdx + qdy = (ôd^ + x^tj , 

le système transformé en f , î? , S , ;f sera encore canonique avec la même 
fonction caractéristique F, qu'on doit seulement exprimer par les nouvelles 
variables. 

Nous aurons donc 



(I') 



id$ _ 


dF 


dij 


9F 

• 


dt 


9a' 


dt 


^z' 


da 


9F 


dX_ 


9F 


1 dt 


af ' 


dt 


»7 



(40 



Quant à F^ les (4) et (9) donnent après coup 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 313 

F=— — X étant une fonction régulière tant que PS<i, c'est-à-dire, 

d'après (6), tant que f* + iy' < i. Pour notre but il suffit d'ailleurs de 
retenir que c'est une fonction holomorphe pour |f|, [ly] assez petits. 

Il ne me paraît pas sans intérêt de faire remarquer (tout en n'ayant 
pas à m'en servir dans ce qui va suivre) que le système (I') peut être ré- 
gularisé au point S, 

Voici de quelle façon. 

Introduisons une variable auxiliaire r d'après la position 

dt 
P 

Tant que le mouvement se poursuit régulièrement p^ = r n'est pas 
nul (ni infini). H y a donc correspondance biunivoqne entre t et r, et 
on peut bien considérer cette dernière, au lieu de <, comme variable in- 
dépendante. Faisons ce changement dans les équations différentielles (!'). 
On n'a qu'à y remplacer dt par /oVr, ce qui donne: 

dm ^aF ^__ î^*' 

dr ~ ^ d$' dr~ ^ dïj ' 

Comme /o' = f' + 7', et F a, pour toute solution de (I'), une valeur con- 
stante — C, on peut écrire: 

De même 

Il suffit donc de poser 

Acta mathematiea. 30. Imprimé le 19 Mrrier 1906. 40 



314 T. Levi-Civita. 

pour pouvoir présenter le système précédent sous la forme 



(I") 



dz diu ' dr 3/ ' 

da _ dH a^ _ dH 

. dz 3f ' dz d7} 



qui est encore canonique et parfaitement régulier au point S. 

Toute solution de (I') [ou de (I)] donne lieu à une solution de (I"), 
pour laquelle 77 = o, et réciproquement (la constante C ayant même valeur 
dans les deux cas).' 



§ 3. Équation de Hamilton-Jacobi. — l}éd action fVune intégrale 

co'tnplète W. 

L'équation de Hamilton-Jacobi, relative au système (!'), s'obtient de 

suite en égalant la fonction caractéristique (4') à une constante et en y 

entendant 

_ dW dW 

Je désignerai la constante par — C, et je pourrai écrire, en chassant le 
dénominateur p^, 

(-) 8-{(iT+ '^'^ï + (^- '^'^ï} =^-(^p'+ \p' ^ f^-y- 

L'équation analogue pour le système complètement régularisé (I") serait 

fi^= const., 

ce qui revient encore à (10) lorsqu'on donne à la constante du second 
membre la valeur zéro. 

Ceci remarqué en passant, faisons subir aux variables indépendantes 
ç , 7j une substitution orthogonale 

ç -(- iyj = e*^{ç^ + ^7i) (œ constante réelle). 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 315 

Les binômes 

?* + fi', 

dW ,9W 

sont des invariants et on peut écrire de suite comme transformée de l'équa- 
tion précédente 

où Fj est ce que devient F en y remplaçant f , rj par Ç^ cos a — ^j sin a , 
f, sina + 7i cos a. Fj est donc une fonction de f, , ^y, , a, périodique par 
rapport à a et régulière tant que | f , | , | jy^ | demeurent assez petits. 

L'équation (lo'), quadratique par rapport à -- , a deux racines, se 

_ * 

réduisant respectivement à + yJSv pour la valeur zéro des trois autres ar- 

dJV 

guments ^i , 7i , ^ • 

Le théorème général d'existence relatif aux équations aux dérivées 
partielles du premier ordre, nous permet ainsi d'affirmer qu'il existe deux 
intégrales de (lo'), holomorphes au voisinage de f^ = îy^ = o et se ré- 
duisant à zéro pour f, = o. Leurs développements en série de puissances 
de f^ , 3yj peuvent être calculés de proche en proche, en partant de l'une 

ou de l'autre des deux expressions de -7- fournies par (10'). 

Fixons par exemple celle, pour qui le radical yjSv a sa valeur arith- 
métique. 

L'intégrale correspondante a nécessairement la forme 

W = y/s; Ç,{1 + ^,), 

OÙ ^j est une série de puissances de fi , )y, , qui s'annule pour ç^ = jy^ = o. 
Comme les coefficients de l'équation (10') sont des fonctions pério- 
diques du paramètre a, il en sera de même des coefficients de W et par 
suite de W elle-même. 



316 T. LeviOivita. 

Le champ de convergence de ^j, autour du couple Ç^ = ^y^ = o, peut 
dépendre en particulier de la constante C et du paramètre a. Mais a ne 
dérange pas. On est assuré en effet par les remarques, qui précèdent, 
que, une fois fixée la valeur de C, on peut lui faire correspondre un do- 
maine de Tespace complexe ^i , î^i , autour du couple Ç^ = rj^ = o, où la 
fonction W reste régulière quelle que soit la valeur (réelle) de a. 

Abandonnons désormais les variables auxiliaires f^ , rj^, en reprenant 
nos variables Ç , rj^ 

La fonction W, qu'on vient de définir, prend l'aspect 

(il) W== ^8^(ecosa + îysina){ i + ^(f , rj , a)}, 

où ^ est une fonction périodique de a, qui s'annule pour f = ly = o et 
reste régulière dans un certain domaine des Ç^rj, qu'on peut supposer in- 
dépendant de a (mais non de C). 



% 4. Sur une équation implicite dépendante de W. 

On tire de ( 1 1 ) 

-Tz- = yJSv COS a + . . . , -— = yjSu sm a + . . . , 

les termes non écrits contenant f ou ly en facteur. 

Introduisons, pour abréger l'écriture, l'expression (5) de la vitesse re- 
lative V, c'est-à-dire, en y remplaçant r par /)^, 

(5') P'O = \yj2y, — 2Gp* + p' + 2lip^V |, 

et posons 

La fonction Q(f,îy,a) jouira — on le constate de suite — des mêmes 
propriétés que 5p, sauf bien entendu que ce n'est plus une fonction réelle. 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 317 

Ceci posé, envisageons Téquation 

(12) ^ ?2 - = *, 

en y entendant par k un nombre de module égal à l'unité, et en y con- 
sidérant: ç , 7j comme des paramètres ayant des valeurs données f o > % î * 
comme inconnue. 

Le premier membre, c'est-à-dire ^'''(i+Q)» öst une fonction pério- 
dique de a , régulière pour | S© | j | 7o I ^ssez petits. 

On peut dire également, en remplaçant a par 

que le premier membre de l'équation (12) est une fonction uniforme de /-, 

î^(rjfo,î7o), 

holomorphe pour tous les points du cercle | ;' | = i , tant que | ^o I ' i 7o I ^^^^ 
assez petits. 

A cause de (10) et de (5'), on a l'identité 

af a^ '^ ' 2pv 



2pv dW .^w 

L'équation (12) entraîne donc la suivante: 

9W .dW , ... . , 

^fi- — * -5- + 2l/> (f — »7) 
(12') ^ ?^- =^, 

' 2pv k 

ce qu'on peut aussi énoncer en disant que l'équation (12) se transforme 

en elle même lorsqu'on y change i en — t, et A; en r (sans toucher aux 

autres quantités). 

Mettons en évidence comme inconnue ;*, au lieu de a, et appelons ^a 
ce que devient la fonction ^ lorsqu'on change t en — i en laissant toute 
lettre inaltérée. 



318 T. Levi-Civita. 

Les équations 

(12 bis) î^(r»fo»7o) = *' 

(ï2'bis) ^(J, e,, Vo) = l 

ne seront pas distinctes, d'après ce qu'on vient de dire: toute valeur de 
y satisfaisant à la première vérifie par là même aussi la seconde. 

Attribuons en particulier la valeur zéro aux paramètres fo » ^o- ^ 
reste, au premier membre de (12), e^. L'équation (12 bis) se réduit donc à 

Or — ne s'annule pas pour f ^^ = îy^ = o (c'est l'unité). 

Il existe partant un domaine autour du point f = îy = o, dans lequel 
l'équation (12 bis) définit univoquement une racine y^. Je dis qu'elle a 
Tunité pour module. 

Je remarque pour cela qu'elle satisfait aussi à l'équation (12' bis), et 
par suite même à celle qu'on en déduit en remplaçant toute quantité par 
sa conjuguée. 

Comme f ^ , t^^ et les autres constantes C^fi^u sont essentiellement 

réelles, la dite opération consiste dans la substitution de ^ à ^, ^=^ et ~ à 
— et 7 . 

r, ^ 

Le module de k étant l'unité, — = k. et l'on aura en définitive, à 

k 

côté de 

Il en résulte que — est racine de (12 bis) en même temps que y^. 

Ti 

Mais dans un certain domaine des f , )y il n'y a qu'une seule racine: 
r, et -^ sont donc identiques, ce qui démontre Inen que la racine de l'équa- 

r, 

tion (12 bis) reste unimodulaire dans ce domaine. 



aussi 



Snr la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 819 

Je le désignerai par D, en faisant ici encore remarquer qu'on peut 
le considérer comme fixe dès qu'on ne fait pas varier C Tant que f , tj 
appartiennent à ce domaine on peut satisfaire à l'équation (12) par un 

angle réel a=^ -Xogy^^ et un seulement, puisqu'on ne doit naturellement 

considérer comme distincts ceux qui en diffèrent par des multiples entiers 
de 2;r. 



§ 5. Solutions particulières. — Choix des paramètres. 

Revenons aux équations du mouvement en coordonnées cartésiennes rc , y . 

Une solution particulière quelconque reste déterminée d'une façon 
unique pourvu qu'on se donne l'état de mouvement (position et vitesse) 
correspondant à un instant quelconque t^, ^ 

Les quatre éléments déterminatifs des états de mouvement, apparte- 
nant à une même solution, sont toutefois liés à tout instant par la relation 
intégrale F = — C, et on pourra, pour fixer une solution particulière, se 
donner la valeur de la constante C, et trois des quatre quantités définissant 
la position P^ et la vitesse à l'instant t^. 

En premier lieu, par exemple, les valeurs f > ^0 de f , îy se rapportant 
à P^. La connaissance de P^ et de C définit sans ambiguité la valeur 
absolue v de la vitesse moyennant (5'). 

Comme quatrième élément déterminatif il y a lieu de prendre la di- 
rection de la vitesse. ' 

^ désignant l'angle, que ladite direction fait avec la direction positive 
de Taxe des abscisses, 

(13) k = é^^-^^ (p^ = \^-^ï^i\) 

ro 

sera notre quatrième paramètre. 

Pour fixer une trajectoire il suffit naturellement de se donner G^Ç^^rj^^k 
en se passant de l'instant particulier t^ auquel correspondent ces quatre 
valeurs. Mais le phénomène est réversible, ce qui se déduit analytique- 



* Cela' suppose naturellement que tout soit régulier et par suite que la position 
du mobile dans Pétat envisagé ne soit ni 8 ni /. 

* Je n'aurai pas à considérer le cas v = o, et je puis partant parler de direction. 



320 T. Levi-Civita. 

ment de la circonstance que les équations (i) ne changent pas lorsqu'on 
y change t en — t en renversant en même temps les signes de x'jtf'. 

Renverser le sens de la vitesse équivaut à changer ^ dans fî? + r et 
par conséquent (la position restant la même) k dans — k. 

Il s'en suit qu'aux deux états de mouvement 

^ > f > ^0 > * J 

correspondent les deux sens opposés d'une même trajectoire. 

Il convient encore d'indiquer quelle est l'expression de k en fonction 
des variables conjuguées f , îy , c5 , ;f (je supprime l'indice o pour abréger 
récriture). 

Partons pour cela de l'identité 

x' + iy' = ^^**'. 
On en tire 

V p 

Transformons le second membre en profitant des (2), (6), (7), et il viendra 

^ ^ fi? + iy — 2y'(f + iri) 



(^4) 2^^ 



§ 6. Intégrales camntiques. — Leur vaUdité effective 

au voisinage de S. 

Soit ß une constante et envisageons les équations classiques de la 
méthode d'intégration de Jacobi 

W étant l'intégrale complète, définie au § 3. 

Supposons qu'elles soient satisfaites par des valeurs particulières f^, 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 321 

Il est bien connu que les intégrales f,5y,fi>,;f de (F), définies par 
les valeurs initiales f © > 7o > ®o > Xo continuent à vérifier ces équations tant 
que le mouvement reste régulier. 

Ceci rappelé, désignons par Ä un arc quelconque de trajectoire tout 
intérieur au domaine D. 

On a le théorème suivant: 

Quel que soit Ä , on peut toujours fixer les constantes a et /9 de façon 
que les équations (II), (III) soient remplies en tout point de Ä, 

D'après ce qui précède, il nous suffit de le constater pour un point 
seulement, soit Po(fo > Vo)y q^'oi^ supposera, bien entendu, distinct de 8. 

La vitesse est sans doute > o, ^ et on peut compléter la définition de 
la trajectoire en associant à C^ Ç^^rj^ le quatrième paramètre k du para- 
graphe précédent. 

Les valeurs de ©,/, qui correspondent à la quateme C', ^o > 7o » * 
sont les solutions des deux équations F= — C et (14), v étant défini par 
(5') en fonction de C, f© > 7o- 

La première équation F= — C peut s'écrire, à cause de (4') et de (5'), 

qui, combinée avec (14), donne lieu au système linéaire: 
(14) a> + ix-2ip\e+iv) _j^ 

m — ix+ 2ip\Ç—i7J) _ I 

('5) -^^ -y 

Considérons d'autre part la fonction W et supposons d'attribuer à a 
la valeur «j, racine de l'équation (12), où l'on suppose bien entendu que 
^) fo > 7o > ^ soient ceux qui appartiennent au point envisagé de notre A, 

Les dérivées —^ , — — vérifient de la sorte (pour ^ = Çq, ^ = ^0) l'^q^^- 

tion (12) et par là même (comme on Ta remarqué au § 4) aussi l'équa- 



^ En effet, parmi les conditions, qui doivent être satisfaites dans le domaine Z>, 

il y a la suivante : pv c'est-à-dire | ^2 v — 2Cp* + />* + 2pp^V \ reste uniforme, v ne 
peut donc pas s'annuler à l'intérieur de D. 

Jeta maihêmatiea. 30. ImpHmé le 19 férrier 1906. 41 



322 T. Levi-Civita. 

tion (12'). La comparaison de ces deux équations (i 2), (12') avec le système 
(14), (15) donne immédiatement (pour Tétat de mouvement ^, fo> 7o> *) 

dW ^ dW 

Les équations (III) sont donc remplies au point P^ de -4, dès qu'on 
donne à a la valeur «j . Il en est de même de (II), pourvu qu'on prend 
ß égal à la valeur du premier membre. C. Q. P. D. 

Remarque. Eien n'empêche de suivre une trajectoire aussi hors de 
D, tant que le mouvement reste régulier. On peut encore affirmer que 
les équations (II), (III) resteront vérifiées, en entendant par W la continua- 
tion analytique, obtenue en suivant la trajectoire, de la détermination va- 
lable dans D (et uniforme dans ce domaine). Mais cela ne nous aide pas 
grande chose, puisqu'il nous est inconnu comment se comporte W hors de D. 

En particulier si une trajectoire rentre dans D après en être sortie, 
la continuation de TT, correspondante à la rentrée, soit FF, , tout en étant 
toujours une intégrale de (9), peut fort bien différer de la détermination 
V^8y (f cos a + îy sin a) + . . . : celle-ci était en effet caractérisée par une condi- 
tion initiale, qui n'est pas invariante vis-à-vis d'une continuation analytique. 

On peut ajouter que cette circonstance gênante de la non-uniformité 
de W n'est pas seulement à craindre, mais se présente en réalité. Voici 
un exemple bien simple. 

Supposons que la masse jj. dû centre J soit nulle. P n'est alors soumis 
qu'à l'attraction de S, et l'on est reconduit au problème élémentaire du 
mouvement d'un point P, attiré suivant la loi de Newton par un centre 
S, qu'on peut considérer fixe. 

Par rapport à des axes fixes ]e mouvement de P est képlérien et 
admet les deux intégrales des forces vives et des aires. Celle de Jacobi 
n'en est qu'une combinaison linéaire, et, h , c , C désignant respectivement 
les constantes des forces vives, des aires et de Jacobi, on trouve 

C^—h + c. 

Si h est négative, la trajectoire (absolue) de P est une ellipse; son axe a 
et son paramètre p sont exprimés par les formules 

a = — ^, p = c\ 



Sur la résolutdon qualitative du problème restreint des trois corps. 323 

Par rapport aux axes mobiles Xyifj qui tournent uniformément, tout 
se passe comme si (les axes étant fixes) Tellipse tournait autour du foyer 
Sj dans le sens opposé, pendant que P la parcourt d'un mouvement ké- 
plérien. 

Laissons de côté les valeurs particulières de h, pour qui le moyen 
mouvement serait commensurable avec la vitesse de la rotation (fictive) de 
l'ellipse, c'est-à-dire rationnel, puisque cette vitesse a la valeur — i. 

Un petit raisonnement, bien souvent employé dans des cas analogues, 
permet alors de conclure que la trajectoire relative de P remplit entière- 
ment ^ la couronne circulaire définie par les distances aphélie et périhélie 
de l'orbite absolue. 

H suffit donc que le domaine D (correspondant à une valeur donnée 
quelconque de la constante C) renferme à son intérieur quelque point 
d'une de ces trajectoires (provenant des orbites elliptiques) pour qu'il doive 
nécessairement contenir une infinité d'arcs A appartenant tous à cette môme 
trajectoire. 

Pour constater qu'il en bien ainsi, donnons à C une valeur positive, 
d'ailleurs quelconque, et rappelons l'identité C= — h + c. 

On y satisfait en prenant par exemple c très petit, et par conséquent 

t 

— h très voisin à (7, avec la précaution que ( — Ä)' ne soit pas rationnel. 

L'orbite absolue est alors une ellipse de moyen mouvement ( — 7i)* irra- 
tionnel et de paramètre _p = c* très petit. 

Bien n'empêche évidemment de supposer c assez petit pour que la 
région périhélie tombe bien à l'intérieur de D. 



§ 7. Conséquences de la représentation holonhorphe des trajectoires 
à l'intérieur de J>. — Conditions de choc et de sûreté mécanique. 

— Portée relative de ces conditions. 

Théorème: Si un arc ^ se rapproche indéfiniment de â^, il y passe. 
D'après le paragraphe précédent l'équation (II) sera vérifiée en tout point 

^ Plus précisémeDt la courbe est condensée dans la couronne, c'est-à-dire qu'il y a 
des points de la courbe si près que Ton veut de tout point fixé d'avance à l'intérieur 
(ou sur le contour) de la couronne. 



324 T. Levi-Civita. 

de Ä pour des valeurs convenables des constantes a et y9. Par hypothèse 
Tare possède des points si près de S que Ton veut. Dans ces points la 
fonction 

— = \]%v ( — f sin a + gy COS a) + . . . 

prend des valeurs, qu'on peut rendre plus petites que toute quantité as- 
signée d'avance. Mais — — a, tout le long de ^, la valeur constante ß. 

On doit en conclure y9 = o, ce qui démontre bien que Ä passe par S. 

Si, pour un Ä quelconque, /9<o, la courbe ne peut pas se rapprocher 
indéfiniment de S, C'est ime conséquence évidente du résultat obtenu 
tout à l'heure. Mais il y a plus. 

Le minimum d des distances des points de ^ à /S est une fonction 
de C , ay ß, périodique par rapport à a et s 'annulant avec ß. On en conclu, 
d'après le paragraphe précédent, que ce d est une fonction uniforme des 
circonstances initiales. Soient en effet G , Ç^ ^ tj^ , k les quatre paramètres 
définissant l'état initial C^ (le point c^ , rj^ étant toujours supposé à l'in- 
térieur de D). 

Considérons d'autre part la fonction a{C,a,ß). On doit y remplacer 
a par la racine a^ de l'équation (12) et ß par sa valeur 

â devient ainsi une fonction uniforme de C\ Ç^ ^ 7j^ , k] mais on peut 
encore substituer à C et k k leurs valeurs F et (14), et on aura de la 
sorte une fonction uniforme des paramètres canoniques f > 7o > ®o ) Xo ^® 
l'état E,, 

Occupons-nous maintenant des courbes 

dW 



da 



= o. 



qui passent simplement par le point S. 

Aux conditions, imposées à /) au § 4, imaginons ajoutée, comme il 
est évidemment permis, encore la suivante: 

D doit être assez petit pour que la courbe 



dW 

— = o 

da 



Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps. 325 

n'ait à l'intérieur de D que l'unique branche régulière passant par 8\ et 
cela quelle que soit la valeur (réelle) de a. 

On est alors assuré que la longueur de l'arc de la dite courbe, compris 
entre P^ et /S, est finie. 

D'ailleurs, dans le domaine D, pv est toujours > o et diffère autant 
moins de \\ßv\ qu'il s'agit de points plus près de S. 

Le mouvement ne peut donc pas changer de sens sur Tare PqS\ de 
plus la vitesse croît indéfiniment lorsqu'on s'approche de S, Le temps 

nécessaire au mobile pour parcourir cet arc P^S reste partant fini et tend 
même vers zéro plus rapidement que l'arc lui même. 

On pourrait préciser cette remarque en ayant recours à la dernière 
intégrale canonique 

— = < + const.; 

mais nous n'avons pas à discuter les lois du mouvement. 

Il nous suffit de rappeler que sur toute trajectoire le mouvement est 
possible dans les deux sens, pour pouvoir conclure de ce qui précède: 

Chacun des arcs — = o est à la fois trajectoire de collision et tra- 
jectoire d'éjection; ß = o (ou, si l'on veut, ^ = o) est donc la condition 
caractéristique d'un choc P , S. 

Ainsi qu'il a été remarqué plus généralement à propos de la fonction 
{Ï(C, a,/9), on peut exprimer ß en fonction uniforme des circonstances ini- 
tiales, c'est-à-dire de C', f^ , 17^ , A:, ou bien encore de la quaterne canonique 
fo > 7o > ^0 > >fo- Il serait aisé de calculer autant de termes que l'on veut 
du développement (convergent à l'intérieur de D) de y5(C, f^, , 17^ , k) en 
série de puissances de S© » 7o- 

J'omets le calcul en renvoyant à mon mémoire »Traiettorie singolari 
etc.» cité dans l'introduction, où jai explicité la condition du choc sous 
une forme un peu différente. 

Les données étant encore C, c^ , )y^ , Ä, on peut se proposer de re- 
connaître si le choc, caractérisé par la condition ß = o, est passé ou futur. 

Voyons pour cela ce qui se passe au voisinage immédiat du point S, 
Toute Ä est une courbe régulière ayant en S une tangente bien déterminée. 
Si l'on a affaire à un choc passé, le rayon vecteur SP a du être dirigé, 



326 T. Levi-Civita. 

à rinstaut de rejection, précisément comme la tangente à A dans le sens 
du mouvement. On a donc alors à la limite f> =s #, en désignant par ô 
Tanomalie du rayon vecteur, et, comme au § 5, par ^ TincUnaison de la 
vitesse sur la direction positive de Taxe des abscisses. 

Si Ton a affaire a un choc futur, la relation limite sera au contraire 
^ = â + n. 

Ceci posé, comme les états, qu on considère, correspondent à des po- 
sitions très voisines de S, il est bien évident que, la relation ß = o étant 
satisfaite, ^ doit différer très peu: ou bien de #, ou bien de Ä+'^- Dans 
le premier cas il s'agit d'une éjection, dans le second d'une collision. 

Au point de vue physique Tabsence de choc ne suffit pas à garantir 
la régularité du mouvement: pour qu'il soit légitime de le retenir con- 
forme aux prévisions du calcul, il faut que les corps ne se rapprochent pas 
au delà d'un certain s. 

Lorsque le mobile est à l'intérieur de D on peut encore décider, par 
la connaissance de l'état de mouvement à un instant quelconque, s'il en 
sera ainsi {d>6). Toutefois ni cette condition de sûreté, ni l'autre moins 
restrictive, qui exclut simplement le choc, embrassent toute la durée du 
mouvement. 

Elles sont bien valables tant que le mobile reste en D; mais si le 
mobile y rentre après en être sorti, elles ne permettent a priori aucune 
prévision. Cela tient à ce que l'on rentre dans D avec une détermination 

inconnue W^ de W, pouvant donner lieu à un nouveau arc — - = ß. 

Quoi qu'il en soit, il reste toujours un résultat positif se rapportant 
à la région D: Si <?>e, il n'y a rien à craindre pour le moment du 
voisinage de S. Seuls des rapprochements nouveaux (c'est-à-dire précédés 
par des sorties de D) pourraient devenir dangereux. 



§ 8. Setnarque. 

Tout arc de trajectoire intérieur à D satisfait effectivement aux équa- 
tions 

da P 

et (III). 



Snr la résolu tioD qualitative du problème restreint des trois corps. 327 

Comme il a déjà été substantiellement remarqué, en éliminant a et 
C de —— on obtient une fonction uniforme f àe f , î? , fî> , ;f . 
On a donc pour tout arc Ä 

La fonction f est distincte de F, puisque, en se rapportant par exemple 
aux variables C^Ç^rjjk, on a F= — C, tandis que 

f= v'Sv ( — f sin a + îy cos a) + • • • 




= V8v \ — ^^T- + v-ir-/ +••• 



n*est pas une fonction de la seule C. 

Voilà une intégrale autre que F = const, uniforme pour quelque 
système de valeurs de f,îy,S,;f et par suite aussi des variables cartési- 
ennes X jtf y x\ y', qui en sont des fonctions algébriques. 

A première vue la conclusion est choquante, puisqu'elle paraît en 
contradiction avec le théorème bien connu de M. Poincaré, qui exclut 
Texistence d'intégrales uniformes en dehors de jP = const. 

Il n'en est rien toutefois, et on peut s'en convaincre aisément en ayant 
égard aux limites de validité des deux résultats. 

Celui de M. PoincakÉ établit la non-existence d'intégrales uniformes 
par rapport aux variables képlériennes, ce qui implique l'uniformité au 
voisinage de tmis les états de mouvements x ^y , x', y\ qui appartiennent à 
une même orbite osculatrice (elliptique). 

On ne peut pas exclure, d'après cette proposition, l'existence d'inté- 
grales uniformes, pour quelque portion de l'orbite seulement, ni non plus 
au voisinage des états de mouvement, qui ne seraient elliptiques du tout. 

Notre intégrale f=ßi qui est uniforme dans le domaine /), se trouve 
précisément dans l'une ou dans l'autre de ces conditions. 

Padoue, septembre 1904. 



32Ô 



SUR LES FONDEMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 

ET LE PROBLÈME DU CONTINU 



PAR 

I. KÖNIG 

à BUDAPEST. 



Après de longues hésitations, je me décide à publier cet article. 
Quel que soit l'accueil réservés aux vues que j y expose, je crois que les 
questions qu'il soulève sont de celles que la théorie des ensembles ne 
saurait éluder dans ses développements ultérieurs. 

Que le mot »ensemble» ait été employé indistinctement pour désigner 
des concepts très différents et que ce soit là origine des paradoxes apparents 
de la théorie des ensembles; que d'autre part cette théorie, comme toute 
science exacte, ne puisse se passer d'axiomes, et que le choix des axiomes, 
plus profond ici qu'ailleurs, soit dans une certaine mesure arbitraire (comme 
il arrive pour toutes les sciences): tout cela est bien connu. Néanmoins 
je pense présenter sur ces questions quelques points de vue nouveaux. En 
particulier, je crois que la théorie spéciale des ensembles bien ordonnées 
ne saurait être regardée comme entièrement fondée tant que l'on n'aura 
pas éclairci les questions soulevées au § 4. 

1 . Soit ff j , «j , . . . , a^ , . . . , une série infinie dénombrable (de type 
œ) d'entiers positifs, et soit la suite 

un élément de l'ensemble appelé »continu». Si l'on est préalablement 
parti d'une autre définition du continu, alors les («1,^2,...,«^,.. .) sont 
des symboles qui, d'une part, déterminent univoquement chacun des élé- 
ments du continu, et d'autre part distinguent ces éléments les uns des autres. 

Ada mathemaiiea. 30. Imprimé le 2:^ novembre 1906. 42 



880 I. König. 

Nous dirons qu*un élément du continu a une »définition finie» si 
(nous servant pour fixer notre pensée scientifique d une langue appropriée) 
nous pouvons en un temps fini définir une opération (loi de formation) 
conduisant à distinguer spécifiquement l'élément donné d'un autre élément 
quelconque, c'est à dire démontrant pour un entier quelconque k l'existence 
d*un et d'un seul élément a^. 

Il faut observer que la distinction spécifique dont il est ici question 
n'implique pas que la détermination de a^ puisse être faite au moyen d'une 
opération bien définie ou même finie. 

On montre facilement que les éléments du continu dont la définition 
est finie forment un ensemble partiel de puissance k©- Nous désignerons 
cet ensemble par E, 

Une définition finie doit s'exprimer tout entière au moyen d'un nombre 
fini de mots et de signes de ponctuation. L'ensemble des définitions finies 
peut être ordonné de telle sorte qu'à l'une quelconque de ces définitions 
corresponde un et un seul entier positif comme nombre ordinal fini. 

A tout élément du continu ayant une définition finie correspond une 
suite d'entiers positifs (puisqu'un tel élément peut admettre et admet en 
eflfet une pluralité de définitions finies). Dans cette suite il y a un entier 
qui est plus petit que tous les autres. Cet entier déterminera donc d'une 
manière univoque l'élément correspondant (à définition finie) du continu. 

Ainsi l'ensemble E est équivalent à un ensemble partiel pris dans 
Tensemble des entiers positifs. D'ailleurs si l'on se donne une suite 

où a prend des valeurs entières positives quelconques, cette suite constitue 
un élément du continu à définition finie. On déduit de ces remarques que 

en désignant par e la puissance de l'ensemble E. 

Mais comme le continu, par définition, n'est pas dénombrable, il y a 
nécessairement des éléments du continu dont la définition n'est pas finie. 

2. Quoique cette exposition ne puisse encore prétendre à une rigueur 
parfaite, il faut néanmoins préciser les axiomes qui sont intervenus jusqu'ici 
dans mon raisonnement. 



Sur les fondemeots de la théorie des ensembles et le problème du continu. 881 

a) En premier lieu nous admettons comme un fait que notre con- 
science est le théâtre de processus qui obéissent aux lois formelles de la 
logique et constituent la »pensée scientifique». Nous admettons aussi que 
parmi ces processus il s*en trouve qui coiTespondent univoquement aux 
processus par lesquels nous formons les suites de symboles définies plus haut. 

»Comment» se produit cette correspondance et »jusqu'où* elle va, ce 
sont là des questions que nous ne soulevions pas. [Axiome métalogique.) 

b) Le concept de »suite arbitraire (de type œ) de nombres entiers 
positifs», et le concept de »l'ensemble de toutes ces suites», que nous 
appelons »continu», sont des »concepts possibles», c'est-à-dire des concepts 
qui ne renferment aucune contradiction logique. [Axiome du continu,) 

Une analyse plus approfondie de ces axiomes se trouve, je crois, dans 
le memoire qu'a présenté M. Hilbeut au IIP Congrès international des 
Mathématiciens (C. K. du Congrès, p. 174). 

La définition du continu sur laquelle je m'appuie imphque, en par- 
ticulier, que la puissance du continu est ^\ 

On a en outre Ko* > Ko • Pour le prouver on peut se référer à ma 
note Zum Kontimium Problem^ publiée dans les Math. Annalen, t. 60, 
p. 177. 

En admettant ces données, je me mets sciemment en opposition avec 
la doctrine d'après laquelle il serait interdit aux analystes de s'aventurer 
hors du domaine des xlois finies». Une telle doctrine entraîne selon moi 
la négation de l'existence du continu et du problème du continu. Mon 
point de vue consiste au contraire à admettre qu'il y a des éléments du 
continu que nous ne pouvons pas penser »jusqu'au bout», et qui, malgré 
cela, sont exempts de contradiction. Ce sont, si l'on me passe cette nouvelle 
acception du mot, des éléments »idéaux». 

c) Les axiomes précédents nous donnant le droit de parler d'un élé- 
ment »quelconque» du continu, nous invoquons en dernier lieu V Antithèse 
logique: »Ou un élément quelconque du continu a une définition finie, ou 
ce n'est pas le cas. » Les axiomes a) et b) une fois admis, laxiomo c) ne 
saurait pas ne pas l'être. On peut d'ailleurs, sans rien changer à nos dé- 
ductions, lui donner une forme subjective: »Pour un élément quelconque 
du continu, on peut sûrement trouver une définition finie, ou ce n'est pas 
le cas». 



332 I. König. 

3. Les données admises ci-dessus vont me permettre de prouver, d'une 
manière extraordinairement simple, que le cofdinu ne peut pas être bien 
ordonné. 

Supposons que les éléments du continu forment un ensemble bien 
ordonné, et considérons parmi ces éléments ceux qui n'ont pas une dé- 
finition finie. Ces derniers constituent un ensemble partiel de Tensemble 
bien ordonné, et cet ensemble partiel, étant lui-même bien ordonné, a un 
et un seul premier élément. 

Or, d'après les données admises plus haut, le continu, comme tout 
ensemble bien ordonné, définit une suite bien enchaînée (sans lacune, 
> lückenlos») de nombres ordinaux déterminés, en sorte qu'à chaque élé- 
ment du continu correspond un et un seul nombre ordinal et inversement. 
Dès lors »le nombre ordinal correspondant à un élément à définition finie 
du continu», de même que »l'élément du continu correspondant à un 
nombre ordinal à définition finie de la suite considérée», a lui-même une 
définition finie. Notre raisonnement nous forcerait dès lors à conclure que 
dans une suite de nombres ordinaux il y a un nombre qui est le premier 
de la suite et qui n'a pas de définition finie. Cela est manifestement im- 
possible. 

On a en effet un ensemble déterminé, bien ordonné, de nombres or- 
dinaux à définition finie qui forment une suite bien enchaînée (lückenlos). 
»Le nombre ordinal qui, d'après son ordre de grandeur, se range immé- 
diatement après la suite en question» est bien un nombre à définition finie, 
et cependant notre hypothèse initiale conduit à conclure qu'il n'a pas de 
définition finie. 

Ainsi riiypothèse d*après laquelle le continu pourrait être bien or- 
donné conduit, comme je l'avais annoncé, à une contradiction. 

4. On suspectera sans doute la valeur du raisonnement précédent en 
faisant observer qu'il s'applique mot pour mot à tout ensemble bien or- 
donné non dénombrable. Il équivaudrait donc à prouver qu'il n'existe 
pas de tels ensembles. Or on connaît un ensemble bien ordonné non dé- 
nombrable défini sans contradiction: c'est la classe de nombres Zi^^) de 
M. Cantor, ou »l'ensemble de tous les types ordinaux des ensembles bien 
ordonnés de puissance X^ » . On voudra arguer de ce paradoxe qu une faute 



Sur les fondements de la théorie des ensembles et le problème du continu. 333 

a été commise dans le raisonnement que j'ai exposé. Il ne faut pas, 
qu'il en soit ainsi, comme je vais le montrer en entrant dans quelques détails. 

L'acception du mot ^ensemble* diffère totalement dans les deux cas. 

Lorsque nous construisons le concept du continu, notre point de dé- 
part, notre base est la suite »arbitraire» («i , 0^2 ,...,«*,.. .)• ^^ tant 
que nous remplaçons «i , «.^ , . . . par des entiers positifs déterminés, nous 
faisons de cette suite une suite »déterminée», un élément du continu qui, 
s'il est défini, est dans notre entendement distingué de tous les autres 
éléments. En tant que nous nous représentons ensuite Vensemble de tous 
ces éléments »bien distincts», nous sommes conduits au continu. 

Il en est tout autrement de la classe de nombres Z{^^), Les »élé- 
ments» de cette classe sont définis par la »propriété» qu'ils ont d'être les 
types ordinaux d'ensembles bien ordonnés de puissance K^. Nous connais- 
sons à vrai dire de tels éléments, par exemple: û> , û> -|- i , . . . . Mais la 
propriété qui les définit n'est qu'une abstraction; à mettre les choses au 
mieux, elle fournit un moyen de distinguer entre les objets qui appartiennent 
à la classe considérée et les autres objets ; mais elle ne donne aucune in- 
dication sur la manière dont on pourra effectivement former chacun des 
éléments de Zi^^), C'est ici un »concept collectif» qui est notre base, 
et c'est en partant de ce concept que nous construisons après coup des 
éléments. C'est pourquoi je voudrais qu'avec M. Cantor on appelât Z(K^) 
une »classe» en non un »ensemble». 

Mais que la seconde classe de nombres Zi^^) puisse être définie 
comme ensemble explicite formé d'éléments bien distingués (distincts par 
leur nature), cela ne saurait actuellement être regardé comme vraisemblable. 
Et précisément, si Ton accepte la démonstration que j'ai donnée plus haut, 
on en déduira que la seconde classe de nombres ne saurait être conçue 
comme étant un ensemble donné explicitement, c'est-à-dire comme ensemble 
d'éléments parfaitement distingués et séparés les uns des autres.* 



^ Là se trouve, je crois, l'origine des paradoxes de la théorie des nombres or- 
dinaux, que M. BuRALi-FoRTi a signalés le premier. 

J'ajouterai encore quelques remarques qui facilitant peut-être la compréhension 

du § 4. 

L'ensemble des nombres entiers positifs n'est lui aussi originairement donné que 

comme »classe». C'est également ainsi que M. Hilbert définit (1. c.) le »plus petit 



334 I. König. 

En terminant cet exposé fragmentaire, je me plais à reconnaître que, 
bien qu'opposés à certaines vues de M. Cantou, mes résultats, s'ils sont 
exacts, ne mettent que mieux en lumière la haute valeur des créations 
géniales de Tillustre analyste. Ce ne sont d'ailleurs que certaines présomp- 
tions de M. Cantor qui seraient infirmées par ce travail: le cont.enu des 
propositions démontrées par lui subsiste intact. 

Je remarque enfin que la distinction établie ici entre les »ensembles» 
et les »classes» éclaircit entièrement les paradoxes bien connus de la théorie 
des ensembles (ensemble de tous les ensembles etc.). 

Les principaux résultats exposés ci-dessus ont été présentés à l'Aca- 
démie Hongroise des Sciences le 20 juin 1905. 



infini». Mais il semble qu'ici le postulat qui consiste à assimiler la classe à un en- 
semble explicitement donné soit possible, c*est-à-dîre exempt de contradiction. 

Au contraire, d'après ce qui précède, on devrait regarder le continu comme étant 
exclusivement un »ensemble explicitement donné», et la seconde classe de nombres comme 
étant exclusivement une classe ou (si Ton me permet l'expression) un »ensemble en puis- 
sance», (werdende Menge). 

Je veux encore signaler un concept collectif très élémentaire que sûrement on n'a 
pas le droit de considérer comme ensemble explicitement donné. 

Partons de l'ensemble de tous les nombres décimaux finis, mai^ regardons ces 
nombres comme ayant une infinité de décimales, cela en ajoutant à leur droite une in- 
finité de zéros. 

Imaginons que dans les nombres ainsi écrits nous échangions deux chiffres quel- 
conques. Toutes les places sont disponibles, c'est-à-dire que si nous remplaçons un chiffre 
quelconque par un autre chiffre quelconque, nous obtenons un nombre qui appartient 
encore à la classe considérée. 

Et cependant il n'est aucunement permis de parler de l'ensemble de tous les 
places, comme places disposibles; car alors on omettrait manifestement de faire intervenir 
le principe restrictif auquel satisfait la loi de formation de nos nombres. Ce principe 
est le suivant: »La place de rang k est disponible; mais il existe nécessairement un 
entier positif Z > A-, tel qu'à partir de la place de rang l toutes les places soient occu- 
pées- par le chiffre O.» 

Pour répondre à la question: »Combien y a-t-il de places disponibles simultané- 
ment?» les nombres cardinaux (au sens de M. Cantor) sont inadéquats: il faut créer 
un nouveau concept. ^ 



336 



SERIES TRIGONOMÉTRIÛUES ET SÉRIES DE TAYLOR 



PAR 

P. FATOU 

à PABIS. 



Introduction. 

Le présent travail a pour objet Tétude de certaines questions d'ordre 
général concernant les séries trigonométriques et les séries de Taylor; il 
a été entrepris, en grande partie, dans le but de montrer le parti que Ton 
peut tirer dans ces questions des notions nouvelles de mesure des en- 
sembles et d'intégrale définie généralisée. 

Le problème de la mesure des ensembles a été abordé pour la première 
fois par M. G. Cantor; ses définitions ont été précisées et complétées par 
M. Jordan dans son cours d'analyse; mais c'est M. E. Borel* qui a 
donné pour la première fois à cette notion de mesure une portée assez 
générale pour la rendre vraiment utile au point de vue des applications. 
M. BoREL a posé le problème sous une forme qui équivaut à celle-ci:' 

Attacher à tout ensemble borné ponctuel (supposé à une dimension) 
un nombre positif ou nul qu'on appellera sa mesure et qui satisfasse aux 
conditions suivantes: 



* E. BoREL. Leçons sur la théorie des fonctions (Paris, Gauthier- Villars, 1898). 
■ Lebesoue. Leçons sur Vintégratwn et la recherche des fonctions primitives (Paris, 
Gauthier- Villars, Ï904). 

Ada mathematica. 90. Imprimé le 23 novembre 1906. 



386 P. Fatou. 

1°) Deux ensembles égaux ont même mesure. 

2°) L'ensemble somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable 
d'ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme 
des mesures des ensembles composants. 

3°) La mesure de l'ensemble de tous les points du segment (o , i) 
est I . Le problème ainsi posé est susceptible d'une solution unique, sinon 
pour tous les ensembles que l'on peut concevoir comme existant, du moins 
pour tous ceux que l'on a pu effectivement nommer. La mesure, au sens 
de M. BoREL, est d'ailleurs la même que la mesure au sens de M. Cantor, 
dans le cas d'un ensemble fermé; mais si Ton considère un ensemble dé- 
nombrable et dense, par exemple l'ensemble des points à abscisse ration- 
nelle compris entre zéro et i, la définition de M. Borel conduira à lui 
attribuer comme mesure, le nombre zéro, tandis que d'après M. Cantor 
sa mesure serait i. 

Dans sa thèse (intégrale, longueur, aire), parue dans les Annali di 
Matematica (1902), M. H. Lebesgue a repris et complété le problème 
de la mesure daprès M. Borel et en a fait une application des plus im- 
portantes à la définition de l'intégrale; la notion d'intégrale, d'après M. Le- 
besgue, s'applique à toutes les fonctions discontinues que l'on peut nommer 
(par exemple à toutes les fonctions représentables analytiquement), au moins 
quand ces fonctions sont bornées; elle coïncide d'ailleurs avec l'intégrale 
au sens de Riemann, quand celle-ci est applicable, et jouit de toutes les 
propriétés essentielles de l'intégrale de Eiemann. 

Il semble que l'introduction de ces notions de mesure et d'intégrale 
généralisée, qui constitue un progrès important dans l'étude des ensembles 
ponctuels et des fonctions de variables réelles, peut également servir à 
résoudre des problèmes qui se posent dans des branches anciennement cul- 
tivées de l'analyse. 

Déjà M. Lebesgue, dans un mémoire paru dans les Annales de l'École 
normale supérieure, avait appliqué sa notion d'intégrale à l'étude des séries 
trigonométriques, et démontré entre autres choses, que si une série trigo- 
nométrique est convergente et représente une fonction bornée les coeffi- 
cients de cette série sont donnés par les formules d'EuLER-FouRiER où les 
intégrales sont prises au sens généralisé du mot. Or il existe effective- 
ment des fonctions bornées, non intégrables au sens de Rikmann, qui sont 
représentables par une série trigonométrique convergente en tout point: 



Séries trigonométriques et séries de Taylor, 337 

ce résultat permet donc de mettre plus d* unité et de pfénéralité dans la 
théorie de la série de Foukieu. 

Dans ce travail je démontre un résultat analogue relatif à l'intégrale 
de Poisson: si une fonction harmonique régulière à l'intérieur d'un cercle 
y reste bornée, elle peut s'exprimer à l'aide d'une intégrale de Poisson, 
l'intégrale étant prise au sens de M. Lebesgue. 

J'ai déduit de là une propriété générale concernant la façon dont se 
comporte une branche de fonction analytique uniforme au voisinage d'une 
coupure isolée; si la fonction est bornée au voisinage de cette coupure {ou 
deinent bornée par une transformation homographiqtœ), en tous les pomts de 
la coupure^ sauf peut-être aux points d'un ensemble de mesure mule, la 
fonction prend une valeur déterminée, quand on s'approche de Fun de ces 
points suivayit un chemin non tangent à la coupure. Il y a donc dans tout 
intervalle, des points en infinité non dénombrable, sur la coupure, pour 
lesquels la fonction prend une valeur déterminée, en excluant, au besoin, 
les chemins tangents à celle-ci. Or on sait que, dans d'autres cas, des 
circonstances tout autres peuvent se présenter: la fonction modulaire, par 
exemple, est indéterminée en tous les points d'abscisse irrationnelle de l'axe 
des quantités réelles, même lorsqu'on s'approche de ces points normalement 
à la coupure; la propriété énoncée n'est donc pas une banalité. 

C'est encore l'étude de l'intégrale de Poisson généralisée, qui m'a 
permis de démontrer l'existence de fonctions analytiques uniformes possédant, 
sur une coupure, une infinité non dénombrable de zéros qui peut être dense 
dam tout intervalle. 

Les mêmes méthodes m'ont permis, dans un cas il est vrai très par- 
ticulier, d'aborder l'étude des séries trigonométriques données par la loi de 
leurs coefficients. On peut chercher, dans ce cas, des critères de conver- 
gence, ou supposant que la convergence ait lieu, chercher des propriétés 
des fonctions ainsi définies; ces problèmes qui paraissent difficiles, ont été 
peu étudiés. Le principal résultat que j'aie obtenue dans cet ordre d'idées 

est le suivant: Si na^ et nb^ tendeyü vers zéro avec - , V ensemble des points 

de divergefice de la série I{a^ cos nx + *« sin nx) est de mesure nulle. Il 
en résulte que si l'on a plusieurs séries de cette espèce, en nombre fini 
ou en infinité dénombrable, il y a dans tout intervalle, dos points où olles 
convergent toutes simultanément. 

Acta maihematiea. 90. Imprimé le 23 novembre 1906. 43 



338 P. Faton. 



Si, renonçant à la converj^ence au sens ordinaire du mot, on cherche 
dans (\\Ui\ ca« une Hcrie est sommable par les procédés de la moyenne 
arithmétique, comme Ta fait M. Fkjek,' on peut énoncer des conditions 
do Hommabilité plus générales: Si par exemple on a 






n* n' 



on trouve que la série est au plus > doublement indéterminée», sauf aux 
points d'un ensemble de mesure nulle, et représente une fonction absolu- 
ment intégniblo dans l'ensemble des points où elle est définie. 

J'espère aussi avoir montré que l'intérêt qui s'attache aux travaux 
de KiKMANN sur les conditions de représentation d'une fonction par une 
série trigonométrique, est loin d'être épuisé; j'ai pu facilement, déduire 
d(^ l'un des théorèmes généraux de Kiemann, ce fait qu'une série de 
Tayloii dont les coefficients tendent vers zéro et dont le rayon de con- 
vergences est égal à un, est convergente en tout point régulier de son 
(îcrcle de convergence, ce qui n'avait été démontré que dans des cas par- 
ticuliers. 

J'ai divisé ce travail en deux parties, dans la première j'étudie l'inté- 
grale do Poisson lorsque la fonction donnée sur le contour est discontinue; 
dan» la deuxième partie j*api)lique les résultats de cette étude à quelques 
({uestiouH concernant les séries trigonométriques et la façon dont se com- 
portent les séries de Tayloh sur leur cercle de convergence et je fais 
connaître quelques propriétés des séries entières à coefficients entiers. 

Knfin dans une note additionnelle je donne une démonstration simp- 
lifiée du théorème de Oantou sur Timpossibilité de la convergence en tout 
point d'une série trigonométrique dont les coefficients ne tendent pas vers 
/.éro et quelques remarques générales sur la convergence de ces séries. 

Qu*il me soit permis de remercier ici les personnes qui ont bien voulu 
m'encouragor à entreprendre ce travail: MM. Painlevé et Borel et tout 
jmrtioulièromeut mon ami H. Lebesgi-e qui n'a cessé de s'intéresser à mes 
rechon*hes et dont les conseils m'ont été fort utiles. 



* L. bYjEK ^Nwr h^ foniHons }H)nu'es ti intégrabUs, Comptes Rendus, lO dé- 
cMubrt^ iqob^ ot Mathematische Auualen ^tome 57, I904\ 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 389 



L'intégrale de Poisson. 

I. On sait que la solution du problème de Dikichlet dans le cas 
du cercle est donnée par Tintégrale 

(i) F(r , d) = — f ^ "^-^^^-r -,A(w)rfw 

^ ^ \ > / 27: J i — 2rco8(6 — w) + r'^ ^ 



— n 



qui définit une fonction harmonique régulière à Tintérieur du cercle de 
rayon i, et prenant sur la circonférence, en un point d'argument u^ la 
valeur fiu^)* ^ Ce dernier fait n'est d'ailleurs exact, en général, que moyen- 
nant la continuité de la fonction périodique f{H)j mais il importe de re- 
marquer que, sous la seule condition que f{u) soit une fonction sommable 
en valeur absolue, au sens que M. Lebesguk attribue à ce mot, Tintégrale 
précédente conserve un sens et définit toujours une fonction hannonique; 
mais alors, lorsque le point {r , 0) se rapproche d'un point (i,Wo) ^^® ^^ 
circonférence, la fonction F ne tend pas nécessairement vers une valeur 
déterminée. C'est l'étude des différentes particularités qui peuvent se 
présenter, quand f{u) présente des discontinuités ou devient infini qui fait 
l'objet du présent chapitre. 

Faisons d'abord une remarque générale: la façon dont se comporte 
au voisinage du point (i , w^) de la circonférence la fonction F{r , 0)j ne 
dépend que des valeurs de la fonction f{H) dans un intervalle aussi petit 
qu'on le veut, comprenant le point u^ à son intérieur. En effet, partagons 
l'intégrale (i) en deux parties, l'une relative à l'intervalle («,ö) comprenant 
le point u^y l'autre relative à Tare complémentaire S de la circonférence; 
la deuxième intégrale partielle tend vers zéro quand le point M{r , 6) tend 
vers le point {i y u^), car le dénominateur: i — 2rcos{d — w) + ^'', qui 
représente le carré de la distance d'un point de l'arc S au point M finit 
par devenir supérieur à un nombre positif fixe et comme par hypothèse 



* V. p. ex. : PiCAKD, Traité d'analysey tome I. 



340 P. Fatou. 

j\f{u)\du a une valeur finie, il en résulte que notre intégrale tend vers. 

s 

zéro comme i — r', de telle sorte que les valeurs de f{u) à Textérieur de 
(a , b) n'ont aucune influence sur les valeurs limites de la fonction har- 
monique. 

2. Supposons maintenant qu'au point ti = ti^, la fonction f{u) de- 
vienne infinie en restant positive, de telle sorte qu'elle soit continue pour 
tt = w^, à condition de lui attribuer en ce point la valeur + co. Il est 
facile de montrer dans ce cas que F{r , d) tend vers + co quand le point 
M{r y 6) vient à se confondre avec le point ilf^(i , w^). En effet la fonc- 
tion f{u) sera positive dans un intervalle fini CD entourant le point M^. 




Il suffit d'étudier la partie de l'intégrale de Poisson relative à l'arc CD. 
Du point M comme centre avec ( i — r) y/2 comme rayon décrivons un 
arc de cercle qui coupe CD en deux points P et Q, On voit aisément 
que l'on a: 

arc PQ =2(1 — r) [à une quantité près de l'ordre de (i — r)*] 

et 

T^ — v":— 1 > -; r» > / ;: 1 POur tous les points de PQ 

I -2rcos(^-i/)-|-r' 2(1 -r)* 2(i-r)' ^ ^ ^ 

de sorte que 

27: f I 2rcos(^— 7^ + ^ 2;r 

PQ 

si la fonction f'{u) est constamment plus grande que M dans le champ 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 



341 



d'intégration. Choisissons alors un nombre positif â tel que dans Tinter- 
valle [u^ — d ^ u^ + (?), on ait: f{u) > M, et prenons: 



d 



" 2 



Pans ces conditions, tous les points de PQ étant intérieurs à Tintervalle 



M 



(Uq — à,UQ'^d)j l'intégrale précédente sera plus grande que — et il en 



2;r 



sera de même à fortiori si on étend l'intégrale à tous les points de Tare CD, 



îr 



Il en résulte que 



-f- 

27: J 1 



I - r 



- 2r cos 



^ , -^f[u)du devient plus grande que 



toute quantité donnée quîind le point M tend par un chemin quelconque 
vers le point ikf^. 

Examinons ensuite le cas où f{n) devient infinie, en changeant brus- 
quement de signe lorsque n traverse la valeur u^. 




Il est bien facile de prévoir que dans ce cas la fonction harmonique 
est indéterminée au voisinage du point M^ et peut s'approcher autant 
qu'on le veut de tout nombre réel. Pour nous en assurer menons la 
corde ItS perpendiculaire à OM et supposons que le point M^ soit extérieur 



342 P. Fatou. 



à BS, ce qui aura Heu si M est extérieur au cercle décrit sur OM^ comme 
diamètre. Pour tous les points extérieurs à BSj on aura 



I - r' 



I — 2r cos (6 — v) + r 



-.<I 



et la partie correspondante de l'intégrale de Poisson restera moindre que 
— f\f{^)\^^ ®*' sera donc bornée. Si les points RjP,Q,S se trouvent 



du côté de M^ où la fonction f{u) prend des valeurs infinies positives 
les intégrales: 

/ »t / 



QP SR 



prennent d*après ce qui précède des valeurs infiniment grandes positives 
quand M tend vers 3/^, et il en est de même de Tintégrale de Poisson 
étendue à toute la circonférence. 

Ainsi quand M tend vers M^ en restant compris dans' Tangle yM^a 
des deux circonférences, F{r , d) tend vers + co ; au contraire si M tendant 
vers M^ reste dans Tangle dM^ß, F{r y 6) tend vers — co. D'autre part 
F{r y 0) étant continue à Tintérieur du cercle de rayon i, il est clair 
quelle pourra s'approcher autant qu'on le veut de toute valeur donnée à 
l'avance au voisinage du point M^, 

Nous donnerons une application intéressante de ces considérations en 
construisant une fonction harmonique régulière et constamment positive à 
Tintérieur d'un cercle C, et devenant infinie au voisinage d'une infinité 
non dénombrable de points de la circonférence. 

Considérons, sur une droite, un ensemble parfait, de mesure nulle 
dont tous les points soient à distance finie. Nous savons qu'un tel en- 
semble a la puissance du continu. Nous savons aussi qu'il peut s'obtenir 
en enlevant d'un segment AB une infinité dénombrable d'intervalles, sans 
point commun deux à deux, et dont la somme des longueurs est égale à 
la longueur de AB. On les appelle ordinairement d'après M. Baike les 
intervalles contigus à l'ensemble considéré E. Ceci rappelé, je dis qu'il 
est possible de déterminer une fonction continue, positive, devenant infinie 
en tous les points de l'ensemble E et qui soit intégrable dans l'inter- 
valle AB, 



Séries trîgonom étriqués et séries de Taylor. 343 

Soit (a, 6,) un intervalle continu à E. Je définis daos cet intervalle 
une fonction continne positive, devenant infinie aux deux extrémités (o. , ÔJ 
et intégrable entre ces limites. Soit ^,{x) cette fonction que nous re- 
présenterons par une courbe. 




Nous poserons: 



^{x)=^^{x) dans {«■&,) 



fp{a;) = + CO pour tous les points de E. 
Pour que la fonction jr{i) soit intégrable il faut que la série 



ff,[x)dx + j<f,{.x)ix + . . . + J<f.(x)ix + . . . 

soit convergente. Poor que jp(aî) soit continue aux pointe de E, il faut 
que le minimum y, de 95,(2:) dans (o,i,) devienne infini avec n. Il est 
aisé de voir que ces conditions ne sont pas contradictoires. 
En effet, posons: 

long, a, ô, = s, 
». 
l'int^rale J'^^(x)dx est égale à s^y^ (qui représente l'aire du rectangle 

ü,), augmenté de l'aire A, du domaine compris entre la courbe: y= p,(a:), 
les deux asymptotes verticales et la tangente au point le plus bas. 

Or il est possible de choisir les nombres y, , y, , ■ . ■ , y, , ■ ■ ■ aug- 
mentant indéfiniment avec n et tels que la série: 

s,yi + -.. + s.y, + --- 



344 P. Fatou. 

soit convergente, car la série s^ + «^2 + • • • + -^n + • • • étant convergente 
on peut trouver une série à termes positifs également convergente dont 
les termes deviennent infiniment grands par rapport à ceux de la première.* 
Ayant ainsi déterminé Tordônnée du point le plus bas de chacune de nos 
courbes: y = jr„(a;), nous devons les construire de telle sorte que la somme 
des aires 

ait une valeur finie. Or il est clair que nous pouvons tracer nos courbes 
de façon que chacune de nos aires A^ soit aussi petite que nous voulons.^ 
Il est d'ailleurs permis de faire telle hypothèse que Ton voudra sur la 
nature analytique de la fonction y = f^n(^)) à Tintérieur de Tintervalle 

La fonction f>{x) étant ainsi bien définie dans Tintervalle ÄB, sera 
intégrable dans AB] en outre elle sera continue: cela est évident pour 
les points qui n'appartiennent pas à E, Soit x' un point de E, x^^x^^»..^ 
rr^, ..., des points tendant vers x'. Si x^ appartient à E, on a: 

Si a?i , 0^2 , . . . , ir„ , . . . appartiennent à des intervalles contigus à -B, il 
faut, ou bien qu'ils appartiennent à des intervalles de rang de plus en 
plus élevés et alors ^[x„) tend vers l'co, en vertu de la façon dont nous 
avons choisi les minima des fonctions <Pn[x), Si au contraire les x^ restent 
dans des intervalles de rang fini, il faut qu'ils tendent vers l'extrémité de 
l'un de ces intervalles, et <f{x^) devient encore infini. 

Ainsi la fonction (p{x)^ qui est intégrable ne cesse pas d'être continue 
aux points de E, où elle prend la valeur + co- 

* Voir par exemple : Bokicl, Leçons sur les séries à ttrmes iH)siiifs, (PariH, Gauthier- 
Villars, 1902). 



2 Ci; 



Si l'on choisit, par exemple, des axes tels que les deux asymptotes soient les 
droites: x = ± \^ l'origine étant le point le plus bas de la courbe, en posant: 

ex' 

y = 



+ \/l —x' 
on a une courbe telle que l'aire comprise entre elle, ses deux asymptotes et l'axe des x 

est égale à s et peut être rendue aussi petite que l'on veut en choisissant covenable- 

ment s. 



Séries trigODométriqnes et séries de Taylor. 345 

Soit donc E un ensemble parfait de mesure nulle de points de la 
circonférence du cercle C de rayon i ; nous construisons comme il vient 
d*être expliqué une fonction continue, périodique, devenant infinie aux 
points de E et sommable, et nous envisageons Tintégrale de Poisson: 

F{r,Û) = — f ^'7/' , . J {u)du 



qui représente bien une fonction harmonique continue sur (7, et prenant 
la valeur + co aux points de E\ de plus elle reste positive à l'intérieur 
de (7. 

3. Pour aller plus loin dans l'étude de Tintégrale de Poisson prenons 
la dérivée par rapport à 6 des différents termes des égalités: 

F(r , 6) = - - f ' T/— T-T- . Mdn 

^ ^ ^ 27t ) I — 2r COS (é^ — m) + ♦• 

— »■ 
naco 

= S r"(a« cos w<? + 6, sin nd). 
Nous définissons ainsi une nouvelle fonction harmonique: 

dff ^ ^ ^ 2n J [l — 2rcos(/5^— -ii) + r']*' ^ ^ 

— »r 

= S wr"( — a^^mnd + 6, cos w<?). ^ 

Nous allons démontrer que si en un point w^, la fonction f[u) admet une 

dérivée finie f'{u^\ la fonction -^ tend vers r{%) quand le point (r, <?) 

se rapproche indéfiniment du point (i , n^)^ suivant le rayon qui y aboutit. 
Nous donnons donc à une valeur constante (on peut prendre <? = o) et 
nous cherchons si l'intégrale: 



27r J [l — 2rcosM + r' •' ^ * 



— R- 



^ La déiivation sous le signe / pour r < i se justifie très aisémeut. 

AdUk mßAkumaJtiea. .%. Imprime le 29 novembre 1906. 44 



846 P. Fatou. 

tend vers une limite quand r tend vers i . En faisant f{u) = u (dans 
( — ;r, + ;r)) la fonction F{r , 0) est connue et Ton trouve ainsi que l'inté- 
grale précédente a pour valeur: 

2r 

r+~r 

et tend vers i en même temps que r. On conclut de là qu'on peut sans 
restreindre la généralité, supposer: 

f{o) = r{o) =^. o. 

Posant pour abréger récriture 

I — r* 
' I — 2r cos u + r 

nous écrirons l'intégrale précédente sous la forme: 

27: J I — ar cos t« + r" ^ ^ 
Or si dans l'expression ; — ^ on pose r = i , elle devient , 

^ I — 2r cos n + r ^ m 

taDg- 

et l'intégrale se réduit à: 




— ff 



qui tend vers zéro avec i — r, car f[u) ayant une dérivée nulle pour 

w = o, ■— — ou tend vers zéro avec w, de sorte que la fonction qui 

tang^ 

multiplie II dans l'intégrale ci-dessus étant continue pour w = o, on se 
trouve dans le cas classique de l'intégrale de Poisson. 
Tout revient donc a démontrer que l'intégrale 

I r Tr\ 2r sin u sin w ] ^, , , 
_ . 1 7/ 1 - . • f(u)dH 



I I — 2r cos u + r* l — cos u j 



— K 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 347 

a aussi une limite nulle, ce qui se voit aisément en la mettant sous la forme 



) 



27t I I — 2r COS H + r' 

«/ faner 



du 
u 

taDg - 



car le second facteur qui figure sous le signe f étant toujours compris 
entre o et i Tintégrale précédente est plus petite en valeur absolue que 




du 



qui tend vers zéro d'après un raisonnement que nous venons de faire. 

Il est à remarquer que le résultat établi subsiste lorsqu'on suppose 
seulement que: 

f{o + à)—f(o--a) 
lim 

existe et est finie; c'est ce qu'on voit facilement en réunissant, dans les 
intégrales qui précèdent, les éléments qui correspondent à des valeurs 
égales et de signe contraire de m. On voit aussi sans peine qu'il n'y a 
rien de changé si cette limite est égale à + co ou à — co. 

Supposons maintenant que la fonction dérivée f'{u) existe dans tout 
un intervalle et soit continue en un point u^ de cet intervalle. Nous 

g ET 

allons montrer que, dans ces conditions, la fonction harmonique -r prend 

la valeur f\u^) au point ti^, quel que soit le chemin par lequel on par- 
vient à ce point. 

En effet la fonction f\u) étant finie et continue en u^ est bornée 
dans un intervalle fini s = [AyB] enfermant ce point; soit /STarc complé- 
mentaire de s: l'intégrale: 



27: J [i + r* — 2rco3{u — ff)y' ^ ^ 



348 P. Fatou. 



a pour limite zéro, comme le montre un raisonnement déjà employé, et 
Ton a d*autre part 



I r (I - 02r sin (ii — g) , , 
YkJ [i+r'-2rcos(u — éOr'^^^ 



rintégration par parties étant justifiée par ce fait que dans s la fonction 
f'{u) est bornée et admet son intégrale indéfinie comme fonction primitive. 
La partie tout intégrée s'évanouit à la limite et l'autre tend vers f'{u^) 
lorsque le point (r,<?) tend vers le point (i , w^). 

En résumé, étant donnée une fonction f'{u) égale à la dérivée d'une 
fonction continue f{u) de période 2;r,' il est possible de déterminer une 
fonction harmonique régulière à l'intérieur d'un cercle et satisfaisant aux 
conditions suivantes: 

1°) en tout point d'argument u^ de la circonférence, tel que f'iu^) 
ait une valeur déterminée, finie ou infinie, la fonction harmonique prend 
la valeur /"(Wo) q^^i^d on s'approche de ce point suivant le rayon; 

2°) en tout point n^ pour lequel f'{u) est finie et continue la fonc- 
tion harmonique prend la valeur f'iu^), quel que soit le chemin suivi. 

Remarquons d'ailleurs que f'{u) n'étant pas nécessairement bornée peut 
n'être pas intégrable, de sorte que la solution de problème de Diuichlet 
(étendu) que nous venons d'obtenir, ne peut pas toujours se mettre sous 
la forme d'une intégrale de Poisson. 

Les résultats qui précèdent vont nous permettre d'étudier l'intégrale 
de Poisson lorsque la fonction f{u) est une fonction périodique, bornée 
et sommable; en effet, d'après un théorème de M. Lebesgue, pour un 
ensemble de valeurs de u dont le complémentaire est de mesure nulle, 
f{u) est la dérivée de son intégrale indéfinie F{u) (on peut supposer F{u) 

périodique, en retranchant de f{u) la constante «^ = — J f{u)du. On 
peut alors employer l'intégration par parties et écrire 



* On peut évidemment supposer que f{u) présente des infinis ou des discontinuités 
isolées pourvu qu'elle soit absolument intégrable. 



Séries trigonoméiriques et séries de Taylor. 349 



— X —TT 



on voit alors que pour tous les points u^ où f{u) est la dérivée de F{u), 
l'intégrale de Poisson tend vers f{u^), quand r tend vers i, â restant 
égal à u^ (o. a. d. lorsqu'on chemine suivant un rayon). 

Eéciproquement d'ailleurs, si la fonction harmonique F{r , â), régulière 
à l'intérieur du cercle de rayon i, y reste plus petite en module qu'un 
nombre fixe, et si l'on a: 

lim F{r , 6) = f{û) [sauf peut être pour un en- 
semble de mesure nulle de 
valeurs de d] 
la fonction F est celle qui est donnée par l'intégrale de Poisson. 
En effet : soit r<R< i . Nous avons 

F{r,â) = — f F{B , u) ^. , ^^'r""' , ^du, 

^ ' ^ 27: J ^ ^ ^ Ü* + r^ — 2Rr cos (m — 60 



— r 



Laissant r et â fixes, faisons tendre M vers l'unité; la fonction sous le signe 
f reste inférieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, et tend 

vers , ^ n /'C^)? [sauf pour un ensemble de mesure nulle]. 

Nous sommes donc en droit d'appliquer le théorème de M. Lebesgue sur 
l'interversion des signes lim et y, ' et nous pouvons écrire: 



F{r,â) = ^fHj{u)du. 



— re 



Ainsi, le problème de Dirichlet dans le cas du cercle (avec le sens élargi 
que nous lui attribuons) n'a qu'une solution, si l'on assujettit la fonction 
harmonique inconnue à être bornée à l'intérieur du cercle. Des considéra- 
tions analogues vont nous permettre de donner, en passant, une démonstra- 
tion simple d'une identité importante, se rattachant à la multiplication des 
séries de Fourier. 



* Noas appelons H^ ce que devient // qnand on y remplace n par (u — d) : H^ 
est donc fonction de r ^ , u. 

* Leçons sur r intégration et les fonctions primitives (Paris, Gauthier- Villars 1904), 
page 114. 



350 P. Fatou. 

Nous avons: 

OD 

F[r , Ö) = Z r"(a„cos WÖ + ft^sinnö) (r < i) 



ii-O 



les «^ et 6„ étant les coefficients de la série de Foukiek de f{d). 

Multiplions les deux membres de cette égalité par F[r , 6) et intégrons 
de — ;r à + tt; il est permis d'intégrer terme à tenue, car la série du 
second membre est uniformément convergente si r < i ; on a ainsi: 

lj"F\r,d)dd = a/-fF{r,d)de 



+ 



— K — K 



Or on a évidemment: 



- f F{r , 0) cos 7îddd = a,r\ 






- f F(;r,û)sm7iddd = Kr\ 

TT *^ 



— 17 






— ir 



La formule précédente devient donc : 

'- f"F\r, d)dâ = 2al + i (al + biy\ 

71 •/ » = 1 



■TT 



Faisons tendre r vers i ; d'après ce qui a été dit plus haut, le premier 
membre tend vers: 

i fr{â)dâ. 



— r 



Il en résulte que la série de puissances de r, à coefficients positifs, qui 
figure au second membre, reste convergente pour r = i , car dans le cas 
contraire elle deviendrait infinie pour r tendant vers i ; l'application du 
second théorème d'ABEL sur les séries de puissances nous donne alors: 

lTf\e)de=2al-\- Y[al + hVi 



— K 



Séries trigonométriqaes et séries de Taylor. 351 

égalité qui remonte à Parseval et sur laquelle M. Hurwitz est revenu 
dans un article récent des Mathematische Annalen; ^ elle est démontrée 
ici sous la seule condition que f{0) soit une fonction bornée, sommable au 
sens de M. Lebesgue. Essayons d'étendre ce résultat au cas où la fonc- 
tion f{u) est une fonction non bornée dont le carré est intégrable; ayant 
choisi des nombres î^ , î, , . . . , î« , . . . croissant de o à + cx), nous re- 
gardons f{u) comme la limite des fonctions /i(w),/'j(«*), ...,/',(ti), ... égales 
à zéro dans Tensemble mesurable JS?^[|/'(ii)| > Zj et à f{u) pour les autres 
valeurs de u ; nous considérons également les intégrales de Poisson F, (r ,<?).. . 
F,(r , 6) , . , correspondant à f^{u) , f^[u) , . . . . Quand l^ tend vers l'infini, 



+ ïr +«• 4>r 



f fn{^)^^ töod vers f f{u)du, et f fl{u)du tend en croissant vers 



— ir — îT — ïT 



f f\u)du] de même, pour des valeurs fixes de r et û, F^{r , ff) tend vers 
F[r , 6) et comme on a toujoura 



2 I + r 



\FÅr,d)\<l\^^f\r{u)\dH 



— It 



on peut écrire, d'après un théorème connu sur l'intégration: 
(i) Um / Fl{r,d)dâ= f F\r,e)dd. 



— 1C 



Mais /i,(w) étant une fonction bornée, nous avons d'après ce qui précède: 

fFl{r,â)< fn{u)du< ff\u)du 



— TT — K —K 



d'où, en vertu de l'égalité (i) 

/ F\r,6)dÛ< f f\u)du 

—K — r 

c'est à dire: 



2al + Z(a: + biy <l f f\u)du 

l It */ 



— K 



* Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Functionen (Mathematische 
Annalen, tome 57» '903)« — Voir aussi Stekloff (Comptes Rendus, lo nov. 1902)* 
— Parseval, sa v. étr. (tome I, i8o6). 



352 P. Fatoa. 



on en conclut que la série en r du premier membre, devant rester bornée, 
converge encore pour r = i , et Ton a 

l f f\u)du>2a\ + i.{al + hX). 



— JT 



En réalité Tégalité a bien lieu, mais ce point est un peu plus délicat à 
démontrer. Nous y reviendrons ultérieurement. 

Dans tous les cas, pour toute fonction bornée ou non bornée, dont 
le carré est intégrable, la série formée par les carrés des coefficients de 
sa série de Fourier est convergente. ^ 



4. Considérons maintenant la fonction harmonique obtenue en dé- 
rivant deux fois Tintégrale de Poisson par rapport à l'argument 

— K 



'F I r a'tf. ., . , 



Je vais démontrer que si pour une valeur u^ de u, la fonction f{u) admet 
une dérivée seconde généralisée, c'est à dire si: 



Jti-0 Au' 



on a également: 



r-1 



^^^ ^ = f^(^)- 



On verra sans peine qu'on peut, sans restreindre la généralité, supposer 

L'intégrale précédente, en posant: â = o, se met alors aisément sous la 
forme : 



A = I + r^ — 2rcosii, 

* Il peut être utile de remarquer que si la série 21a n + 6« est convergente, les 
séries /^ — , /^ — sont absolument convergentes pour « > - • 



Séries trigonométriqaes et séries de Taylor. 358 

et Ton a 

lim'-^— ^^^ — P ^ = o par hypothèse. 



«-0 ^* 



Il s'agit de prouver que cette intégrale tend vers zéro avec i — r. Nous 
poserons encore pour abréger Técriture: 

I — r* 

Nous décomposons I en plusieurs termes. Soit d'abord 






Pour r = I , le second facteur sous le signe j devient : 

4 sin' u I 

4(1 — cos w)* , ,t4 

tang«. 

et comme — — tend vers zéro avec t*, c'est à dire est continue pour 

teng* - 

w = o, on en conclut que: 



27: f , tt 

^ 



tend vers zéro avec i — r . 
On a d'ailleurs: 



4r* sin' v sin* u (I — r)' (I + r)' — 4r cos t« I 



A* (I — cosw)' A A * 1^' 

tang - 

(l — r)* (I + ry — 4r cos n A + 2r(T — cos u) 

ile/a mathmnaHea. 90. Imprime le 29 novembre 1906. 45 



354 



P. Patou. 



de sorte que le terme complémentaire de Jj est plus petit en valeur ab 
solue que: 



J taV- 



du 



qui a pour limite zéro d'après un raisonnement plusieurs fois employé. 

On a donc 

lim/j = o. 



r=l 



Considérons maintenant le> terme 



TT 

T ' r rrr4»'*— 2r(l + r')c03tt| . . 







pour r = I , le facteur entre parenthèses devient : 



I 



I — COS u . • ï* 

2 sm - 

2 



et nous voyons comme plus haut que l'intégrale 



H 



u 



tang - 



du 



tend vers zéro. 

Il ne rest« donc plus à considérer que l'intégrale 



kf^i"" 



2r(i + r*)cosu 

A' 



]g(u)dn 







qui se met aisément sous la forme 






-r)' 
A*(l — cos v) 



[A + 2rsin' w].^(w)rfw 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 355 

et que nous décomposons encore en deux parties correspondant aux deux 
termes de la parenthèse. Nous aurons d'abord à considérer l'intégrale: 



/ 



^ I 008 U 



dont on voit de suite que sa limite est nulle. Puis: 



Ce [ ''^' -;r "°' ^ I -^^- du. 

J L A Jl — cosw 



Or le second facteur reste borné quand r tend vers i, car on a 



(i — r)* sin Ii* 
A 



sin Ii* r(l — r) sin n V (l — r) sin u "1 

^ ^ . (I— r)' + 4^sin''-* 



La quantité élevée au carré est donc plus petit que 

sin u 



I — r 

et que 



, d'une part 



(' - '•^ d'autee part. 



U 

2r tang - 



et reste bornée. 

On en déduit que l'intégrale précédente est comparable à 



«■ 



/ 










et a par suite pour limite zéro, et notre proposition se trouve complète- 
ment démontrée.^ 

Nous pouvons aussi démontrer que si dans un certain intervalle {Ä , B) 
la dérivée seconde généralisée ^{u) de f{u) est bornée, et continue en un 



—^ ^ _■ 



* On peut l'exprimer de cette façon: si f(u) est la dérivée seconde généralisée 
d'une fonction périodique et continue: g(u)t on a: 

/■(ti) = lim[ — A^r — 4^,r' — ... — n^AnV^ — . . .] 



r=l 



A^ + A^ + A^ + . . , étant la série de Fourier de y(n). 



856 P. Patou. 

point Uq de cet intervalle, la fonction harmonique — ^j- prend au point 

(i , Uq)j suivant tous les chemins qui y aboutissent, une valeur limite 
égale à ^{uj. Pour cela il suffit de remarquer comme nous Ta vous fait 
plus haut, que la fonction p{u) est sommable dans Tintervalle AB, et 
qu'en outre 



tf 



f f <p{w)dwdv 



a a 



est égal à f{u), à un terme linéaire près, comme le démontre M. Lebesgue 
dans son mémoire sur les séries trigonométriques/ 
On pourra alors appliquer à l'intégrale 

AB AB 

deux intégrations par parties ce qui nous ramènera à l'intégrale 

i fB,ip{u)du 

^^ AB 

à laquelle s'applique le raisonnement classique de M. Schwarz. Si l'on 
remarque que les parties tout intégrées s'évanouissent à la limite et qu'il 
en est de même de 

Tjôr f{u)du (étendue à l'arc complémentaire de AE) 

C(ÂB) 

on obtient le résultat annoncé. 

Nous aurons Toccasion, tout à Theure, de tirer plusieurs conséquences 
intéressantes des propositions des paragraphes 3 et 4. 

^ Annales de TEcole normale, t. 20, p. 491. M. Lebesgue remarque que 
f{u) étant bornée, il en est de même du rapport 

/•(n + a) + f{u — g) — 2f(u) 

a* 
à cause d'une extension, qu'il donne, du théorème des accroissements finis à la dérivée 
seconde généralisée. Partant de la relation 

^ ^.Jiu + a) + nu-a)-2r(n) 

a 
il intègre deux fois de suite les deux membres, en intervertissant, comme il est permis, 

les signes lim et / . On a ainsi le résultat énoncé dans le texte. 



/ 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 857 

Mals faisons voir encore que les résultats obtenus sur les valeurs limites 

3ÎF' 

de la fonction -j subsistent lorsqu'on considère, au lieu de chemins nor- 
maux à la circonférence, des chemins faisant des angles finis avec celle-ci. 
Reprenons donc Tintégrale 

Yn J [i+r«-2rcos(n-^r^('')^'' = ^ ^(^ ' ^^ 



— «• 



et supposant toujours f{p) = f'{o) = o, faisons tendre d et i — r vers zéro, 

en supposant que le rapport reste borné et inférieur à K. 

D'après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale 



+ jr 



î r 1 — r* sin M -/ V , 

— / — ; i f(u)du 

iTT J I — 2r cos (ff — n) -f r' I — cos n 



2a- 

— te 



tend vers zéro quand i — r et â tendent vers zéro. 
Il suffira donc de considérer: 



+ .T 



I r tt\ 2r sm (n -— 8) sin it L-/ \ ji 

\n ) l I + ^ — 2r cos (i4 — 8) i — cos m J' ^ ' 



2n 



La quantité entre parenthèse s'écrit; 

2r sin (n — ^ + 2r siu d — (l + f ') sin u 
(i — cos u)[\ + r* — 2r cos (m — ff)] 

2r[sin {u — ^ -f sin é' - sin u] (i — r)* i 

(i — cos tt)[l + r' — 2r cos (n — (f)\ l + r' - 2r cos (u — 8) n' 

Le second terme du second membre donnera lieu à une intégrale tendant 
vers zéro avec i — r, d'après un raisonnement connu. 
Le premier terme s'écrit: 

8 , u—ä u-8 
2r sin - sm Kr(i - r) sm 

2 2 I ^^21 

< 



(I — ry + 4r sm sm - (l — ry + 4r sm" — - sm - 

(en valeur absolue) 



358 



P. Fatou. 



il est donc plus petit en valeur absolue, d'une part que: 



K 8in 

2 I 



1 — r 



. n 

öin- 

2 



et d*autre part que: 



K{ I -r) I 



, n — ff , u' 

4 sm sin - 

2 2 

K 



donc, dans tous les cas, il est inférieur à . On en conclut que Tinté- 



. n 

Bin - 

2 



grale qu'il faut démontrer tendre vers zéro est comparable à celle-ci: 



•f R- 



"J 



— «■ 



. u 

sin- 

2 



du 



dont l'évanouissement à la limite résulte du raisonnement classique de 

M. SCHWAllZ. 

Il importe d'ailleurs de remarquer que ce qui précède suppose l'existence 
de la dérivée de f{u) et non pas seulement de la dérivée généralisée 



[ 



2 Au 



5. On pourrait étudier d'une façon analogue la façon dont se com- 
portent au voisinage de la circonférence les dérivées du premier et du 
second ordre de jP(r, 6) par rapport à la variable r; mais ce qui sera plus 
intéressant pour nous, ce sera l'étude de la fonction harmonique conjuguée 
de F, et représentant la partie imaginaire de la série de Taylor dont 
F serait la partie réelle; cette fonction 0{r , d) est définie, à une constante 
additive près, qui reste arbitraire, par la relation: 



+» 



0{r,e) = - 



2;r j i 



2r sin {n — 6f) 



+ ?•' — 2r COS (?t — ff) 



f{u)du. 



— K 



Séries trigoDométriques et séries de Taylor. 359 

Supposant d'abord f{u) finie, continue et périodique nous allons rechercher 
à quelle condition 0{r , â) tend vers une limite quand r tend vers l'unité, 
û restant fixe, et quelle est cette limite. 
Posons : 

ne + t)-f{â-t) = ^{t), 

t. = u — d, 
I + r' — 2r cos < = A 

nous aurons à étudier ce que devient l'intégrale: 



quand i — r tend vers zéro. Nous posons: 6 = arcsin(i — r), et nous 
divisons le champ d'intégration en deux parties (o,e) et (e, + ;r). 
L'intégrale 

£ 



ï/^^CX« 



27 





est plus petite en valeur absolue que 



I e 



— ^— ; X max. de \f>{t)\ dans l'intervalle (o , e) 

et tend vers zéro avec e, et même uniformément quel que soit tf, à cause 
de la continuité de f. 
Nous avons ensuite 



+. +^ 



(.) -i-J'-T^m—^f 



"<" m 



t 
tang^ 



+ »r 






360 P. Fatou. 

La deuxième intégrale tend vers zéro avec e ou i — r, et même uniforraér 
ment; on a en effet 

A = (i — ry + 4rsin'- , 



/ M ' j (^ ~~ ^) C08- 

A I — cos i . , é 

/LT sin' - 
2 



(p<t<Tt) 



d*où: 



2;r / A I — COS t 2;rr I Ml ^^ 



Si nous prenons îy = e^ , nous pourrons donc décomposer l'intégrale J, en 

deux parties correspondant aux intervalles \e,e'J et \6^ , + tt/. 

La première partie sera plus petite en valeur absolue que — , mul- 
tiplié par le maximum de |f(0| ^^^^ Tintervalle \e,e^y et tendra uni- 
formément vers zéro avec e. 

La seconde partie sera plus petite que: 



* 2 sin - 



M désignant le module maximum de ip{i) dans (o,;r); le facteur élevé au 
carré ayant une limite nulle, cette deuxième partie tend aussi vers zéro 
uniformément. Dotïc pour qtie 0{r ^ 0) ait une limite pmir r = i , il faut 
et il suffit que Vintégrale 

(2) / [f[e + t) — ae — <)] cotang ^ dt 

ait une limite quand e tend vers zéro par valeurs positives et pour que 
0{r , 0) tend uniformément vers la limite quand r tend vers V unité il faut 
et il suffit que Vintégrale (2) tende uniformém^ent vers la limite. 

Si cette condition est remplie, la fonction harmonique 0{r,6) prendra 



Séries trîgonométriques et séries de Taylor. 361 

sur le cercle de rayon i , une suite de valeurs continues et bien déterminées 

représentées au facteur — près, par la limite de l'expression (2) quand e 

tend vers zéro; ce sera encore, si Ton veut, la valeur principale (au sens 
de Cauchy) de l'intégrale 



2n 

— ÎT 



On voit en particulier que si f(u) est à nombres dérivés bornés ou 
encore satisfait à la condition: 

(3) \f{^ + à)-f{u)\<h\d\ 

Jt et a étant des constantes positives, la fonction ^(r, 6) sera uniformé- 
ment coütinue à l'intérieur du cercle et sur le cercle. 

Je dis de plus que f{u) satisfaisant à la condition (3); la fonction 
conjuguée: 



27r 

—rt 



satisfera à une condition analogue. 

Donnons à u l'accroissement Aie, nous aurons: 



fP (« + A») = — ^ / \f{t) — f{u + Al*)] cotang ~ " ~ — - dt, 



— ir 



(4) f(«+ A«) — jp(«) 




ni) - /"(t* + A«) _ nt)-f(u) 

t — u — Au t Ii 

tang taog 



dt 



La fonction sous le signe f peut s'écrire 

. fit) - f{u + Au) ^.^ An , f{n) - fin + Au) 

(5J : : Ä — sm 

^^^ , t — u . t — u — Au 2 ' t — u 

sm sin tang 



^ La fonction sous le signe / est dans le cas actuel absolument intégrable; il 
est donc inatile de parler ici de valeur principale. 

Acta mathêmaHea. 30. Imprimé le 4 décembre 1906. 40 



362 P. Fatou. 

Intégrons d'abord de — ;r à u — A, et de u + h à + ^> ^^ supposant: 

(6) A>2|Aw|. 



u — h V n + A?i n+h 

On aura alors, t variant dans Tun de ces intervalles, 



I 



-r=r„ = '^Jt{- "^^^ - 2 ~) 



. t — u . t — u — Aw 
8in sin 8in 

2 2 2 

c étant une constante positive, car les deux sinus du dénominateur seront 
toujours de même signe et du même ordre de grandeur. 

En outre f{u) étant bornée, on voit que le premier terme de (5) 
intégré de — t: b, u — h, et de u + h k + ;r, donnera pour l'intégrale (4) 
une contribution moindre en valeur absolue que: 

(7' . I A w I . cotang | h \ 
ou simplement 

c>'.|A«|.,-|:, 

OÙ c désigne une constante fixe. 

Ensuite, le second terme de (5), intégré toujours entre les mêmes 
limites, donnera comme résultat zéro. 

Il nous reste a évaluer une limite supérieure de Fintégi^ale (4) quand 
les limites d'intégrations sont w — h et u-^-h. En tenant compte de la 
relation (3) on trouve facilement que les termes ainsi obtenus ont une 
somme moindre en valeur absolue que: 

C'\\h\\ 
On a donc en définitive: 

W{n + Au)-^{u)\<C'^~^ + C"\h\'. 
Si l'on prend par exemple: 



|Ä| = |A«|-+' 



Séries trigonométriqaes et séries de Taylor. 363 

(ce qui est compatible avec la condition 6, pour Au suffisamment petit) 
on obtient: 

a 

\^{u + Au) — y{u)\< {C + C")\Au\ ^ . 

Une condition de la forme (3) s'appelle généralement condition de LiF- 
SCHITZ ; nous pouvons donc dire que si la partie réelle d'tme série de Taylor 
est continue sur son cercle de convergence et satisfait à une condition de 
LipschitZy la partie imaginaire est également continue et satisfait à une con- 
dition de mêm£ formel 

Nous avons supposé dans ce qui précède la fonction f{u) finie et 
continue de o à 2;r; on voit sans peine que nos conclusions subsistent si 
la fonction /"(w), supposée intégrable, n'est continue que dans un certain 
intervalle. 

Les raisonnements précédents montrent aussi que si f{u) est une 
fonction bornée et sommable, à laquelle correspond la fonction harmonique 
F{r , tf), la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction harmo- 
nique conjuguée (P{r^6) reste bornée à l'intérieur du cercle de conver- 
gence est que l'intégrale 



/ W + t) — ne — 1)\ cotang [ dt 



reste bornée quels que soient s et ^. La fonction f ne peut pas dans 
ce cas, avoir des discontinuités de première espèce, car si f présente une 
telle discontinuité au point Ö, tf>(r,ö) tend vers -+- cx) ou — co quand r 
tend vers i. 

En résumé, nous avons pu, grâce, surtout à l'extension si importante 
de la notion d'intégrale due à M. Lebesgue, faire l'étude de l'intégrale 
de Poisson dans des cas bien plus étendus que ceux qui avaient été 
examinés jusqu'ici. 

Des différents résultats acquis dans ce chapitre, nous retiendrons par- 
ticulièrement le suivant : V intégrale de Poisson, correspondant à une fonction 
périodique, bornée et sommable, représente une fonction harmonique qui, en 
tous les points de la circor{férence, {sauf peut-être aux points d'un ensemble 

^ La série est alors uniformément convergente sur son cercle de convergence, 
comme il résulte de l'étude des séries de Fourier. 



364 P. Fatou. 

de mesure miUe) prend une valeur bien déterminée lorsqu'on tend vers Vun 
de ces points en suivant un chemin non tangent à la circonférence. 

Le fait serait d'ailleurs évident si la fonction f[u) était intégrable an 
sens de Eiemann, car ses points de discontinuité formeraient alors un 
ensemble de mesure nulle; mais nous verrons combien il est nécessaire de 
se placer au point de vue tout à fait général que nous avons adopté. 



DEUXIÈME PARTIE. 



Étude de la série de Taylor sur son cercle de convergence. 

I. Considérons une série de Taylor dont nous supposerons dans 
tout ce qui suit le rayon de convergence égal à Tunité; soit 

Si nous posons: 

Cn = (^n — iK, 



j = ré' 



elle se mettra sous la forme 



(2) 



<p{i)^P[r,e) + iQ{r,dl 
P[r , â) = «0 + ^ («» cos nû + 6« sin n6)r* , 

n = l 

Q[r , 0) = — 6o + ^ («n sin nO — ô« cos nO)r'' . 



Les coefficients a„ et 6„ sont donnés par les formules: ^ 



* Voir au sujet de ces formules: Harnack, Fundamentalsätze der Fundionentheorie 
Math. AnnaleD, tome 21. 



Séries trigonométriquas et séries de Taylor. 



365 



(3) 



a. 



= TnT^^^'^)^^ 



— ir 



— K 



a. 



= ^ / P(r,<?) cos titfrftf = ^ fQ{r,â)smn0d0 

— jr — ir 

^ = ^ /"^C»-. â)^innâdd = ± f —Q{r, â)cosnâdâ 



— ir 



— K 



dans lesquelles on donne à r une valeur plus petite que i. Si, lorsque 
r tend vers i, P{r,û) et ö(r,tf) tendent uniformément vers f{û) et ^'(tf) 
(fonctions continues de tf), autrement dit si la série de Taylor f(i) est 
uniformément continue à l'intérieur de son cercle de convergence et sur le 
cercle, on peut écrire, en faisant tendre r vers Tunité dans les formules (3): 



(4) 



a. 



-hS'f^^)^> 



— ir 



\=T„f'-9{e)d0, 



l 



a^=- r f[e) cosnâdO = - f g(â) sin nûdâ, 

— ir — jr 

6, =- r f{e)Bmnede=- Ç —g(â)cosnedd 

TT •/ TT •/ 

— K — IT 



ce qui revient à dire que P(r, d), Q{r^â) sont exprimables à Taide de la 
formule de Poisson: 



(4') 



+«■ 



P{r 



'^-rJi 



I — r 
2r cos 



(«-gj + ,. A«M«*. 



— ir 



+ir 



Q{r 



' ^) = i / l-2rl(u-<^ + r- ^W^^ 



— ir 



366 P. Fatou. 

et Ton voit aussi que, dans ce cas, Tétude de la convergence de la série 
de Taylor sur son cercle de convergence est ramenée à Tétude de séries 
de Fourier correspondant aux fonctions f{u) et g[u). 

Mais nous allons voir que les formules (4) et (4') sont applicables 
dans des cas beaucoup plus étendus que celui dont nous venons de parler.* 

Supposons simplement que <p{i) soit bornée à l'intérieur de son cercle 
de convergence, mais ne faisons à primai aucune hypothèse sur l'existence 
de valeurs limites de <p[i) pour les points du cercle. Nous allons voir 
que les formules (4) et (4') sont encore applicables. 

Il est un peu plus commode de supposer c^ = o, nous aurons alors 

vil) = ^lî "f ^3î' + . . . + c,a" + . . . . 

Considérons également la série de Taylor: 

(5) i^(a) = ^4-^* + ... + ^ + ...=/^W 



Elle représente une fonction de j qui reste bornée à Tintérieur du cercle 
de convergence; qui en outre, est uniformément continue à l'intérieur du 
cercle de convergence et sur ce cercle, comme il résulte de l'inégalité : 



(6) lî^(3')-î^(a")l = 



/ 



Xi) 



3 



^3 



<|8'-3"|.Jtf, 



M désignant le module maximum de ^-^ , 

Si donc on pose 

Hl)=U{r,0) + iV{r,d) 

on pourra exprimer Z7 et F par les formules: 

u 



2n J I — 2r COS (m — 0) + r* ^ ' ' 



— n 



= — / 7 i^r-, — iMu)du, 

27: J 1 — 2r COS (w — 6) + r* ^ ^ ' 



— TT 



' Comptes Eiondus, février 1905. 



Séries trigouométriques et séries de Taylor. 367 

h(u) et k{u) étant des fonctions continues de u. Mais, en appliquant 
l'inégalité (6) aux points du cercle de convergence, on voit immédiatement 
que h{u) et k{u) sont des fonctions de u à nombres dérivés bornés. Elles 
admettent donc une dérivée pour un ensemble de valeurs de w, dont le 
complémentaire est de mesure nulle. 
Mais nous avons les relations: 

P(r A\- ^^(^-^ 

Q{r,0) = ^^— . 

Il résulte donc du chapitre précédent que pour toutes les valeurs u^ de u 
pour lesquelles les fonctions h{ti) et k{u) ont des dérivées, les fonctions 
harmoniques P et Ç prennent des valeurs bien déterminées quand le point 
(r, 6) tend vers le point (i , w^) suivant un chemin non tangent à la circon- 
férence. On pourra, en outre, appliquer les formules (4'), dans lesquelles 
f{u) et g{u) désignent non plus des fonctions continues, mais des fonctions 
bornées et sommables qui représentent, en général, la valeur limite de 
P{^y^)i Q[^i^) pour r= I. On peut si Ton veut, pour définir ces fonc- 
tions avec précision, admettre qu'elles représentent toujours la plus grande 
limite, ou la plus petite limite des fonctions P et Ç pour r tendant vers 
l'unité. Nous ferons en général cette hypothèse. 

D'ailleurs ces deux fonctions /* et ^ ne sont pas indépendantes et 
nous savons qu'elles doivent satisfaire à cette condition que les intégrales: 

f {f{d + t) — f{e-t))coig-dt et f{g{e + t)-g{d — t)}coigUt 

restent bornées quel que soient e et Ö. 

Nous voyons aussi que les coefficients a^ et ô„ tendent vers zéro avec 

, et même que la série 



00 



^^{al + K) = Y\c„Y 

est convergente. Si donc, pour une série de Taylor, de rayon de con- 
vergence égal à un, cette condition n'est pas remplie, on peut affirmer 



368 P. Patou. 

qu'elle n'est pas bornée, c-est-à-dire qu'elle prend des valeurs infiniment 
la^randes, au voisinage de certains points de son cercle de convergence. 

En tout point régulier du cercle de convergence, les fonctions f{u) 
et g{u) ayant des dérivées, leurs séries de Fourier sont convergentes; il 
en résulte que fp(g) est convergente en tout point régulier de son cercle 
de convergence. 

Aux points u^ pour lesquels \f{u) — /^(^o)|> l^'C^) — 5^(^0)1 sont les dé- 
rivées de leur intégrale indéfinie, c'est-à-dire presque partotU, la série est som- 
mable par le procédé de la moyenne arithmétique, ainsi qu'il résulte d'une 
proposition de M. Lebesgue (C. E. de l'Académie des Sciences, 22 mai 1905). 

2. Nous allons donner immédiatement une application de ces géné- 
ralités en montrant qu'elles permettent d'ajouter un complément intéressant 
à la célèbre proposition d'EisENSTEiN, concernant le développement en série 
des fonctions algébriques.^ Hermite, dans son cours de la Faculté des 
Sciences, a donné à cette proposition la forme suivante: Si une série de 
Taylor à coefficients rationnels, représente une branche de fonction algé- 
brique, on peut toujours ramener cette série à avoir ses coefficients entiers 
(sauf le premier), en multipliant la variable par un entier convenable. 

Considérons une série de Taylor à coefficients entiers; je dis qu'elle 
ne peut représente}^ une fonction algébrique que si son rayon de convergence 
est plus petit que V unité, à moins qu'elle ne soit égale à une fraction ration- 
nélle dont tous les pôles sont des racines de Vunité, 

Supposons en effet que: 

y = fii) = ^0 + ^lî + • • • + ^"î" + • • ) 



où c^ , Cj , Cj , . . . sont des entiers et où limv|c,| = i, satisfasse à une équa- 
tion algébrique irréductible: 

F sera nécessairement à coefficients entiers. Soit P(g) le coefficient de la 
plus haute puissance de y dans F; la fonction algébrique w = y.P(g) 
n'aura pas de pôle à distance finie; donc en multipliant le polynôme à 
coefficients entiers P(g) par la série à coefficients entiers /"(j), on obtient 



* Comptes Rendus, février 1904. 



Séries trigoDométriquea et séries de Taylor. 369 

une série de Taylor f?(j), de rayon de convergence égal à un et qui doit 
rester bornée à Tintérieur de son cercle de convergence; il faut pour cela 
que les coefficients de ^(j) tendent vers zéro quand leur rang augmente 
indéfiniment et comme ces coefficients sont des entiers, cela ne peut se 
produire que s'ils sont constamment nuls à partir d'un certain rang, et fp(g) 
se réduisant à un polynôme, on voit que f{i) est égale à une fraction ra- 
tionnelle. 

Proposons nous maintenant de déterminer toutes les fractions ration- 
nelles 

développables en série entière en j, à coefficients entiers, de rayon de 
convergence égal à un. — A et B sont supposés à coefficients entiers, on 
suppose en outre qu'ils n'ont pas de diviseur commun. On peut alors 
déterminer deux polynômes à coefficients entiers A^ et B^ tels que l'on ait 

AA, +BB,=N 

N étant un entier différent de zéro. Si ^ se développe en série entière 
à coefficients entiers, il en sera de même de: 

A^^B-^- 



B ' 1 B a+ ßi + ,.. +Åi^ 

Nous supposons les entiers (a , ß , . . . , A, p) premiers dans leur ensemble. 
Soit donc: 

(7) « + ^ + ... + ,,, = «. + «.3 + -- 



par suite: 



v = %a 



et soit p un diviseur premier de a. On peut supposer que les entiers 
a^ , a^ , . . . , a^ , . . . ne sont pas tous divisibles par p , sinon on aurait une 
égalité de même forme en divisant par p les deux membres de (7). Soit 
a„ le premier coefficient non divisible par p. On peut écrire: 

i; = (a + ^ + . . . + k%% + a,j + . . . + a,_, j^-^ 
+ (a + /9j + ...+^4%nî" + ...)• 

Acta mathemaliea. 30. Imprimé le 4 décembre 1906. 47 



870 P. Fatou. 

On en déduit que la série 

(a + ,^j + . . . + V)(«-J" + «-+iè"''' + • • •) 
une fois ordonnée aura tous ses coefficients divisibles par p 



«a. 


— ^O 




' 


aa. 


+1+/5«-- 


EO 




• • 


+« + i^^«+i 


• a • 


— O 

• • • , 



(mod j?) 



et comme par hypothèse on a: 

a ^ o (mod p) et a. ^ o (mod p) 
on déduit de là de proche en proche, 

ß^o (mod jp), r ^ ^ (^^^ P)i • . • . 

Les coefficients (a , y? , . . . , A , v) ne seraient donc pas premiers dans leur 
ensemble. Il faut donc que Ton ait j? = i , et par suite a doit être égal 
à l'unité. Autrement dit 5(j) est égal à un facteur constant près à: 

où ßjjTi'-'i^ soi^t des entiers. Le produit des modules des zéros de ce 

polynôme est égal à + t ; mais comme d'autre part les pôles de 07^ doivent 

avoir des affixes supérieures ou égales en module à Tunité, puisque le 
rayon de convergence doit être égal à Tunité, il faut que Ton ait: 

A=± I 

et que toutes les racines de 5(j) aient pour module i. Mais, d'après un 
théorème de Kroneckbr, un nombre entier algébrique qui a pour module 
1, ainsi que tous les nombres conjugués, est une racine de l'unité. Donc 
5(g) est un polynôme de division du cercle ou un produit de plusieurs 

polynômes de cette espèce et la fraction —^ pourra par suite se ramener 

à la forme 

(8) (I _ j»)* • 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 371 

Ainsi, les seules fractions rationnelles développables en série entière à 
coefiFicients entiers, avec un rayon de convergence égal à i, sont les frac- 
tions rationnelles de la forme (8). 

Considérons maintenant une série de Taylor dont les coefficients n'ont 
qu'un nombre limité de valeurs, par exemple o et i, on a alors 

a , y? , A , . . . étant des entiers croissants. Appelons point singulier isolé 
d'ordre fini d'une fonction analytique, un point singulier isolé j^ au voisinage 
duquel on a: 

a et A; étant des constantes. Cela étant, je dis que la série de Taylor 
/*(}) a nécessairement sur son cercle de convergence d'autres points singuliers 
que des points singuliers isolés d'ordre fini. £n effet, s'il n'en était pas 
ainsi, en multipliant /"(g) par un polynôme ayant pour zéros les points 
singuliers en question avec des ordres de multiplicité convenables, on 
aurait une nouvelle série de Taylor qui devrait rester bornée à l'intérieur 
du cercle de rayon i, et dont les coefficients devraient donc tendre vers 
zéro. Or ces coefficients n'ayant aussi qu'un nombre limité de valeurs, 
cela est impossible s'ils ne sont pas constamment nuls à partir d'un certain 
rang, c'est-à-dire si /*(}) n'est pas égale à une fraction rationnelle. 

On voit en particulier que f{^) ne peut pas être algébroïde dans un 
cercle de rayon plus grand que i . ^ 

Nous avons, daus ce qui précède, quelques exemples des liaisons qui 
existent entre la nature arithmétique des coefficients d'une série de Taylor 
et la nature anal3rfcique de la fonction qu'elle représente. 

Donnons maintenant quelques extensions de la proposition énoncée 
au début de ce chapitre. Soit D un domaine limité par un contour simple 
C et dont on puisse faire la représentation conforme sur le cercle (ce qui 
aura lieu par exemple si C est formé d'arcs réguliers de courbes analy- 
tiques) et f{i) une fonction analytique régulière et bornée dans D. En 



* Relativement aux séries entières à coefficients entiers, je rappelle qne M. Borel 
a obtenu un résultat très intéressant (v. p. exemple, ses leçons sur les fonctions méro- 
morphea, Paris, Gkkuthier-Yillars, I903). 



372 P. Faton. 



tous les points de (7, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, 
/(g) prend une valeur déterminée suivant les chemins non tangents à C 
et Ton pourra par suite appliquer la formule de Cauchy: 



M8/ 217:7 ^— ï 



Enfin on peut étendre encore la proposition au moyen d'une transforma- 
tions homographique effectuée sur /^(j). S'il existe un nombre A tel que 
/"(j) — A reste supérieure en module à un nombre positif fixe, la fonction 

j^ j sera régulière et bornée à l'intérieur de D, de telle sorte qu'on 

pourra lui appliquer la proposition précédente; par suite /*(}) aura aussi, 
en général, une valeur déterminée, finie ou infinie, aux points du contour 
mais il n'est pas certain que la même propriété s'applique à la partie 
réelle et à la partie imaginaire de /*(}) considérées séparément; il faudrait 
démontrer pour que cela fût vrai, que /*(}) ne peut prendre une valeur 
infinie qu'en un ensemble de mesure nulle de points de contour, et bien 
que cela paraisse très vraisemblable, nous n'avons pas réussi à en donner 
une démonstration générale. 

Comme applications considérons la série /_] '^— , les points a^ aj, ..., a« 

étant des points du segment o — i de Taxe réel, partout denses, et la 
série S | -4« | étant convergente. C'est un cas particulier des séries étudiées 
par M. BoREL dans sa thèse, ^ en vue de l'extension de la notion de pro- 
longement analytique. La série que nous considérons définit une fonction 
analytique qui adm^et le segment o — i comme ligne singulière essentielle. 
Supposons les A^ positifs et donnons à j une valeur, x-^-iy, y étant 
positif. Si l'on pose g — «» = Pn^^ la partie imaginaire de {^(g) est égale à 



+ *£- 



— smoi. 



et comme on a o<û>,,<;r, le coefficient de i est négatif; donc lorsqu'on 
reste, par exemple, dans le demi-plan supérieur fj>(g) reste hornée p^^ojective- 



* E. BoRBL, Sur quelques pointa de la théorie des fonctions, première partie (An 
nales de l'Ecole normale, I895) et Leçons sur la théorie des fonctions. 



Séries trigonom étriqués et séries de Taylor. 373 

merit. On en conclut que tous les points du segment o — i , sauf ceux 
d'un ensemble de mesure nulle, sont des points où fp(j) prend, au sens 
déjà souvent expliqué, une valeur déterminée, ce qui concorde avec les ré- 
sultats de M. BoRRL. 

Au contraire, la première des fonctions uniformes affectées de coupure 
qui se soit présentée en analyse, la fonction modulaire, présente une in- 
détermination becaucoup plus complète au voisinage de cette coupure, ainsi 
qu'il résulte des recherches de Eiemann et Dedekind.* 

3. Etude de V intégrale de Poissmi lorsque la fonctmi f{u) qui figure 

sous le signe J est une fonction non bornée^ intég^'able en valeur absolue,^ 

Cette étude peut se faire comme lorsque f{u) est une fonction bornée. 
Car f{u) étant, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, égale à la 
dérivée de son intégrale indéfinie, on pourra raisonner exactement de la 
même manière que lorsque f{u) est bornée, et l'on arrivera aux mêmes 
conclusions que dans le premier chapitre. Toutefois nous préférons ratta- 
cher ce cas à celui où f{u) est bornée, la méthode indirecte que nous 
emploierons conduisant à quelques résultats nouveaux; nous supposerons 
que non seulement f{u) est intégrable entre — ;r et + ^ m2Aa qu'il en 
est de même de son carré. Posons donc 

P(r,tf) =— f 'T""' ^ , ^f(u)du 

^ ^ ^ 271 J I ~ 2r COS (u — #) + r* ' ^ ^ 



— TT 



et supposons d'abord que f{u) soit une fonction positive, dont le carré 
est intégrable. 

On a vu dans le premier chapitre que si l'on écrit: 

P{r,ff) = a^ + 2) (o, COS nd + b, sin â)r' 

fi îss I 



^ On pourra lire à ce sujet nne lettre (I'Hermite à Stieltjes (17 décembre 1886). 
— (Correspondance d'HERMiTE et de Stieltjes, Paris, Gauthier- Villars 1905, page 196.) 

* Nous n*avons pas placé cette étude dans la première partie, parce que nous 
avons dû nous servir du théorème établi dans le § I de la seconde partie. 



374 P. Faton. 

la série 

2al + i {al + bl) 
est convergente. Soit Q{r , 6) la fonction harmonique conjuguée de P{r , 0) 

Ç(r, d) = b^ + Y (a.sintiö — ô„cosn^)r- 



Rc-l 



et soit: 



On a: 



ipil) = P{r , e) + iQ{r , e), (î = re**). 



l fP'ir ,â)dâ= 2a\ + î: («: + J:)r«", 






\ f Q\r, d)dd =202 + 2: [al + ôî)r'-, 



d'où: 



— K 



et comme la série du second membre converge encore pour r = i , on 
voit que 



— T 



reste bornée quand r tend vers i . Il en résulte qu'on ne peut avoir 

]îm\ip{ré^)\= +CO 



r-xl 



que pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de ^, sinon on dé- 
montrerait par un raisonnement analogue à celui qu'emploie M. Leresgue,^ 
que l'intégrale qui précède devrait croître indéfiniment. 

Mais d'autre part, P[r^d) étaut constamment positive, la fonction 

analytique , ^ — = 77—, — -/: — est bornée dans C\ on en déduit comme 



* Leçons sur V intégration et la recherche des fonciwm pnmitiveSf page 1 14. 



Séries trigonométriqnes et séries de Taylor. 375 

on vient de le voir que, fp(j) a, en général/ une valeur limite déterminée 
suivant les rayons et comme cette valeur est en général finie, on voit bien 
que P{r , Ö) , Q{t ^d) ont, sauf pour un ensemble de mesure nulle de va- 
leurs de d une valeur limite bien déterminée pour r = i . ' 

Posons 

limP(r, <?) = /•,((?) 

r-1 

dans l'ensemble des valeurs de d où cette limite existe. 
Je dis que Ton a en général: 

m) = f{e). 

Pour le démontrer établissons d'abord le lemme suivant: 

Si des fonctions positives, bornées sommables: /l(^), /i(iï?) , ... tendent 
vers une fonction bornée ou non f[x) et si 

ffÅ^)dx 

a 

reste, quel que soit rz, inférieur à un nombre fixe, la fonction f{x) est 
intégrable, et Ton a: 

6 6 

f f{x)dx <\un. mî.ff^{x)dx. 

a a 

La fonction f{of) est mesurable. Soit E l'ensemble des valeurs de x pour 

lesquelles on a: - 

f{x)<L. 

Considérons la fonction: 

^n{^) = fn{^) pour l'ensemble des valeurs de 

X telles que: f^{x)<L, 

f^ni^) = f{^) pour l'ensemble des valeurs de 

X telles que: f^{x)>L. 
Pour les points de E les fonctions f>n{^) sont bornées dans leur ensemble 
et tendent vers f{x), on aura donc 



Umf^^{x)dx = ff{x)dx. 



' Pour abréger, nous dirons souvent: »en général >, au lieu de »sauf exception 
pour un ensemble de mesure nulle de points ou de valeurs de la variable.» 

* Il résulte de ce raisonnement que si une fonction harmonique est régulière et bornée 
à l'intérieur d'un cercle^ elle pourra être mise sous la forme d'une intégrale de Poisson. 



376 P. Fatou. 

Mais comme on a toujours dans^B f^n^fny on en déduit: 

6 

ff{x)dx <]im. inf . f f„{x)dx <\im, inf. ff„{x)dx<k, 

E a 

Donnons à L des valeurs positives de plus en plus grandes; nous voyons 
que rintégrale Jf{x)dx tend vers une limite finie, qui sera égale à Jf{x)dXy 

B a 

et l'on a bien: 

Qb b 

f f{x)dx<]im, mf.ff„{x)dx. 



a 



Si pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de a;, fn{x) n'a pas de 
limite ou a une limite infinie, il n'y a rien à changer à ce qui précède. 
On peut se rendre compte sur des exemples, que Ton peut avoir 

h b 

ff{x)dx <]im.mf.f f^{x)dx. 

a a 

Je dois cette remarque à M. Lebesguk. 
Ceci dit, revenons à l'intégrale de Poisson 



P{r,â) = ~fH/{u)du 



— TT 



et considérons la fonction positive f{u) comme limite de la fonction bornée 
sommable /*„(«*), égale à f{u) dans l'ensemble ^„[/'(w)^y et égale à 
zéro dans l'ensemble complémentaire. On aura: 



•l-jr 4»r 



^-(^' ^) = À / ^^fn{u)du<^ f HJ{u)du = P[r, û). 



2n J *'"N / 2n 



Mais /n(i*) étant bornée, on aura sauf pour un ensemble F^ de mesure 

nulle : 

UmPJr,^) = /;{<?) 

d'où: 

Um.inf.P(r,^)>/,(ö). 

r-l 

Mais on a f^{d)=^f{d) pour tous les points de l'ensemble E^. Or l'en- 



Séries trigonom étriqués et sénés de Taylor. 377 

semble des points communs à tous les ensembles C{E^) a une mesure nulle; 
il en est de même de l'ensemble {F^ + F^ + . . . + F^+ . . .), On aura donc: 

lim.inf.P(r,^)>/-(ö) 

r-l 

sauf dans un ensemble de mesure nulle; et par suite 

(9) m>m 

dans l'ensemble des points oîi P{Tyd) a, pour r= i, une limite: f{d). 
Mais d'après le lemme que nous venons de démontrer: on a 

lim. inf. / P{r, d)d0> f f,{d)dd 



— K —n 



et comme on a toujours: 



/ P{r, d)dd = 27ra, = / f{0)dû 



on en conclut: 

(lo) ffÅO)de< f mdd 

— r — ÏT 

et par suite, en vertu de l'inégaUté (9): 



f if^-f)dâ = o 



—n 



la fonction int^ée étant constamment positive ou nulle (dans l'ensemble 
complémentaire d'un ensemble de mesure nulle), on conclut de là facilement 

f^{0) = m (en général). 
Car chacun des ensembles E ( < f, — f<-] aura une mesure nulle et 

Vît + I =^'* n/ 

il en sera de même de la somme de tous ces ensembles. 

En résumé, si f{u) est une fonction non bornée, positive, dont le carré 
est sommable, et si l'on considère l'intégrale de Poisson: 

2;r 
on a en général: ]im P{r ^ 0) = f{d). 

Acta mathematiea. 30. Imprimé le 8 décembre 1906. 48 



P{r,â)=^ f Hf{u)du 



—n 



378 P. Fatou. 

Du cas de f{u) > o, on passe facilement au cas de f{u) < o, et aussi 
au cas de f{u) bornée supérieurement ou inférieurement. 

Si maintenant f{u) n'est bornée ni supérieurement ni inférieurement 
on peut la regarder successivement comme limite des fonctions bornées 
supérieurement, puis comme limite de fonctions bornées inférieurement et 
définies toujours de la façon suivante: ayant choisi des nombres ^1,^1, ..., 
Z», ... échelonnés de o à + co, on posera: 

1° f^{u)=f{u) dans l'ensemble E^[f{u)<l^] et /;(w)=o, partout ailleurs; 

— ir 

2^) fl{ti) = f{u) dans Tensemble El[f{u)> — Q, et fl{u)-=o partout 
ailleurs ; 

On aura alors les inégalités: 



^-(*'''^)==i / S,n{u)du>P{r,â). 



lim. inf. P{7' , 6) > lim. sup. P^ (r , â)y 
lim. sup. P{r , â) < lim. inf. P^^\r , â). 

rml r-1 

En appliquant des raisonnements déjà employés, on en déduira facilement: 

\imP{r,â) = f{â) 

sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. ^ 

Ceci va nous permettre de compléter ce que nous avons dit au sujet 
de la formule de Parseval, dans le cas où Ton considère une fonction 
non bornée dont le carré est sommable. Nous avons démontré que Ton a: 

l f r{u)du>2al+T{al-{-bl). 



— JT 



Mais d'autre part puisque Ton a, en général, 

limP(r,<?) = r(ö) 



r«l 



* Indiquons encore brièvement une déduction facile de la méthode employée dans 
le texte: toute fonction harmonique régulière et limitée inférieurement dans G est la somme 
(Tune intégrale de Poisson et d^une fonction harmonique qui reste positive dans C et qui 
prend la valeur zéro sur 0, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 379 

on en déduit en appliquant le lemme établi plus haut: 



lim / P\r,â)d0> f f\u)du, 



— K —IT 

c'est-à-dire: 



4.» 



— ir 

On a donc, dans tous le cas, quand f{u) est une fonction dont le carré 
est sommable: 

l f f\u)du = 2a\ + hal + h\). 



— ir 



a^yb^ étant les constantes d'EuLER-FouRiER attachées à /"(w). Soient main- 
tenant deux fonctions périodiques dont le carré soit sommable: f[u) et 
g[u). On voit aisément que {f(u) + ÇW)^ ©st aussi sommable, et qu'il 
en est de même de {f(u) — ^(w))'. Appliquant l'égalité précédente à f+ 9 
6* f~ ^ > comme le fait M. Hurwitz dans le mémoire déjà cité, on obtient 
par soustraction: 

-f-ÏT flO 

\ f f{u)g{u)du = 2c,c, + r (o,c, + b^d,) 



— K 



les c^jd^ étant les coefficients de la série de Fourier de g{u)^ 

4. Les méthodes précédentes conduisent également à un résultat in- 
téressant relatif à la convergence des séries trigonométriques données par 
la loi de leurs coefficients et dont voici l'énoncé: Si na^ et n\ tendent vers 

zéro avec -, l'ensemble des points de divergence de la série: 

s (a, cos nd + ô„ sin nd) 

est de mesure nulle, 

H y aura donc des points de convergence dans tout intervalle. Con- 
sidérons en effet la fonction harmonique: 

F(r , d) = a^ + [a^ cosö -f \ sinö)r + • • • + (a,cosn^ -f 6„sinw^)r" + 

^ Voici une conséquence de la formule de Parseval : soient a^ , b^ les constantes 
de Fourier de /"(m); si la série '^n{a\ + 6J) est convergente, f{p,) est développable 
en série de Fourier sauf peut-ôtre pour un ensemble de mesure nulle de valeurs de n\ 
pratiquement cette proposition ne parait pas bien utile. 



380 P. Fatou. 



Il est clair que la série S {al + ôj), est convergente puisque ses termes 

sont à partir d'un certain rang inférieurs à -^ . Il resuite alors de l'égalité 
de Parseval que l'intégrale: 



■k-re 



f P\r,d)de 



— jr 



reste bornée, quel que soit le nombre r< i. Il en sera de même de: 

f\P(r,e)\de. 

Intégrons terme à terme la série qui représente P{f' , 6) (il est un peu plus 
commode de supposer a^ = o, pour que l'intégration n'introduise pas de 
terme apériodique). Nous obtenons ainsi: 



CO 

U{r ,â) = ^ (^;- sin nd — J^ cos w^V" 



et comme — et — sont plus petits à partir d'un certain rang que -^, la 

série du second membre est absolument et uniformément convergente pour 
toutes les valeurs de Ö, et pour toutes les valeurs de r comprises entre o 
et I. Elle est donc continue à l'intérieur du cercle de rayon un et sur 
le cercle, et l'on peut mettre U sous la forme 

U{r,0)=- / lzzl—^.^glu)du, 

^ ' ' 2ff / I— 2rco8(M — ^) + r**^ ' ' 



— jr 



g{ti) étant une fonction continue périodique. 

Je dis en outre que g{u) est à variation bornée entre — tt et + ;r. 
En effet soient ^| , ^, , . . . , ^p des valeurs croissantes de l'argument; la 
somme: 

différera aussi peu que Ton veut, en prenant r suffisamment voisin de i, 
de la suivante: 

I U{r; <?,)_ U{r,d,)\ + I U{r, 6,)- U{r , â,)\ + ... 

+ \U{r,â,.,)-U{r,â,)\ 



Séries trigonométriquofl et séries de Taylor. 381 

laquelle est inférieure à: j\P{ryff)\dd^ puisque pour r<i, la fonction 
Z7(r, 0) admet comme dérivée par rapport à Ö, la fonction continue P[r ^ 0). 
Or nous savons que J \ P{r ^ â)\dâ reste bornée quand r tend vers i ; la 



— K 



fonction g{u) est donc à variation totale bornée, donc, en vertu d'un 
théorème dû à M. Lebesgüe/ elle admet une dérivée finie pour un en- 
semble de valeurs de u dont le complémentaire est de mesure nulle. Or, 
si en un point u^ la fonction continue g{u) admet une dérivée g'{u^)j nous 
savons que la fonction harmonique: 

Pir,e) = ^Uir,d) 

tend vers une valeur bien déterminée quand le point (r , 0) tend vers le 
point (i , w^) suivant un chemin non tangent à la circonférence. 

Pour en déduire la convergence de la série en ce point, il suffit 
d'avoir recours à la proposition suivante, qui est un cas particulier d'une 
proposition plus générale due à M. Fringsheim : '^ 

»Si la série 

^{^') =-c^+c^x+ ,.. + c^x" + . . . 

est convergente pour a; < i , et si en outre nc^ tend vers zéro avec - , il 

faut et il suffit pour que la série soit convergente pour 05=1, que la 
valeur de la série tende vers une limite finie quand x tend vers i, par 
valeurs réelles plus petites que i.» 

Autrement dit le second théorèmei d'AsEL a ici une réciproque. 

Voici comme on peut démontrer ce résultat. Si à partir d'un certain 

rang p, on a 

n\c^\<s, 

le reste de la série correspondant au terme de rang u sera plus petit en 
module que: 



y I — z y(l — x) 



' Leçons sur VitUégration et les fonctions primitives (page 1 28). 
* Ober das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Konvergenzkreise (Münchner Be 
richte, 38). 



382 P. Fatou. 

Donnons à o; la valeur i . Les termes qui viennent après le y**™* auront 

une somme inférieure à e^, et la somme de ceux qui précèdent: 



c«+c,(i— ^)+ ... +c,(i— i)' 



peut se mettre sous la forme 

^, , fj, , . . . désignant des nombres compris entre zéro et un. Le terme 
écrit dans la seconde parenthèse peut s'écrire: 



â 



d étant un nombre dont le module est plus petit que un. Or le produit 
uc^ tendant vers zéro avec -, il en est de même de sa valeur moyenne, 

de sorte que, pour que fpf i j ait une limite, il est nécessaire que 

ait la même limite, ce qui établit la proposition.^ 

Soit donc 6 une valeur de l'argument pour laquelle g{â) admet une 
dérivée g'{0). Nous aurons: 

lim [(äj cos ö + 6j sin ö)r + • . . + (û^» cos nO + K ^^^ ^^)^* + •••]= ff'{^) 

donc en vertu du théorème de M. Pringsheim, la série 

(aj cos ö + ^1 sin ö) + . . . + (a, cos nd + 6„ sin nä) + . . . 
est convergente. C. Q. P. D, 

Faisons quelques remarques au sujet de ce critère de convergence. 
D'abord il est clair que la convergence d'une série trigonométrique, en 
tout point, ne saurait résulter d'une condition de la forme: 

]im ff{n)a^ = o, limfp(w)ô^ = o 



^ Nous avons pour plus de commodité donné à x une suite dénombrable de valeurs 
de la forme l ; il est facile de voir que cette restriction est insignifiante. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 383 

si la fonction positive ^{n) est telle que la série ^ — -^ soit divergente, 

ce qui a lieu pour f}{n) = n, H est d ailleurs possible de former des séries 
trigonométriques pour lesquelles na^ et w6„ tendent vers zéro et qui ont 
une infinité dénombrable de points de divergence; tout au plus pourrait-on, 
peut-être, dans notre énoncé, remplacer les mots: ensemble de mesure 
nulle, par ensemble dénombrable. 

En outre la convergence des séries trigonométriques semble dépendre 
beaucoup moins de la rapidité de la décroissance des coefficients, que de 
la régularité avec laquelle ils tendent vers zéro; je ne pense donc que Ton 
puisse donner de critères de convergence de même nature que celui que 
nous venons de donner et qui soit beaucoup plus compréhensif . Ce critère 
s'applique d'ailleurs à toutes les séries trigonométriques obtenues en inté- 
grant terme à terme une série trigonométrique dont les coefficients tendent 
vers zéro. Voici une conséquence de cette remarque; nous savons que les 
coefficients d'une série de Fourier tendent toujours vers zéro; en outre, 
M. Lebesgue, dans son mémoire déjà cité,' a montré, en généralisant un 
théorème de Du Bois-Eeymond, ^ qu'une telle série est intégrable terme à 
terme c'est-à-dire que si 

a^ + («i cos ^ -f 6j sin ^) + . . . + (a„ sin nû + ô« sin n^) + • • • 
est la série de Fouribe correspondant à f{6)j on a 

d 

J f[0)dd = a^[d — a) + ^ -(a^sinr?^ — \QO%nd — a^sinTia + è^cosTia). 



a 



Mais puisque la série S\ - (a« sin n$ — 6. cos nff) a des points de convergence 

dans tout intervalle, on peut supposer que = a soit un tel point et écrire 
simplement: 

â 
ff{û)dâ = «0^ + ^ + S ^ («« si^ ^^ — *« <^os ^2^) ; 

a 

par suite la série ^^ - {a^ sin nâ — 6„ cos nd) est toujours convergente, et 



' Voir aussi Tarticle déjà cité de M. A. HuRWir/. 



384 P. Fatou. 

c'est à une constante près, la série de Fourier de la fonction continue, 
périodique, à variation bornée: 

/ +r 



HO) = f[ne)-a,]dâ (a,= fnâJdâV 



Elle est donc uniformément convergente. 

Nous pouvons donc simplifier un peu le résultat précité de M. Le- 
bbsgue: il est inutile en effet quand on intègre terme à terme une série 
de Fourier, de retrancher une constante de l'intégrale indéfinie de chaque 
terme, pour assurer la convergence de la série obtenue. 

Faisons encore remarquer que si Ton part d'une série trigonométrique 
pour laquelle ^{al + K) ^st convergente (et alors en l'intégrant une fois on 
obtient une série trigonométrique uniformément convergente entre o et 2;r) 
on peut affirmer que la fonction harmonique associée à la série proposée: 

P[r, d) = 2: (a. cos w^ + 6„sin72^)r" 

• 

se comporte, au point de vue de l'indétermination sur le cercle de con- 
vergence, comme les fonctions bornées. C'est ce qui résulte de la dé* 
monstration précédente. On peut même ajouter que, sauf aux points d'un 
ensemble de mesure nuUe, la série 

5^ (a^ cos nd + K sin wtf ) 

est sommable par le procédé de la moyenne arithmétique, ainsi que le 
prouve l'extension qu'a donné M. Fejer lui-même de son théorème, aux 
fonctions dérivées.^ 

Par exemple si l'on a: 

^- + *- < ^log^^Tl^n .TTô^r^ÔH^ (^ ^ ^) 

on se trouve en présence d'une série trigonométrique qui est sommable 
par ce procédé. 



' Il résulte en effet des recherches de M. Fejer, que la fonction dérivée d*ane 
fonction continue f{u) dans Tensemble des points où elle existe, est représentable par 
la série dérivée de la série de Fourier de /'(t^), sommée par une double application 
de la moyenne arithmétique. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 385 

Nous avons vu que si lim na^ = o, lim nb„ = o, la série : 
(I) f{â) = «0 + (^1 ^^s + b^ Bind) + ... + (a^ cos nâ + b^ sin nd) + . . . 
est convergente pour toutes les valeurs de â pour lesquelles la fonction: 

a- sin n0 — 6- cos nff 



(II) û{ff) = «.<? + £ 



n 



admet une dérivée ff'{â)y et a précisément pour somme ff'{0). 

Nous pouvons démontrer que réciproquement, si la série (I) est con- 
vergente elle est égale à la dérivée de la série (II). 

Pour cela il suffit de modifier légèrement * la méthode qu emploie Rie- 
MANN ^ pour démontrer ses deux premières propositions générales sur la 
représentation d'une fonction par une série trigonométrique. 

On a d'abord, en vertu du théorème 2 de Riemann: 

lim -'^^ "^ ''\±1^"-- '") -Zl^ = o. 

Il suffit donc de démontrer que si la série (I) converge et a pour somme 
f{6)y on a: 

lirt,'Sl+-^^l^ll^"---^ = f{0). 

Or, si Ton pose: 

A^ = a^ cos nâ + ô„ sin nO 



on trouve: 



2« 



=A + ^,(-T)+-+^.C-ï-)+- 



Soit s le plus grand entier inférieur à - . Considérons la série 



jr=l ^ ^ 



On aura 

6 étant un nombre positif arbitrairement petit, pour n>p 



* Über die Darstellbarkeit einer Fwiction durch eine trigonometrische Reihe (§ 8, 
théorèmes I et 2). 

Acta mathématiea. 80. Imprimé le 8 décembre 1906. 49 



386 P. Fatou. 

Si done s est supérieur à ^, on aura 



•0 00 

V^ J /sin "«\ e v^ I e e s , , . 

it-^ \ na / a ^^^ n sa tt — a 2 ' 



Considérons ensuite les deux sommes: 

«+1 



1 ^ ' P+1 ^ 



siD na 



p+- 



jp restant fixe, la première a pour limite quand a tend vers zéro: 

Quant à la seconde, on en a facilement une limite supérieure en appliquant 
le lemme d*ABEL; en effet ntx restant compris entre o et ;r, va en 

na 
décroissant quand n augmente et reste positif et inférieur à i ; la série 

A^ Ar A^ 4" • • • + ^n 4" • • • 

étant supposée convergente, on peut supposer que 'p ait été choisi assez 
grand pour que: 

-^p+i "H -^/>+« + • • • + -^p+ç 

soit plus petit en module que e, quel que soit Tentier g. Cette seconde 
partie sera alors inférieure à £. On aura donc: 

2a ^ ' 



a 



d'où Ton conclut: 



lim ^^^--^-(^) = An 



Le théorème est démontré: 

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la série 

5^ (a„ cos nd + K sin ^^), 

oil na„ et nh„ tendent vers zéro avec - soit convergente pour une valeur dé- 



Série» trigonométriques et séries do Taylor. 387 

term, fiée de 6, est que la fonction g {6) obtenue en intégrant terme à terme 
la série proposée ait une dérivée g'{â), qui est alors égale à la somme de 
la série donnée. 

En particulier, si 2^ {a„ cos nO + b^ sin nâ) est convergente en tous les 
points d un intervalle, elle y représente une fonction dérivée c'est-à-dire 
une fonction qui ne peut passer d'une valeur à une autre sans prendre 
toutes les valeurs intermédiaires. 

5. En combinant, comme nous Tavons fait plus haut, les résultats 
connus concernant l'intégrale de Poisson, avec le théorème de M. Prings- 
HKIM, on peut aussi retrouver certains résultats classiques concernant la 
série de Foukier. En effet, si on considère l'intégrale de Poisson relative 
à une fonction continue f{d) et supposée mise sous la forme 

P{r , Ö) = Z (a„ cos nâ + 6„ sin ?î^) r" 

on sait que P(r , 0) tend uniformément vers f{â) quand r tend vers un; 

si donc on a: 

lim na^ = o, lim nb^ = o 

on en déduira la convergence uniforme vers f{d), de la série de Fourier 
J^ia^cosnâ -}- besinna). Si en particulier f{â) admet une dérivée bornée 
r{d)f on peut appliquer l'intégration par parties dans les formules: 

a, = — C ne) cos ne de , b„= ^ f ne) sin »ede 

ce qui donne: 

ij wa„ =—^J f'[d) sin nddd, ^n = ^ / ^'(^) ^^^ nddd\ 

or ces dernières intégrales tendent vers zéro avec - . 

Nous voyons en outre que la fonction harmonique conjuguée 

Q{r,d) = Y. («n sin nd — b^ cos wöjr" 



* Lebesgue, Mémoire sur les séries trigonométriqiieSy page 471, ou ce mémoire 
page 351. 



388 P. Fatoii. 

tendra aussi uniformément vers une limite quand r tendra vers i, d'après 
ce qu'on a vu dans le premier chapitre. Par suite la série 

2r (^n sin y^O — ô„ cos n6) 

sera, dans les mêmes conditions, uniformément convergente. 

Il ny a rien à changer si f(0) est à nombres dérivées bornés.' 

6. Nous allons maintenant montrer comment Ton peut rattacher le 
second théorème d'ABEL sur les séries entières au théorème de Riemann 
sur les séries trigonométriques (théorème i, § 8 du mémoire de Riemann). 
Considérons la série trigonométrique 5^(a«cosw^ + 6«sin?î^), où a„ et 6„ 

tendent vers zéro avec - et qu'on suppose convergente pour une certaine 

valeur de ^, et égale à f{d). Si Ton pose avec Kiemann: 

* A 

P(ß\ = V" — {^^ suppose «0=0 pour simplifier) 



OD a: 



^^Fip^a)^Vip--.)-2m ^ ^(^) 



a=0 « 



Si Î7(r, G) désigne la fonction harmonique associée à F{ß)\ 



U{r,â)=— f '7''\ . , F{u)du, 

^ ' '^ 27Ü J I — 2r COS (u — ff) + r^ ^ ^ ' 



— «• 



et P{r , d) la fonction harmonique associée à la série proposée, on a 



^ Au sujet de la convergence uniforme des séries de Fourier, on trouvera des 
propositions intéressantes dans le livre récemment paru de M. Lebesgue, Leçons sur les 
séries trigonométriques ^ (Paris, Gauthier- Villars, 1906). 



Séries tri^onométriques et séries de Taylor. 389 

De ces diverses égalités, on déduit, en vertu d'une étude qui a été faite 
dans la première partie: 

limP{r,â) = f{â), 

ce qui est précisément le théorème d'ABEL. 

Mais nous pouvons aller plus loin: supposons que la série proposée 
soit convergente en tous les points d'un intervalle I; on a alors lirna^ = o, 
lim&„ = o d'après un théorème de Cantok. En outre la série aura des 
points de continuité formant un ensemble dense dans I, d'après le théorème 
de M. B AIRE, soit â^ un tel point. Il résulte alors de ce que nous avons 
établi dans la première partie, que l'on aura: 

lim P{r,0) = f{0J 

quand le point {r ^ 6) se rapproche indéfiniment du point (i , ^o) suivant 
un chemin quelconque tangent ou non à la circonférence. 

Ainsi, si une série de Taylor [ou la partie réelle d'une série de Taylor) 
est convergente en tous les points d'un arc S du cercle de corweryence il 
existe dans tout intervalle de 8, des points où la série prend u'ne valeur 
bien déterminée suivant tous les cJiemins qui y aboutissent. 

7. Ceci nous amène à parler des conditions de convergence d'une 
série de Taylor sur son cercle de convergence. Nous avons obtenu à ce 
sujet une proposition qui paraît devoir être utile et dont voici l'énoncé: 

Si la série de Taylor 

a un rayon de convergence égal à V unité et si c^ tend t^ers zéro avec -, la 

série est convergente en tout point régulier de son cercle de convergence. 
Ce théorème se déduit facilement d'un théorème de Riemann (§ 9, théo- 
rème III, du mémoire cité), et dont voici l'énoncé (en conservant les nota- 
tions du paragraphe précédent): 

«La condition nécessaire et suflFisant-e pour que la série: 

A^ -[- A^ -{-... -\- A^ f- . . . 




890 P. Fatou. 

soit convergente pour une valeur 6 de l'argument est que l'intégrale 



sin 

2 



tende vers une limite finie quand n augmente indéfiniment, en désignant 
par ft et c deux nombres quelconques comprenant la valeur 6, ei p{t) une 
fonction indéterminée de t assujettie aux conditions suivantes: p{t) ei p[t) 
ont la valeur zéro pour t = b, t = c et sont continues entre ces limites; 
/>"(<) n*a qu'un nombre fini de maxima et de minima; en outre pour 
t = 6, on 2L p{t)= I, p'{t) = o, p"{t) = o et p"\t\ p'\t) sont finies et 
continues. y> ^ 

Il en résulte, comme le fait remarquer Riemann que la convergence 
de la série en un point 6^ ne dépend que des propriétés de la fonction 
Fit) dans un intervalle (ft,c) aussi petit qu'on le veut entourant ce point. 

Supposons en particulier que dans (ft,c), F{t) admette des dérivées 
bornées et continues d'ordre aussi élevé que nous voudrons. Nous pour- 
rons alors transformer l'intégrale précédente au moyen d'intégrations par 
parties. En posant: 



• 2n + I 
sin {o — t) 



M = 



. {H-t) 

am — — 
2 



et tenant compte des conditions imposées à p{t), nous aurons ainsi: 



/^cvwt;"'"--/''"!»)'« 



- P" (F/,' +pF)<lt ^f{Fp" + 2p't~+fiF")Mdt 



* Nous reproduisons ici l'énoncé de Riemann; parmi les conditions énoncées par 
lui relativement à la fonction />(/), il y en a qui sont superflues. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 801 

Or la fonction de t: Fp" + 2yo'F' + pF'\ est une fonction, intégrable et 
bornée qui pour t^= 6 prend la valeur F"{d)^ et admet une dérivée finie. 
Il résulte alors des études classiques sur l'intégrale de Dirichlet, que 
l'intégrale considérée tend vers une limite finie: F"{0)j quand n augmente 
indéfiniment et que lA^ est convergente au point considéré. 
Cela étant, si dans 

(I) î^ (a) = ^iJ + ^yj' + . . . + ^„ i" + • . (on suppose encore c^ = 6) 

on pose j = e*^, on obtient, en séparant le réel de l'imaginaire, deux séries 
trigonométriques, et les fonctions de Riemann F{d) ^ F^(d) correspondantes, 
s'obtieiment en posant j = e*^, dans la série : 

(II) ^(j) = _';i|_üii:_..._^^_.... 

qui est absolument convergente sur son cercle de convergence. 

Or les fonctions (I) et (II) ont les mêmes singularités, comme il ré- 
sulte, par exemple, de l'expression de ^(j) au moyen de fp(j) à laide de 
quadratures. Si donc en un point d'argument 6 du cercle de convergence, 
la fonction (I) est régulière, il en sera de même de la fonction (II) et par 
suite F{t) , F^ [t) seront anal>i;iques, dans un intervalle fini [h , c) com- 
prenant le point 6] elles y auront donc des dérivées bornées d'ordre aussi 
élevé qu'on le voudra. Par suite, d'après ce qu'on vient de voir, la série 

sera convergente. 

Si l'on suppose maintenant, non plus que les coefficients tendent vers 
zéro, mais qu'ils restent finis, il résulte du raisonnement de Biemann que 
la différence entre -4^ + -^i + • • + -4„ et l'intégrale considérée par lui 
reste bornée quand n croît indéfiniment; il en résulte qu'en tout point ré- 
gulier du cercle de convergence, la série doit osciller entre des limites finies. 

Ces théorèmes permettent dans un grand nombre de cas de mettre en 
évidence certains points singuliers d'une série de Taylor sur son cercle 
de convergence; on peut d'ailleurs en augmenter le champ d'application 
en utilisant le principe de multiplication des singularités de M. Hadamard: 
si en multipliant les coefficients de la série donnée par ceux d'une série 
connue admettant par exemple le point z= i comme point singulier unique, 



392 P. Fatou. 

on obtient une nouvelle série dont les coefficients tendent vers zéro, sans 
former une série absolument convergente, tous les points de divergence 
que Ton pourra mettre en évidence sur le cercle de convergence, seront 
des points singuliers pour la série proposée. 

Eoœmples. I. Considérons la série suivante, étudiée par M. Hada- 
mard dans sa thèse: ^ 

i:sin(logw)}». 

Je dis que le point J = i est un point singulier. Il suffit de remarquer 
que si l'on donne à n les valeurs entières comprises entre: 



g2*7r+a g^ J2kir—a 



(o<«<^) 



on obtient, dans la série 2^ sin (log w), une suite de termes consécutifs 

supérieurs à sin a , et dont le nombre croît indéfiniment avec A; ; il en résulte 
que la somme de cette série n'oscille pas entre des limites finies, et par 
suite le point j = i est singulier (c'est d'ailleurs le seul point singulier, 
comme il résulte de l'expression de la fonction au moyen d'une intégrale 
définie). 

II. Considérons la série: 2'/£(w)j", où fi{n) désigne la fonction arith- 
métique égale à zéro, quand n contient des diviseurs carrés, et dans les 
autres cas à ( — i)*, h étant le nombre des facteurs premiers de w. Je 
dis que le point j = i est singulier. En effet /i(i) + /i(2) -f . . . + /i{n) 
n'oscille pas entre des limites finies, car s'il en était ainsi la série de Di- 

RICHLBT : 

V ^' ^(«) 

serait uniformément convergente pour les valeurs de s dont la partie réelle 
serait supérieure à un nombre positif quelconque, on en déduirait que la 
fonction C{s) n'a pas de zéro imaginaire; or elle en a une infinité. 

H est inutile de multiplier ces exemples: tant qu'il ne s'agit que de 
démontrer la divergence en un point, c'est à dire la divergence d'une série 



* Essai sur les fonctions données par leur développement de Taylor (Journal de 
mathématiques pures et appliques, 4® série, tome 8, p. 163). 



Séries trigonométriqnes et séries de Taylor. ^93 

purement numérique, il n'y a aucune règle générale à donner. Ce qui est 
plus intéressant c'est de donner des exemples de séries trigonométriques, 
dont les coefficients tendent vers zéro et qui aient des points de divergence 
dans tout intervalle: on aura, en même temps, une série de Taylor ad- 
mettant son cercle de convergence comme coupure. Nous parlerons un peu 
de cette question à la fin de ce mémoire. 

8. Pour terminer cette deuxième partie, nous allons montrer que Von 
peut trouver des fonctions analytiques U7iif ormes ayant pour singularité unique 
une coupure fermée^ par exemple un cercle et possédaîit tme infinité non dé- 
nombrable de zéros sur la coupure.^ En effet construisons comme il a été 
expliqué dans la première partie une fonction harmonique restant positive 
dans C, régulière dans ce cercle, et prenant la valeur + co aux points 
d'un ensemble parfait de mesure nulle jB, de la circonférence. On peut 
supposer que dans tout intervalle intérieur à l'un des intervalles contigus 
à £ la fonction f{u) (page 344) admette une dérivée bornée, sans être 
analytique. Dans ces conditions la fonction harmonique Q{r , 6) conjuguée 
de la fonction harmonique considérée P{r^O), prendra des valeurs bien 
déterminées sur le cercle, sauf aux points de E, La fonction analytique 
^(j) = P 4 iQ, est donc régulière dans C, n'y devient jamais nulle, puis- 
que P reste positif, et prend une valeur infinie aux points de ^. Si 

donc on considère la fonction -j-r elle sera holomorphe à l'intérieur du 

cercle qu'elle admettra comme coupure, prendra sur le cercle une suite de 
valeurs bien déterminées et continues et en particulier la valeur zéro en 
tous les points de l'ensemble non dénombrable E, 

Il serait d'ailleurs facile d'obtenir une fonction prenant la valeur zéro 
en tous les points d'un ensemble non dénombrable et partout dense sur 
une coupure; il suffira d'appliquer à l'exemple précédent le principe de 
condensation des singularités; considérons une infinité dénombrable d'en- 
sembles analogues à E: ^, , JBj , . . . , jB„ , . . . , de telle sorte que l'ensemble 
E^ + E^ + ,.,-{• E^-\- .. , soit partout dense et construisons les fonc- 
tions hariiioniques positives P^ , Pj > • • • > -P» > • • • correspondantes ; choisissons 



' Od trouvera d'intéressantes remarques au sujet de cette question dans la thèse 
de M** ZoRETTi: Sur le.s fondions analytiques uniformes etc., (Journal de mathéma- 
tiques, 1900). 

Acta matfumatiea. 30. Imprimé le 8 décembre 1906. 50 



394 P. Patou. 

ensuite les constantes positives ^o » ^i > ^2 » • • • ^® t^^Q sorte que la série 
c^P^ + CjPj + . . . + c„P„ + • • • soit convergente pour le centre du cercle; 
elle représentera alors une fonction harmonique régulière dans C et devenant 
infinie en tous les points de Tensemble {E^ + ^2 + • • • + ^n + • • •)• ^^ 
raisonnant comme plus haut, on obtiendra une fonction uniforme définie 
dans C et prenant la valeur zéro en tous les points de Tensemble considéré. 
La forme de la coupure ne joue ici aucun rôle essentiel. Les inté- 
grales définies étudiées par Hkrmite et Stieltjes, par exemple la suivante: 



j 






permettraient d'obtenir des fonctions jouissant des mêmes propriétés, la 
coupure étant cette fois une demi-droite, ou un segment de droite. 

Mais l'ensemble des zéros que Ton obtient ainsi est toujours de mesure 
nulle et il est aisé de voir que la méthode que nous avons employée ne 
permet pas d'aller plus loin; à vrai dire il est probable qu'une fonction 
uniforme ne peut prendre la valeur zéro qu'en un ensemble de mesure 
nulle de points d'une coupure isolée, mais il paraît bien difficile de donner 
de ce fait une démonstration générale. On pourrait même se demander 
s'il ne serait pas possible d'obtenir une fonction analytique définie par 
exemple par une série de Taylor à rayon de convergence fini, et non 
continuable, qui prenne la valeur zéro en tous les points du cercle de con- 
vergence suivant les rayons qui y aboutissent. Nous pouvons seulement 
affirmer que si une telle fonction existe elle n'est pas bornée à l'intérieur 
d,u cercle et même qu'elle peut s'approcher autant que l'on veut de toute 
valeur donnée à l'avance. 

D'une façon un peu plus précise supposons que la série de Taylor 
f{l) converge à l'intérieur du cercle C de rayon un, et y reste bornée; 
je dis que si f{i) n'est pas identiquement nulle, l'ensemble des valeurs de 
6 pour lesquelles f{re^'^) ne tend pas vers zéro, r tendant vers un, est de 
mesure noii nulle dans tout intervalle. En effet, si l'on avait 

lim f{ré') = o, pour â^<â<â^+a 

r-l 

à un ensemble de mesure nulle près, en choisissant un entier n tel que 
n'x> 2r, on en déduirait que la fonction 



^ 



s 

\ 

i 



Séries trigoDométriques et séries de Taylor. 895 

^(î) = r(î)A.Î'^'''')Aîe'").../-(jO 

prendrait la valeur zéro en tous les points de la circonférence, suivant les 
rayons, sauf peut être aux points d'un ensemble de mesure nulle. -F(j) 
étant bornée à l'intérieur de C, il s'ensuit que F{i) et par suite /"(j) 
doivent être identiquement nulles. 

Il existe donc dans tout intervalle, sur la circonférence, des points 
où /'(j) prend, suivant les chemins non tangents, une valeur déterminée, 
différente de zéro ou d'une constante donnée A, ou même de p constantes 
données arbitrairement, comme on le voit, en considérant le produit: 

Tja même propriété a lieu pour une fonction qui devient bornée par une 
transformation homographique. 

Signalons également la proposition suivante, qui découle aisément de 
ce qui a été dit au § 6: 

Si la série I!{a„ + êô„)e"'^ est coïwei'ffente et a pour somme zéro dans 
un intervalle aussi petit qu'on le veut, tous les coefficients a^ et 6„ sont nuls. 



Note. 

Nous allons donner maintenant quelques indications sur le rôle que 
peut jouer la question de Tapproximation des nombres incommensurables 
dans rétude de certaines particularités que peuvent présenter les séries 
trigonométriques. 

Soit X un nombre incommensurable, ?i ç, . . .(jfn • • • ^^^ suite d'entiers 
positifs croissants et considérons les valeurs approchées par excès et par 

défaut de a; à — , , . . . , près. Je dis que si Von a constamment 

(jr„+,>2(jr^ les valeurs par excès ne croissent pas et les valeurs par défaut 

ne décroissent pas. En effet le segment r- ^ ^-- ) a pour longueur 

12. 

— > ; il en résulte qu'il renferme en général au moins deux points 



396 P. Fatou.« 

dont les abscisses sont de la forme . Si donc ~ est la valeur approchée 

2«+i 2« ^ 

de 0? à — près par défaut, on aura: 

Vn^Pj^ ^^ ^ i^n-H -1- I ^ Pi. + I 

(Dans le cas où g^^^.i = 2q„, Tune des deux inégalités extrêmes pourrait 
devenir une égalité.) 

Supposons maintenant que Ton ait: 



în+l 



>k> 2 



2« 

je dis que Ton pourra trouver dans tout intervalle des nombres x en in- 
finité non dénombrable, tels que Ton ait à partir d'une certaine valeur de 7i: 

f désignant un nombre positif fixe et (g^„a;) la valeur absolue de la diffé- 
rence entre q^x et Tentier le plus voisin. 

En effet, pour i suffisamment grand l'intervalle (-* , -* j sera 

compris à l'intérieur d'un intervalle donné AB^ en choisissant^^ convenable- 
ment. Considérons maintenant l'intervalle (— - , ^^^ ) compris à l'in- 

Wt>i 2t+i / 

teneur de l'intervalle de rang i. 

S'il y a plusieurs intervalles de rang i -|- i entre lesquels nous avons 
le choix, nous prendrons celui qui comprend le milieu de l'intervalle de 
rang i. 

En continuant ainsi nous obtiendrons un nombre x défini par la suite 

de ses valeurs approchées à ...... près par défaut et par excès 

et que nous appelons a» , a^^i , . . . , a„ , . . . ; ßi^ ßi^i , . . . , yî^ , 



X 



• — ■ 



«Ä «n+l ßni-l ßn 

Or d'après la façon dont les a et ^ ont été choisis, l'un et l'autre des 
intervalles Oin^n+] y ßnßn\-\ sont plus grands que 



\2 kj o. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 397 

On aura par suite, puisque x est compris entre a^^i et ßn^i- 

ce qu'il fallait démontrer. 

Si maintenant le rapport ^^^ augmente indéfiniment avec n on verra 

aisément qu'il existe dans tout intervalle des nombres x tels que (ç„a;) 

tende vers telle limite que Ton voudra (comprise entre o et -). 

Nous déduisons de là une démonstration simple du théorème de Cantor 
d'après lequel une série trigonométrique dont les coefficients ne tendent 
pas vers zéro a des points de divergence dans tout intervalle. On voit 
aisément qu'il suffit de considérer une série de sinus: 

2'c„sin(w;rir). 

S'il existe en effet une infinité de valeurs de w. ?, »î, ,..,?«,.. . pour 
lesquelles \c^\ reste supérieur à un nombre positif a, on peut supposer, 
en négligeant au besoin certains des g^, que l'on ait constamment 

et comme on peut alors choisii* w, dans tout intervalle, de telle façon que 

sin ((jfi nx) reste supérieur en module à sin {jtf) ( o < /* < - j , les termes 

correspondants de la série ne tendent pas vers zéro et celle-ci est divergente. 
On obtient aussi très aisément les propositions suivantes que nous 
nous contentons d'énoncer. 

Considérons la série lA^ sin (a« a?) dans laquelle -^^ > ^• > 2 : si la 

a« 

série ^A^ n'est pas absolument convergente, cette série aura des points de 
divergence dans tout intervalle. 

Si rapidement croissantes que soient les constantes |.4,|,|^j|, ...,|J„|, ... 
on pourra toujours trouver des entiers a^ , a, , . . . , a^ , . . . croissant assez 

vite pour que la série lA^ ^^^ (a^ x) ait des points de convergence dans 



sin 
cos 

tout intervalle. 



On voit qu'il est facile de former des séries trigonométriques dont 
les coefficients tendent vers zéro et qui ont une infinité non dénombrable 



398 P. Fatou. 

et dense de points de divergence; d'ailleurs on ne détruira pas cette pro- 
priété en ajoutant à une telle série, une autre série partout convergente 
par exemple Sa^smnx^ où les «„ sont positifs, décroissants et tendent vers 
zéro — on déduira de là différentes séries de Taylor ayant leur cercle de 
convergence comme coupure. 

Indiquons maintenant le rôle que jouent dans l'étude de la con- 
vergence des séries trigonométriques les points de convergence absolue. 
Soit Xq un point de convergence absolue de la série 

f(^x) = Sa^ cos nx -{- b^smnx. 
On aura: 

/•(^o + A) + /"K - h) - 2f{x,) = -45^^; 



* 2 



en posant 

^n = ^n cos nXf^ -f- b„ sin nx^ . 

La série du second membre est donc absolument et uniformément con- 
vergente puisque la série ]L|^^| est convergente; elle représente donc une 
fonction continue de h. On en déduit que si la série est convergente, 
ou continue au point {x^ + Ä), elle est convergente ou continue au point 
{Xq — h) , c'est à dire que les points de continuité, de convergence, de 
divergence, de convergence absolue sont deux à deux symétriques par rapport 
aux points de convergence absolue. 

Si la série a deux points de convergence absolue dont la différence 
des arguments est incommensurable à tt, on en déduira l'existence de tels 
points dans tout intervalle. 

Voici dans le même ordre d'idées une question qui me paraît intéressante 
et dont je n'ai pu trouver de solution: considérons une série trigonométrique 
dont les coefficients tendent vers zéro; nous avons vu qu'elle peut avoir 
des points de divergence dans tout intervalle, mais l'ensemble des points 
pour lesquels nous pouvons démontrer la divergence, quand elle a lieu, 
est toujours de mesure nulle. Peut-on alors donner un exemple de série 
trigonométrique, à coefficients tendant vers zéro, et qui soit divergente pour 
toutes les valeurs de l'argument ou seulement pour un ensemble de mesure 
non nulle de valeurs de l'argument? H semble que cela puisse avoir lieu 
par exemple pour des séries présentant un grand nombre de lacunes, mais 
nous n'en avons aucune preuve rigoureuse. 



Séries trigonométriques et séries de Taylor. 399 

Nous allons encore, en terminant ces généralités sur la convergence 
des séries trigonométriques démontrer une proposition qui paraît avoir été 
jusqu'ici admise sans démonstration rigoureuse: si la série 

]Ea„ cos nx + K sin nx 

est absolument conve^^gente en tous les points d'un intervalle, les deux séries 
la^ et Il\ sont absolument convergentes. 

En effet s*il en est ainsi la série proposée sera absolument convergente 
pour toutes les valeurs de a; ; en faisant a; = o on obtient la série Sa^, qui 
doit être, d'après Thypothèse, absolument convergente. Ileste à démontrer 
que si la série Ib^ sin nx est absolument convergente pour toutes les valeurs 
de a;, la série 5^|6, | est convergente. 

Considérons la fonction 

OB 

^{x) = 5^|6„| 1 sin wo; 

qui a en chaque point une valeur finie; cette fonction, limite de fonctions 
continues, étant d'après le théorème de M. B aire ponctuellement discontinue, 
sera bornée dans certains intervalles t«ls que (a,/9j. Soit S„{x) la somme 
des 71 premiers termes de la série qui définit ^{x). On a: 

S,{x)<^{x), 

ß ß 

o < J S„[x)dx< J (f{x)dx (quantité finie), 
tt tt 

Or, on vérifie aisément que l'intégrale 

ß 
j\fCmnx\dx 

a 

a une valeur qui tend vers 2{ß — a) pour n infiniment grand, qui reste 
donc supérieure à un nombre positif fixe. 

Il résulte alors de la dernière inégalité que nous avons écrite que 
I ^i I + I ^3 1 + • • • + I Ö« I doit rester bornée quand n croît indéfiniment, 
c'est à dire que la série Sb^ est absolument convergente. 

Nous concluons de là que si les séries Sa^ , 2'6„ ne sont pas toutes 
les deux absolument convergentes, il y a dans tout intervalle des valeurs 
de X pour lesquelles la série ^\a^coHnx -\- b^^\ïinx\ est divergente. 



400 P. Fatou. 

Comme application, faisons voir que si Ton a une série trigonomé- 

trique : 

^0 + -^1 + • • + -4„ + . . . {A^ = a^ cos nx + bn sin nx) 

telle que lim a„ = o, lim ft« = o pour n infini, la série Y, y^^i + b\ étant 
divergente, on pourra toujours en changeant le signe de certains des -4», 
obtenir une nouvelle série qui ait des points de divergence dans tout 
intervalle. 

Soient en effet rCi , .r^ , • • . , ^p , . . une infinité dénombrable et partout 
dense d*arguments compris entre o et 2;r et telle qu'il y en ait une in- 
finité qui soient égaux à Tun quelconque d'entre eux. D'après ce qui 
précède je puis toujours supposer ces arguments tels que pour a;=a;j, rCj, ... 
la série 5^|^«| soit divergente. On peut alors déterminer une suite d'entiers 
croissants rx, , Wj , Wg , . . . tels que l'on ait: 

|A.+,(a:,)|+ + \A„Sx,)\>P 



P désignant un nombre positif quelconque; pour 

donnons à s„= ± i, le signe de A^{Xp), Dans ces conditions, la série: 

£qA^ -f- e,^, + • . . + ^n^H + • • • 

sera divergente pour x = x^ y x = x^ y Il en résulte (page 389) que 

la série de Taylor: 

aura son cercle de convergence pour coupure. 

Ainsi on peut toujours en multipliant par — i certains coefficients 
d'une série de Taylou obtenir une nouvelle série qui admette son cercle 
de convergence comme coupure, au moins lorsque les coefficients satisfont 
aux conditions énoncées au haut de cette page; il est infiniment probable 
que cela a lieu dans tous les cas. 



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Bilderzeugung durch zentrierte Kugelflächen im paraxialen Gebiete. Die Strahlen- 
begrenzung. Die Achromasie. Das Seideische Gebiet u. die Petzval-Bedingung. 
Bedingung für die Aberrationsfreiheit von Punktepaaren bei endlichem Strahlen- 
gange. Der Astigmatismus. Die natürliche Blende u. die Abbildung durch Fun- 
damentalstrahlen. Orthoskopie u. Helligkeit. Die symmetrischen Objektive. Geo- 
metrische Konstruktionen gebrochener Strahlen u. Strahlenbündel. Historische No- 
tizen u. Konstruktionsdaten einiger Objektive. Die Technik der Durchrechnung. 
— IX + 230 p. 8. M. 9—. 

Horn, J., Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. (Samml. 
Schubert L.) 

Existenz d. Lösungen einer gewöhnl. Diff.-gl. beliebiger Ordn. u. eines Sy- 
stems V. DifiT.-gl. 1. Ordn. Allgemeine Sätze üb. lin. Diff.-gl. Lineare Substitu- 
tionen. Lineare Diff.-gl. mit konstanten Koeffizienten. Die Integrale linearer 
Diff.-gl. in der Umgebung siugulären Stellen. Die Integrale einer lin. Diff.-gl. 
in der Umgeh, einer sing. Stelle d. Bestimmtheit. Diff.-gl. d. Fuchsschen Klasse. 
Asymptotische Darstellung d. Integrale einer lin. Diff.-gl. in der Nähe einer Un 
bestimmtheitsstelle. Entwickl. d. Integrale einer lin. Diff.-gl. in einem Kreisring. . . 
Lin. Diff.-gl. mit period. Koeffizienten. Elementare Integrationsmethoden. Multi- 
plikatoren von Diff.-gl. Diff.-gl. mit Parametern. Periodische Lösungen. Singu- 



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rechnung. (Samml. Schubert XI.) 

Grundlagen d. Integralrechnung. Anwendungen. Systematische Integral- 
rechnung. — XVI + 443 p. 8. M. 10— (geb.). 

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1: Elementare Berechnung d. Logarithmen auf der untersten Stufe (Unter- 
sekunda.). Die Siebzehn teilung des Kreises. Die Kreisteilungsgleichungen. Die 
Zahl der von zwei Planspiegeln entworfenen Bilder. Volumen des Obelisken aus 
Höhe u. zwei oder drei beliebig gelegten Parallelschnitten. Üb. eine beim Auf- 
bau des absoluten Masssystems begangene Inkonsequenz. Elementare Ableitung 
sehr enger Grenzen für die Schwingungszeit eines mathematischen Pendels. Die 
Konstantenzahl eines Polyeders u. der Eulersche Lehrsatz. Einführung in die 
neuere Geometrie. Elreise u. Kugeln. 

2 : Ganzzahligkeit in der algebraischen Geometrie. Kettenbrüche und Zahlen- 
theorie. Vielstellige Berechnung der Logarithmen auf höherer Stufe (Prima), aber 
ohne logarithmische Reihen. — 239 & 218 p. 8. àM. 4 — (geb ). 

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Axonometrie. (Samml. Göschen 260.) — 112 p. 8. M. 0,80 (geb.). 

WiELEiTNER, H., Thcorie der ebenen algebraischen Kurven höherer Ord- 
nung. (Samml. Schubert XLm.) 

Allgemeine Gesichtspunkte. Polarentheorie. Die einfachen Singularitäten. 
Beziehung zwischen Ordnung u. Klasse einer Kurve. Übergang von Punkt- zu 
Linienkoordinaten. Theor. d. Einhüllenden. Die Hesse'sche u. verwandte Kurven. 
Die Plücker'schen Formeln. Geschlecht. Rationale Kurven. Das analyt. Dreieck. 
Asymptoten. Kurvendiskussion. Höhere Singularitäten. Transformation d. Kur- 
ven. Das verallgem. Korrespondenzprinzip. Schnittpunktsysteme auf Kurven. 
Anwend. d. Sätze üb. Schnittpunktsyst. Kurven 3. u. 4. Ordn. Systeme v. 
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tions- und Diiïerenzenrechnung. Anwendung der Interpolationsrechnung auf die 
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IX + 227 p. 8. M. 8— (in Lnwd geb. 8,50). 

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VoGT, H., Éléments de mathématiques supérieures . . . (Éd. 8). 

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Fatti e teorie. I problemi délia logica. La geometria. La meccanica. Es- 
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